webhost van wiskundemeisjes.nl 
Dit bericht is geplaatst op Saturday 15 March 2008 om 15:47 in categorieën Trivia. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
De stelling van Pythagoras
In Trivia, door Ionica
Iedereen (en ik bedoel ook echt iedereen) kent de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2. Maar waar stonden die a, b en c ook al weer voor? En hoe kon je die stelling nou bewijzen? Ik leerde op school dat de stelling van Pythagoras geldt voor rechthoekige driehoeken en dat de stelling zegt dat de som van de kwadraten van de rechthoekszijden precies het kwadraat van de schuine zijde is.
Er bestaan veel (en ik bedoel ook echt veel) bewijzen van de stelling van Pythagoras. Op Cut The Knot staan er bijvoorbeeld zevenenzeventig. Zelf vond ik dit plaatje altijd een erg mooi bewijs geven.
De oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. Maar je kunt de oppervlakte van het grote vierkant ook schrijven als de som van het kleine vierkant en vier driehoeken: c2 + 4 x 1/2 x ab = c2+2ab. En hieruit volgt dat a2+b2=c2. Maar snap je na dit bewijs nu ook echt wáárom die relatie geldt? Ik eigenlijk niet.
Gelukkig is er BetterExplained, een site vol met betere verklaringen (en dan bedoel ik ook echt beter). In Surprising Uses of the Pythagorean Theorem geeft Khalid Azad een heldere uitleg. Elke rechthoekige driehoek kan in twee kleinere rechthoekige driehoeken verdeeld worden (in het plaatje is gekozen voor a = 3, b = 4 en c = 5, maar het geldt natuurlijk altijd).
Lees de rest zelf op BetterExplained en ontdek hoe de stelling van Pythagoras ook werkt voor de grootte van pizza’s of de tijd die nodig is om data te sorteren. Ik vond dit een tof voorbeeld:
Some programs with n inputs take n2 time to run (bubble sort, for example). In terms of processing time:
50 inputs = 40 inputs + 30 inputs
Pretty interesting. 70 elements spread among two groups can be sorted as fast as 50 items in one group. (Yeah, there may be constant overhead/start up time, just work with me here).
Saturday 15 March 2008 om 18:02
Wisten jullie dat er zelfs een heel boekje is met bewijzen voor de stelling van Pythagoras? Het heet “De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras” en is geschreven door Bruno Ernst. Zie http://www.epsilon-uitgaven.nl/E53.php
Saturday 15 March 2008 om 20:51
Inderdaad een heel interessant boekje, dat van Bruno Ernst. En hij maakt leuke opmerkingen, zo schrijft hij bij een bepaald bewijs dat hij niet zo inzichtelijk vindt ‘[De clou] komt pas op het eind als een duveltje uit een doosje tevoorschijn, terwijl het bij [het bewijs van] Euclides van meet af aan zichtbaar is aan de vierkanten op de drie zijden van de rechthoekige driehoek.’
Sunday 16 March 2008 om 03:25
Er zijn wel een aantal bewijzen voor de wet van pythagoras, ik durf er geen precies getal op plakken maar alleszinds een tiental manieren om de stelling de bewijzen!
Sunday 16 March 2008 om 13:00
Wat is een bewijs?
Als we een stelling willen bewijzen doen we een beroep op eerder bewezen stellingen. Hiermee kunnen we niet tot in het oneindige doorgaan. Voordat er iets bewezen kan worden zullen we een aantal zaken zonder bewijs moeten aannemen, de axioma’s.
Wij bedrijven tegenwoordig de vlakke meetkunde meestal in R^2. De punten in R^2 zijn getallenparen (x,y) en de afstand van twee punten (x,y) en (a,b) definiëren wij als de wortel uit (x-a)^2+(y-b)^2. De stelling van Pythagoras is niet meer dan een motivatie van deze definitie, hij hoeft niet bewezen te worden (Dat zou binnen een meetkundig axiomatisch systeem moeten gebeuren, maar zo wordt de meetkunde tegenwoordig niet meer onderwezen.) De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is, ook min of meer per definitie, gelijk aan de helft van het product van de lengten van de schuine zijden. Met wat elementaire algebra is de stelling van Pythagoras voor een rechthoekige driehoek dan niet moeilijk te bewijzen.
