Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Limo 2008


In Nieuws,Puzzels, door Jeanine

Gisteren kwamen maar liefst 24 teams van wiskundestudenten naar Leiden om mee te doen aan de Limo (Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade). De opgaven waren zeker niet eenvoudig; sommige waren ook nog een behoorlijke hoeveelheid leeswerk. De studenten kregen drie uur om de tien opgaven op te lossen, maar vaak kon je met een deeloplossing ook al punten verdienen.

De kortste opgave was die van Hendrik Lenstra:

Bestaat er een positief geheel getal n dat deelbaar is door 103 met de eigenschap 22n+1 ≡ 2 mod n? Bewijs de correctheid van het gegeven antwoord.

Het was een zeer geslaagde dag, en tijdens de zonnige borrel kwam dan eindelijk de uitslag. Het team "The knights who say π" uit Leuven, dat buiten mededinging meedeed, bleek de beste score behaald te hebben. Van de teams die wel meedongen is de top 3:

  • 1. "Qin Shihuangdi & Terracotta Army" van de Universiteit Utrecht
  • 2. "Squeak!" van de Radboud Universiteit Nijmegen
  • 3. Equivalence class heroes" van de Universiteit Utrecht

Van harte gefeliciteerd!

15 reacties op “Limo 2008”

  1. han:

    wat een spannende namen!
    gefeliciteerd allemaal!

  2. dM3:

    het antwoord op de vraag is: misschien ;)

  3. anoniem:

    Nee, er bestaat niet zo'n n; chinese reststelling; n= macht van 103;
    2 inverteerbaar, 103 deelt niet 102.

  4. Marco:

    @anoniem: helaas; niet goed gelezen; n is een veelvoud van 103; geen macht.

  5. Arno van Asseldonk:

    @anoniem: De Chinese reststelling heeft alleen betrekking op het al of niet oplosbaar zijn van een stelsel van lineaire congruenties, maar daar is hier geen sprake van.
    Omdat 2 = 2^1 is de vergelijking te schrijven als 2^{2*n + 1} ≡ 2^1 mod n, dus 2^{2*n} ≡ 1 mod n. Omdat het linkerlid even is en het rechterlid oneven vinden we voor een even n in ieder geval geen oplossingen. Wil er een oplossing zijn, dan moet n dus oneven zijn.

  6. Marco:

    @Arno: Als n even is, mag je de vergelijking niet door 2 delen. A priori mag n dus wel even zijn, alleen niet deelbaar door 4.

  7. Barbara:

    Super gedaan Valentijn!!!

  8. Marco:

    Ik heb een oplossing voor de opgave van Hendrik Lenstra. Een oplossing die niet moeilijk is om te bedenken, maar waar wel wat rekenwerk in zit. Heeft iemand een oplossing waar je niet veel voor hoeft te rekenen?

  9. Marco:

    Eigenlijk valt het met rekenen ook wel mee. Leuk sommetje! Komen de andere opgaven (en de uitwerkingen) nog ergens online?

  10. Michiel Kosters:

    @Marco: De andere opgaves+uitwerkingen komen als het goed is binnenkort online!

  11. Jeroen:

    Blijkbaar heeft Marco de oplossing achterstevoren bedankt, want het sluitstuk staat al in 6... Profetisch!

  12. Willem:

    Hier is mijn poging:

    Omdat 103 een priemfactor van n is, is gcd(n,102) = 1. Dus bestaan er een a,b in Z zodat

    102*a + n*b = 1.

    Veronderstel nu dat er een n bestaat zodat 2^{2n+1}=2 mod n. Dan ook 2^{2n+1}=2 mod 103 en dus 2^{2n} = 1 mod 103 (want Z/Z_p is een eindig lichaam(). En dus hebben we

    4 = 4^{102*a + n*b}
    = 4^{102*a} * 4^{n*b}
    = 4^{n*b} mod 103,

    vanwege de kleine stelling van Fermat (want 103 is priem). Maar dan

    4 = 4^{nb} = (2^{2n})^b = 1 mod 103,

    een contradictie. Zodoende bestaat er geen n waarvoor het gegeven geldt.
    Einde.

  13. Willem:

    Ach nee, shit, dat werkt alleen als 103 de kleinste priemfactor van n is.

  14. Michiel Kosters:

    De andere opgaves + uitwerkingen staan nu online.
    Opgaves: http://www.limo2008.nl/files/Opgavenboekje2008.pdf
    Uitwerkingen:
    http://www.limo2008.nl/files/Antwoordenboekje2008.pdf

  15. Terracotta Soldier:

    Bedankt :-) komend jaar valt de LIMO op 5 juni overigens. Komt allen!

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.