webhost van wiskundemeisjes.nl 
Dit bericht is geplaatst op Saturday 24 May 2008 om 10:00 in categorieën Nieuws, Puzzels. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Limo 2008
In Nieuws, Puzzels, door Jeanine
Gisteren kwamen maar liefst 24 teams van wiskundestudenten naar Leiden om mee te doen aan de Limo (Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade). De opgaven waren zeker niet eenvoudig; sommige waren ook nog een behoorlijke hoeveelheid leeswerk. De studenten kregen drie uur om de tien opgaven op te lossen, maar vaak kon je met een deeloplossing ook al punten verdienen.
De kortste opgave was die van Hendrik Lenstra:
Bestaat er een positief geheel getal n dat deelbaar is door 103 met de eigenschap 22n+1 ≡ 2 mod n? Bewijs de correctheid van het gegeven antwoord.
Het was een zeer geslaagde dag, en tijdens de zonnige borrel kwam dan eindelijk de uitslag. Het team “The knights who say π” uit Leuven, dat buiten mededinging meedeed, bleek de beste score behaald te hebben. Van de teams die wel meedongen is de top 3:
- 1. “Qin Shihuangdi & Terracotta Army” van de Universiteit Utrecht
- 2. “Squeak!” van de Radboud Universiteit Nijmegen
- 3. Equivalence class heroes” van de Universiteit Utrecht
Van harte gefeliciteerd!
Saturday 24 May 2008 om 11:28
wat een spannende namen!
gefeliciteerd allemaal!
Saturday 24 May 2008 om 15:33
het antwoord op de vraag is: misschien ;)
Saturday 24 May 2008 om 19:22
Nee, er bestaat niet zo’n n; chinese reststelling; n= macht van 103;
2 inverteerbaar, 103 deelt niet 102.
Sunday 25 May 2008 om 11:23
@anoniem: helaas; niet goed gelezen; n is een veelvoud van 103; geen macht.
Sunday 25 May 2008 om 11:46
@anoniem: De Chinese reststelling heeft alleen betrekking op het al of niet oplosbaar zijn van een stelsel van lineaire congruenties, maar daar is hier geen sprake van.
Omdat 2 = 2^1 is de vergelijking te schrijven als 2^{2*n + 1} ≡ 2^1 mod n, dus 2^{2*n} ≡ 1 mod n. Omdat het linkerlid even is en het rechterlid oneven vinden we voor een even n in ieder geval geen oplossingen. Wil er een oplossing zijn, dan moet n dus oneven zijn.
Sunday 25 May 2008 om 12:03
@Arno: Als n even is, mag je de vergelijking niet door 2 delen. A priori mag n dus wel even zijn, alleen niet deelbaar door 4.
Sunday 25 May 2008 om 18:01
Super gedaan Valentijn!!!
Monday 26 May 2008 om 08:26
Ik heb een oplossing voor de opgave van Hendrik Lenstra. Een oplossing die niet moeilijk is om te bedenken, maar waar wel wat rekenwerk in zit. Heeft iemand een oplossing waar je niet veel voor hoeft te rekenen?
Monday 26 May 2008 om 08:30
Eigenlijk valt het met rekenen ook wel mee. Leuk sommetje! Komen de andere opgaven (en de uitwerkingen) nog ergens online?
Monday 26 May 2008 om 10:09
@Marco: De andere opgaves+uitwerkingen komen als het goed is binnenkort online!
Monday 26 May 2008 om 11:30
Blijkbaar heeft Marco de oplossing achterstevoren bedankt, want het sluitstuk staat al in 6… Profetisch!
Sunday 1 June 2008 om 20:21
Hier is mijn poging:
Omdat 103 een priemfactor van n is, is gcd(n,102) = 1. Dus bestaan er een a,b in Z zodat
102*a + n*b = 1.
Veronderstel nu dat er een n bestaat zodat 2^{2n+1}=2 mod n. Dan ook 2^{2n+1}=2 mod 103 en dus 2^{2n} = 1 mod 103 (want Z/Z_p is een eindig lichaam(). En dus hebben we
4 = 4^{102*a + n*b}
= 4^{102*a} * 4^{n*b}
= 4^{n*b} mod 103,
vanwege de kleine stelling van Fermat (want 103 is priem). Maar dan
4 = 4^{nb} = (2^{2n})^b = 1 mod 103,
een contradictie. Zodoende bestaat er geen n waarvoor het gegeven geldt.
Einde.
Sunday 1 June 2008 om 20:41
Ach nee, shit, dat werkt alleen als 103 de kleinste priemfactor van n is.
Sunday 1 June 2008 om 22:05
De andere opgaves + uitwerkingen staan nu online.
Opgaves: http://www.limo2008.nl/files/Opgavenboekje2008.pdf
Uitwerkingen:
http://www.limo2008.nl/files/Antwoordenboekje2008.pdf
Monday 29 December 2008 om 23:39
Bedankt :-) komend jaar valt de LIMO op 5 juni overigens. Komt allen!