Daarna kan men in R^2 met behulp van integralen de oppervlakte van algemenere gebieden definiëren, bijv. de oppervlakte van het binnengebied van een cirkel of andere gebieden die begrensd worden door krommen. Dat is allemaal nog niet zo eenvoudig. Is dat eenmaal gedaan dan is het mogelijk om de formule van Khalid Azad te bewijzen: ‘area=factor x (linesegment)^2′ of beter gezegd: de verhouding tussen de oppervlaktes van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de verhouding tussen de lengtes van twee overeenkomstige lijnstukken in beide figuren. Maar dan zijn we al weer heel wat hoofdstukken verder, eerst moet bijv. gelijkvormigheid gedefinieerd worden en de substitutieregel voor gebiedsintegralen. Is dat eenmaal gebeurt dan kan men de stelling van Pythagoras als een zeer eenvoudig speciaal geval van deze formule zien. Maar om nou te zeggen dat de stelling van Pythagoras op deze manier bewezen wordt is natuurlijk onzin. De stelling van Pythagoras vormt al vanaf het begin per definitie een belangrijke basis voor ons systeem.
Sunday 16 March 2008 om 13:03
Oeps, klein foutje!
Moet natuurlijk zijn:
De verhouding tussen de oppervlaktes van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de verhouding tussen de kwadraten van de lengtes van twee overeenkomstige lijnstukken in beide figuren.
Sunday 16 March 2008 om 13:13
Maar om nou te zeggen dat de stelling van Pythagoras op deze manier bewezen wordt is natuurlijk onzin.
Dat zei ik dan ook niet ;)
En dat is volgens mij ook niet wat Khalid beweert, hij noemt het niet voor niets een intuïtieve benadering. En ik vond dat deze manier van kijken meer inzicht geeft in de stelling van Pythagoras dat het bewijs dat ik noemde.
Sunday 16 March 2008 om 13:33
@Rinse Poortinga: Je opmerking “De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het product van de lengten van de schuine zijden” is niet correct. Je bedoelde uiteraard dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het halve product van de lengten van de rechthoekszijden.
Nog een opmerking: het is hier in Nederland inderdaad niet (meer) gebruikelijk om meetkunde op de middelbare school te onderwijzen door middel van een axiomatisch systeem, maar in België gebeurt dat echter wel, en men begint daar al in het eerste Middelbaar (te vergelijken met ons brugjaar) mee.
Sunday 16 March 2008 om 13:54
Ionica. “…ik vond dat deze manier van kijken meer inzicht geeft in de stelling van Pythagoras dan het bewijs dat ik noemde.”
Dat is een kwestie van smaak natuurlijk. Ik heb zelf op mijn website http://www.rinsepoortinga.nl/ als binnenkomertje een meer meetkundige variant van het door jou genoemde bewijs staan. Daarheen verwees ik altijd de paar leerlingen die naar een bewijs van de stelling van Pythagoras vroegen, dan hoefde ik daar de overige 99% daar niet mee te vervelen. Als leraar vond (ik ben inmiddels al weer een paar jaar met pensioen) ik het altijd moeilijk om uit te maken hoever ik moest gaan met ‘bewijzen’. Leerlingen waren er nauwelijks in geïnteresseerd, zij waren bij de andere exacte vakken wel gewend om dingen zonder bewijs te accepteren. In mijn eigen middelbare schooltijd (1956-1962) werd de meetkunde nog op min of meer axiomatische wijze bedreven. Een geleverd bewijs wordt trots afgesloten met QED. Deze werkwijze is later volkomen terecht overboord gegooid. De meeste ‘bewijzen’ in de schoolboeken kunnen nauwelijks voor een bewijs doorgaan en de vraag is dan hoeveel van je beperkte tijd je daar dan nog aan moet besteden. Beter geen bewijs dan een bewijs dat niet deugt zeg ik dan altijd maar. Visuele en intuïtieve bewijzen kunnen helpen bij een beter inzicht, maar het lijkt me beter om dat geen bewijzen te noemen.
Sunday 16 March 2008 om 14:00
Arno: inderdaad ‘halve product van de rechthoekszijden’
Sunday 16 March 2008 om 14:49
Is het niet eenvoudiger om een rechthoekige driehoek te definiëren als een driehoek waarvoor de stelling van Pythagoras geldt? Om daarna met behulp van een rechthoekige driehoek te definiëren wat een rechte hoek is. Dat zou een goed begin zijn van een vlakke meetkunde in R^2.
Sunday 16 March 2008 om 15:42
Ik heb nog even mijn eigen oude middelbare schoolboek nageslagen op de st. v. Pyth.. Dat is het boek Vlakke Meetkunde van C.J.Alders. Daarin komt de st. v. Pyth. pas ter sprake in hoofdstuk XI stelling 75. Daaraan vooraf gaat hoofdstuk X over gelijkvormigheid van driehoeken. Bij het bewijs van st. 75 wordt een rechthoekige driehoek ABC met de rechte hoek bij A genomen. De hoogtelijn vanuit A verdeelt driehoek ABC in twee driehoeken DAC en DBA. Er wordt bewezen dat de driehoeken ABC, DAC en DBA gelijkvormig zijn. Met behulp van verhoudingen van overeenkomstige zijden volgt dan de st.v. Pyth.
Sunday 16 March 2008 om 16:02
@Rinse Poortinga: Je zou de stelling van Pythagoras ook getaltheoretisch kunnen definiëren door gebruik te maken van de pythagoreïsche getallentripels a, b en c die aan de eigenschap a^2 + b^2 = c^2 voldoen. Op deze manier was deze stelling onder andere bij de Babyloniërs bekend. Laat u en v 2 gegeven natuurlijke getallen zijn met u > v en u – v oneven, dan vinden we dat a = u^2 – v^2, b = 2*u*v en c = u^2 + v^2 een pythagoreïsch getallentripel voorstelt. Stel u is even, zeg u = 2*k. Omdat u > v en u – v oneven is ligt het voor de hand om v = 2*k – 1 te stellen. Dit geeft de waarden a = 4*k^2 – (2*k – 1)^2 = 4*k – 1, b = 4*k(2*k – 1)= 8*k^2 – 4*k en c = 4*k^2 + (2*k – 1)^2 = 8*k^2 – 4*k + 1, wat voor k = 1 het bekende pythagoreïsche getallentripel 3, 4, 5 oplevert. Stel u is oneven, zeg u = 2*k + 1. Omdat u > v en u – v oneven is ligt het voor de hand om v = 2*k te stellen. Dit geeft de waarden a = (2*k + 1)^2 – 4*k^2 = 4*k + 1, b = 4*k(2*k + 1) = 8*k^2 + 4*k en c = 4*k^2 + (2*k + 1)^2 = 8*k^2 + 4*k + 1, wat voor k = 1 het al in het oude India bekende pythagoreïsche getallentripel 5, 12, 13 oplevert. De volgende stap is dan om aan te tonen dat een driehoek, waarvan de 3 lengten van de zijden zo’n pythagoreïsch getallentripel voorstelt, een rechthoekige driehoek moet zijn, waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde.
Sunday 16 March 2008 om 16:44
Arno: het gaat bij pythagoreïsche getallentripels wel om tripels van gehele (positieve) getallen. Dat is voor de meetkunde wat te beperkt.
Sunday 16 March 2008 om 18:20
@Rinse Poortinga: Als je de stelling van Pythagoras in zijn algemeenheid wilt bewijzen zijn de pythagoreïsche getallentripels alleen weliswaar niet toereikend, maar ze kunnen wel als intuïtief hulpmiddel dienen om de stelling van Pythagoras plausibel te maken. Ik leerde zelf overigens eerst de stelling van Pythagoras aan de hand van de figuur die hierboven als het vierkant met lengte a + b staat aangegeven, en pas daarna kwamen gelijkvormige driehoeken aan de orde.
Als je een rechte hoek wilt definiëren ontkom je er naar mijn idee niet aan om eerst een algemene definitie van het begrip hoek te geven. In mijn Schülerduden Mathematik I wordt de rechte hoek gedefinieerd als de hoek die congruent is met zijn nevenhoek.
Sunday 16 March 2008 om 18:42
In de “praktijk” ben je vaker geïnteresseerd in de omkering van de formulering zoals jullie die geven: Als voor een driehoek met zijdelengtes a, b, c geldt a^2 + b^2 = c^2, dan zit er een rechte hoek tussen a en b. Op die manier kun je met afgemeten lengtes rechte hoeken maken (om bijvoorbeeld een mooie piramide te bouwen). De betere formulering bevat dus een “dan en slechts dan”.
E. W. Dijkstra formuleerde de stelling nog iets algemener (zie ook de Pythagoras van januari 2008, p.28-29). Als de hoeken alfa, beta, en gamma zijn en de tegenoverliggende zijdes lengtes a, b en c hebben, dan geldt: teken van alfa + beta – gamma = teken van a^2 + b^2 – c^2. Merk op dat alfa + beta = gamma precies geldt als gamma een rechte hoek is (omdat de som van de hoeken in een driehoek 180 graden is. (En met de cosinus kun je van dat rechter verschil nog meer dan alleen het teken bepalen.)
Sunday 16 March 2008 om 19:08
Arno: er zijn veel manieren om een rechte hoek meetkundig te definiëren. Ik heb het echter over de analytische meetkunde of meetkunde met coördinaten zo als die tegenwoordig op scholen onderwezen wordt. Dan noem je een hoek PQR recht, als het inwendig product van P-Q en R-Q gelijk aan 0 is. Het inproduct kan op zijn beurt weer in afstanden uitgedrukt worden, Het inproduct van A(a1,a2) en B(b1,b2) is gelijk aan a1*b1+a2*b2. Het inproduct van A en B is op zijn beurt weer gelijk aan 1/2*(AB^2-OA^2-OB^2). AB, OA en OB stellen de lengtes van deze lijnstukken voor. Deze lengtes (of afstanden) worden in overeenstemming met de stelling van Pythagoras gedefinieerd. In de analytische meetkunde geldt de stelling van Pythagoras dus per definitie al voor rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden die evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. Daarna is het nog een kleine moeite om algebraïsch te bewijzen dat de stelling van Pythagoras geldt voor iedere rechthoekige driehoek in R^2.
Mijn bewering was eigenlijk dat een meetkundig bewijs weinig zinvol is, als dat niet binnen een axiomatisch systeem van de vlakke meetkunde gebeurt.
Ter motivering van de definities in de analytische meetkunde is een bewijs niet nodig, maar is het natuurlijk wel leuk om aan de hand van een paar figuren te laten waarom men juist voor deze definities kiest. Daar zijn figuren als hierboven heel geschikt voor, maar dan moet je niet proberen er nog van alles en nog wat bij te slepen en dat een bewijs noemen
Sunday 16 March 2008 om 19:09
Mijn favoriete legpuzzelbewijs zit heel dicht aan tegen het bewijs dat Ionica gaf. Zie ons Basisboek wiskunde, p.239. Ik zal Ionica de plaatjes mailen. Het idee ervan gaat al minstens terug op de oude Chinezen van meer dan 500 v.Chr. En de Babyloniers kenden de stelling al omstreeks 1800 v.Chr. Maar echt begrijpen doe je de stelling natuurlijk pas als je de vraag kunt beantwoorden wat er mis gaat op het boloppervlak, want daar geldt de stelling niet. Waar lopen de bewijzen dan spaak?
[edit Ionica: hierbij de plaatjes, klik erop om een grotere versie te zien.]
Sunday 16 March 2008 om 19:14
Tom: (En met de cosinus kun je van dat rechter verschil nog meer dan alleen het teken bepalen.)
Ja, de stelling van Pythagoras is een speciaal geval van de cosinusregel. Maar je kunt natuurlijk moeilijk de cosinusregel erbij halen om de stelling van Pythagoras te bewijzen!
Sunday 16 March 2008 om 20:22
@Rinse Poortinga: Het is inderdaad mogelijk om uitgaande van de vectormeetkunde een rechte hoek te definiëren met behulp van het inproduct, maar dan zit je meer op het niveau van de bovenbouw van havo en v.w.o., dus wil je in de onderbouw al een definitie van een rechte hoek geven, dan is een “klassieke” aanpak de meer aangewezen weg.
Bij een klassiek meetkundig bewijs van de stelling van Pythagoras werk je automatisch binnen het axiomasysteem dat we van Euclides kennen, ook al wordt dat systeem in de schoolwiskunde niet expliciet vermeld.
Sunday 16 March 2008 om 20:37
Naar aanleiding van de opmerkingen van Rinse en Tom over een analytische aanpak van de vlakke meetkunde: zie http://staff.science.uva.nl/~craats/#meetkunde
waar ik zo’n aanpak geef in een bijgewerkte syllabustekst voor een CWI-Vacantiecursus uit 1998. Op bladzijde 16 vind je een bewijs van de Stelling van Pythagoras als bijzonder geval van de cosinusregel, precies in de dan-en-slechts-dan-vorm.
Sunday 16 March 2008 om 20:46
Arno, het niet moeilijk om moeilijk om een brugklasser duidelijk te maken wat een rechte hoek is. Maar dat gebeurt niet door het geven van een definitie. Ook zonder definitie weten ze wel wat een rechthoek of een vierkant is. Een rechthoekige driehoek is ‘de helft van een rechthoek’. Dat soort omschrijvingen zijn voor een brugklasser duidelijk genoeg. Ook leren ze in de brugklas hoeken meten met een gradenboog en ‘zien’ ze dat een rechte hoek een hoek van 90 graden is. Ook d.m.v. papiervouwen kun je rechte hoeken maken. Bovendien werken ze op ruitjespapier, dus het is één en al rechte hoek wat ze zien. Op ruitjespapier kun je trouwens de stelling van Pythagoras heel mooi en voor leerlingen zeer overtuigend demonstreren. Oppervlakte berekenen betekent hokjes tellen. Aan definities en bewijzen is in dit stadium nauwelijks behoefte, pas in de bovenbouw kun je daar eens mee beginnen. Ik heb overigens de laatste jaren alleen maar in de bovenbouw les gegeven. Daar is bij de invoering van het studiehuis de tot dan toe gebruikte vectormeetkunde helaas weer grotendeels afgeschaft. Daar werd ik niet blij van!
Sunday 16 March 2008 om 21:03
Jan, in jouw artikel introduceer je natuurlijk meteen al een speciaal geval van de stelling van Pythagoras in definitie 2.1 onderdeel 2. Dit speciale geval impliceert het algemene geval zoals ik in reactie 16 beweer. In een systeem van coördinatenmeetkunde zul je op de één andere manier (een speciaal geval van) de stelling van Pythagoras zonder bewijs moeten aannemen.
Sunday 16 March 2008 om 22:52
@Rinse: nee, je moet, uitgaande van de reele getallen, zeggen wat een vlak is, wat punten en lijnen in een vlak zijn en wat de afstand is tussen twee punten. De stelling van Pythagoras is echt een stelling en geen aanname. Zie verder mijn artikel.
Sunday 16 March 2008 om 23:45
[...] Meer info over en bewijzen van de stelling op: Wiskundemeisjes » De stelling van Pythagoras [...]
Monday 17 March 2008 om 00:01
Precies een jaar geleden schreven de meisjes over een reizenden wiskunde tentoonstelling van het Mathematikum. Hier kon je met je handen wiskunde doen. Ook de stelling van Pythagoras kon je nagaan: met een balans. Niet alleen driehoeken, maar ook sterren en een konijn kon in de juiste verhouding gewogen worden. De boodschap was dus dezelfde als het aangehaalde artikel van BetterExplained: alle vormen hebben de Pythagoras eigenschap.
Monday 17 March 2008 om 00:23
Jan, je zegt zelf na definitie 2.1 in http://staff.science.uva.nl/~craats/mtcoord.pdf
… “Dat het überhaupt mogelijk is om in een euclidisch vlak zo’n coördinatenstelsel
te kiezen, zou je zelfs op kunnen vatten als de definitie van een euclidisch
vlak: een wiskundige structuur waarin ‘punten’, ‘lijnen’ en ‘afstanden’ gedefinieerd zijn, heet een euclidisch vlak als je daarin zo’n toegelaten coördinatenstelsel
kunt kiezen.” …
I.v.m. onderdeel 2 van definitie 2.1 betekent dat toch dat je alleen van een vlak wilt spreken als daarin de stelling van Pythagoras geldt? In ieder geval geldt de stelling van Pythagoras volgens jouw afstandsformule voor driehoeken met hoekpunten P(p1,p2), Q(q1,q2) en R(q1,p2). Voor zo’n driehoek geldt PQ^2=PR^2+QR^2. Voor een willekeurige driehoek ABC geldt AB^2=AC^2+BC^2 precies dan als (c1-a1)(c1-b1)+(c2-a2)(c2-b2)=0 ofwel het inproduct van C-A en C-B is gelijk aan 0. Gebruik dit om te definiëren dan hoek C in driehoek ABC een rechte hoek is. Dan geldt de stelling van Pythagoras voor iedere rechthoekige driehoek.
Monday 17 March 2008 om 00:46
Lijn PQ kunnen we dan als volgt definiëren: neem een punt R dat niet gelijk is aan Q zodanig dat driehoek PQR rechthoekig is met een rechte hoek bij Q. Lijn PQ bestaat uit punt Q en alle punten X zodat XQR een rechthoekige driehoek is met een rechte hoek bij Q. De punten van lijn PQ zijn dan de punten die voldoen aan de vergelijking (x-q1)(r1-q1)+(y-q2)(r2-q2)=0.
Monday 17 March 2008 om 02:20
Nog even een misschien wat flauw voorbeeld en dan is het weer bedtijd:
Neem in de ruimte R^3 de eenheidsbol met middelpunt O en straal 1. Het horizontale vlak met vergelijking z=0 identificeren we met R^2. We projecteren dit vlak met behulp van lijnen door de noordpool N(0,01) op de bol [sterografische projectie]. Dat geeft een 1-1 correspondentie tussen R^2 en de punten op de eenheidsbol met uitzondering van de noordpool N. Onder de lijnen op de bol verstaan we de beelden van de lijnen in R^2. Zijn P’ en Q’ op de bol de beelden van P resp. Q in R^2 dan stellen we de afstand van P’ en Q’ gelijk aan de afstand van P en Q. Een rechthoekige driehoek op de bol is het beeld van een rechthoekige driehoek in R^2. Met deze definities geldt voor de rechthoekige driehoeken op de bol de stelling van Pythagoras. De bol (minus de noordpool) is hiermee gewoon een kopie van het platte vlak en zal natuurlijk geen interessante nieuwe meetkunde opleveren.
Monday 17 March 2008 om 10:10
In groep 7 van de montessorischool leerden wij de stelling van Pythagoras begrijpen door vierkanten te leggen en ze zodanig aan elkaar te leggen dat er een driehoek ontstond. Om vervolgens te ontdekken dat deze driehoek alleen rechthoekig was als je bepaalde lengtes nam voor de zijden van de vierkanten (bijvoorbeeld 3, 4 en 5). Elfjarigen kunnen hier blijkbaar goed mee uit de voeten.
Monday 17 March 2008 om 13:16
Jan, even een antwoord op je reactie nr 23.
Je bedoelt waarschijnlijk het volgende: neem aan we noemen de elementen van een verzameling V punten en bepaalde deelverzamelingen van V lijnen. Verder definiëren we op een of andere wijze de afstand PQ van twee punten P en Q als een reëel getal. Ook is op een of andere wijze het begrip rechte hoek gedefinieerd. Dan is de stelling
“driehoek PQR heeft een rechte hoek in R precies dan wanneer PQ^2=PR^2+QR^2″
inderdaad een stelling en geen aanname. Maar dat is niet wat ik bedoel. Ik bedoel dat bij de meetkunde in R^2 zoals wij die beoefenen de stelling van Pythagoras bij voorbaat al ingebakken zit in de wijze waarop wij de afstanden van punten en het begrip rechte hoek in R^2 definiëren.
Monday 17 March 2008 om 20:37
he… tja, de 30 reacties tot nu toe zijn begrijpelijk. Het kostte de Wiskundige goegemeente +/- 2000 jaar om in te zien dat het vijfde postulaat (zeg maar het niet triviale buitenbeentje over de oneindig lange lijnen) van de Euclidische meetkunde niet uit de overige vier volgde, elke poging daartoe leverde vaak weer een andere niet Euclidische meetkunde op. Alle VIJF de postulaten kunnen worden bewezen als stellingen over reeele getallen als je de stelling van Pythagoras als waar aanneemt (zie reactie 4. de c uit de stelling bepaald dan de afstand tussen twee punten en ook in dit geval is reactie 23 interresant, “zeggen [...] wat de afstand is tussen twee punten” is dat niet P. dan?) . De gedefinieerde afstand noem je dan een metriek, met andere metrieken waarin de afstand tussen twee punten niet volgens de stelling van P. word bepaald kun je de vijfde stelling niet rond krijgen. De logische onhanfhankelijkheid van de vijfde stelling was een grote doorbraak. De meetkunde op een bol zoals de Aarde is trouwens ook ‘niet Euclidisch’ en eigenlijk geldt de stelling van P. dus helemaal niet voor afstanden gemeten op deze planeet. Gelukkig is het dan weer wel zo dat iets zich nog een meetkunde mag noemen als lokaal (zeg in de verhouding van een bierviltje t.o.v. de Aarde) de stelling van P. wel geld. Dit heeft Gauss bedacht. Vandaar ook waarschijnlijk de ongekende populariteit van de stelling. Aan de andere kant heeft het dogmatische denken over de ‘waarheid’ van de Euclidische Meetkunde en inherent de stelling van P. er waarschijnlijk aan bijgedragen dat het 2000 jaar heeft geduurd voor dat men het goed snapte. Volgens mij is het simpelweg dit: Vijf postulaten van Euclides, dan: P. is waar (reactie 19). Vier Postulaten + P. dan: vijfde postulaat volgt enz. het is maar waar je vanuit gaat. In veel andere discussies vind je circelredeneringen of impliciete aannames (bijv. de slechte bewijzen zoals genoemd in reactie 8 ?) van de Euclidische (vlakke) meetkunde waarmee ons brein waarschijnlijk genetisch mee belast is (en het Nederlandse brugklas onderwijs? zie reactie 7). Als laatste wil ik nog zeggen dat alles wat de stelling van P. inzichtelijk maakt natuurlijk welkom blijft en daar ging het geloof ik ook alleen maar om.
Wednesday 26 March 2008 om 14:45
Pythagoras en oppervlakte.
Het ‘bewijs’ van de stelling van Pythagoras zoals hierboven genoemd en ook het ‘legpuzzelbewijs’ van Jan van de Craats [voor een variant zie ook http://www.rinsepoortinga.nl/ ] berust op een intuïtief oppervlaktebegrip. We gaan er [zonder bewijs] van uit dat we aan bepaalde puntenverzamelingen in het platte vlak [wat dat is laten we in het midden] een niet-negatief getal als oppervlakte kunnen toekennen. Een verzameling met een oppervlakte noemen we meetbaar. Dit intuïtieve oppervlaktebegrip heeft bepaald bepaalde eigenschappen, waarvan additiviteit de belangrijkste is: (1) is S de vereniging van een eindig aantal niet-overlappende meetbare verzamelingen R1,…,Rn, dat is ook S meetbaar en zijn oppervlakte is gelijk aan de som van de oppervlakten van R1,…,Rn. [Ri en Rj met i≠ j zijn niet-overlappend als ze geen inwendige punten gemeen hebben.] (2) Verder nemen we aan dat de rechthoeken tot de meetbare verzamelingen horen en dat de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan lengte x breedte. I.h.b. heeft een vierkant met zijde c de oppervlakte c². We moeten hierbij veronderstellen dat in het platte vlak de afstand van twee punten P en Q [= lengte lijnstuk PQ] op de een of andere wijze gedefinieerd is. Een rechthoek kunnen we dan definiëren als een vierhoek waarvan de beide diagonalen dezelfde lengte hebben en elkaar middendoor delen. Een vierkant is een rechthoek waarvan alle zijden evenlang zijn. Een rechthoek wordt door een diagonaal in twee rechthoekige driehoeken verdeeld en we nemen als derde eigenschap van onze oppervlakte aan dat (3) deze beide rechthoekige driehoeken dezelfde oppervlakte hebben. Uit eigenschap (1) volgt dan dat de oppervlakte van zo’n rechthoekige driehoek gelijk is aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek, m.a.w. de oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het product van de rechthoekszijden. Wil het oppervlaktebegrip überhaupt zin hebben, dan moet natuurlijk ook het volgende gelden: is S de vereniging van de niet-overlappende meetbare verzamelingen R1,…,Rn en is S ook de vereniging van de niet-overlappende meetbare verzamelingen T1,…,Tm, dan is de som van de oppervlakten van R1,…,Rn gelijk aan de som van de oppervlakten van T1,…,Tm.
Op deze eigenschap berust het ‘legpuzzelbewijs’ van de stelling van Pythagoras. Het door Ionica genoemde ‘bewijs’ via (a+b)² = a²+2ab+b²=c²+2ab berust op de hier expliciet gemaakte, maar zonder bewijs aangenomen, eigenschappen van het intuïtieve oppervlaktebegrip.
Is de ’stelling’ van Pythagoras nu een stelling of een aanname? Dat hangt ervan vanaf hoe je je meetkundig systeem opzet. Je kunt beginnen met de stelling van Pythagoras aan te nemen en dan een oppervlaktebegrip ontwikkelen, maar het kan natuurlijk ook andersom.
Wednesday 26 March 2008 om 15:33
@Rinse Poortinga: Het is meestal gebruikelijk om uitgaande van het oppervlaktebegrip een bewijs voor de stelling van Pythagoras te geven. Het gaat hier zeer zeker om een stelling, en niet om een aanname. Dat de stelling naar Pythagoras is genoemd heeft te maken met het feit dat hij hier als eerste een bewijs voor gaf.
Laten we de begrippen stelling en aanname eerst maar eens wat nader proberen te definiëren, zodat we weten waar we het precies over hebben. In strikt formeel-logische zin bedoelen we met een aanname een uitspraak in een redenering, waarbij we veronderstellen dat deze uitspraak waar is. We nemen verder aan dat deze uitspraak niet is afgeleid uit de afleidingsregels zoals die in de formele logica bekend zijn.
In strikt formeel-logische zin bedoelen we met een stelling een bewering die met behulp van de afleidingsregels uit bepaalde aannames kan worden afgeleid, en dit is ook de manier waarop de stelling van Pythagoras in de schoolwiskunde wordt behandeld. De stelling van Pythagoras wordt dus opgevat als een bewering die uit bepaalde aannames wordt afgeleid, en niet als een aanname.
Wednesday 26 March 2008 om 16:11
Arno: “De stelling van Pythagoras wordt dus opgevat als een bewering die uit bepaalde aannames wordt afgeleid, en niet als een aanname.”
Ja, zo wordt wordt het inderdaad meestal opgevat. Wat ik probeer te zeggen is, dat het ook andersom kan. Bovendien is meestal niet duidelijk wat er nu eigenlijk aangenomen wordt, bijv. m.b.t. het oppervlakte begrip. Als je dat expliciet maakt maakt, zoals ik doe in reactie 32, dan zie je dat je weer een beroep doet op andere onbewezen zaken, die helemaal niet zo simpel zijn als ze op het eerste gezicht lijken. Je kunt dan maar beter direct de stelling van Pythagoras zonder bewijs aannemen.
Wednesday 26 March 2008 om 17:50
@Rinse Poortinga: Als je de stelling van Pythagoras als aanname wenst te introduceren ga je naar mijn mening zowel aan de (mathematisch-)historische als de (mathematisch-)filosofische aspecten van de stelling van Pythagoras voorbij, iets wat voor mij volstrekt onacceptabel is.
Het is mogelijk om het oppervlaktebegrip aanschouwelijk te maken met behulp van roosterpapier. Als dat eenmaal gebeurd is kun je met datzelfde roosterpapier laten zien waarom de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek geldt. Vanwege het (definitie)onderscheid tussen het begrip stelling en aanname pleit ik er zelf overigens voor om de stelling van Pythagoras inderdaad als een stelling, en niet als een aanname, te introduceren. Als je de stelling van Pythagoras als aanname zou introduceren zou dat net zoiets zijn als dat je het uit de maattheorie bekende lemma van Fatou opeens het vermoeden van Fatou zou gaan noemen.
Wednesday 26 March 2008 om 18:54
Arno: nu praten we over heel verschillende dingen. Oppervlakte aanschouwelijk maken op roosterpapier en laten ‘zien’ dat de stelling van Pythagoras klopt is iets anders dan bewijzen. Intuïtief duidelijk maken is prima en dat is inderdaad wat op school gebeurt. Daarna accepteer je de stelling van Pythagoras, maar je moet niet denken dat je hem dan bewezen hebt. Iets wat we niet bewezen hebben noem ik een aanname, wat niet uitsluit dat het in een anders opgezet systeem een stelling is.
Wednesday 26 March 2008 om 19:45
@Rinse Poortinga: Waar het mij om gaat is dat je de stelling van Pythagoras geen aanname kunt noemen, omdat een stelling en een aanname 2 verschillende dingen zijn. Het bewijs zoals Ionica weergeeft beschouw ik als een “echt” bewijs voor de juistheid van de stelling van Pythagoras, ook al ben jij het daar dan misschien niet mee eens. Je hebt het misschien niet bewezen in de strikt euclidische zin van het woord, maar de stelling berust wel op het toepassen van de axioma’s van de euclidische meetkunde, en dus is het inderdaad een stelling en geen aanname.
Wednesday 16 April 2008 om 13:52
Hallo,
We hebben erg veel aan je informatie gehad (maar dan bedoel ik ook echt heel erg veel).
Het was erg duidelijk (maar dan bedoel ik ook echt heel erg duidelijk).
We zijn erg veel wijzer geworden (maar dan ook echt veel wijzer).
Thanx.
Graag snel een reactie,
tijd is geld.
pythagoras greetz!
Thursday 17 April 2008 om 07:48
mooi, (maar dan ook echt heel mooi)!
:-D
Wednesday 14 May 2008 om 11:12
kan iemand me uitleggen??? snap niet!
Sunday 12 October 2008 om 16:16
is een handige methode om hoeken uit te rekenen is een leuke methode
Friday 12 December 2008 om 14:47
omg ik volg het niet daar ben ik te dom voor maar jaa jullie zijn studie nerds en vast ook heel lelijk ik ben namelijk heel knap met mijn grote voorhoofd hihhi
Friday 12 December 2008 om 14:49
hoi sorry van daarnet dat deed mijn buurmeisje die is egtirritant ik moet een werkstuk over pythagoras en daarom was ik op dese site maar sorry :$ xx
Wednesday 3 June 2009 om 11:21
Ik heb binnenkort een repetitie over het hoofdstuk stelling van pythagoras ik doe bkl (kl-kader) 3 en ik snap het niet kan iemand het me uitleggen.
Wednesday 27 January 2010 om 09:07
Wtf iedereen kent die Pytagoras of wat het ook mag zijn. wij kennen hem tog niet, mijn zus, en jij volgens mij ook niet en wij zitten op gymnasium en weten het dus veeeeeel beter. je moet niet meteen de conclusie trekken dat iedereen het kent, Echt DOM!!