Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Jeanine doet examen


In Nieuws,Onderwijs, door Jeanine

Gistermiddag ging ik naar het Stedelijk Gymnasium in Leiden om me daar een uurtje te buigen over het examen wiskunde B1,2 voor vwo. Het was een tijd geleden dat ik in een gymzaal aan een wankel klaptafeltje wiskundesommen zat te maken, maar het was leuk om dat nog eens te doen! Robin Gerrits schreef een stukje over mijn bevindingen, en dat is vandaag te lezen in de Volkskrant. De opgaven van het examen staan inmiddels op internet: Wiskunde B1,2 met bijlage, en Wiskunde B1.

Ik vond opgave 20 leuk, maar die staat al in de krant. De opgaven over de Fibonacci-rij (vooral opgave 17 en 18) vond ik ook leuk, die kun je hieronder lezen.

We beschouwen de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Deze rij wordt beschreven door de formules
u0 = u1 = 1
en
un = un-1 + un-2.

We maken bij de rij van Fibonacci een quotiëntrij door elke term (behalve de eerste) door zijn voorganger te delen:

qn = un/un-1 voor n ≥ 1

Opgave 16 Toon aan dat voor n ≥ 2 geldt: qn = 1 + 1/qn-1.

De quotiëntrij wordt dus beschreven door de formules

q1 = 1
en
qn = 1 + 1/qn-1.

In de figuur op de uitwerkbijlage zijn de grafieken getekend van y = 1 + 1/x en y = x. Verder is op de x-as de plaats van q1 aangegeven.

Opgave 17 Geef in deze figuur, met behulp van een webgrafiek, op de x-as de plaats van de termen q2, q3 en q4 van de quotiëntrij aan.

De quotiëntrij heeft een limiet.

Opgave 18 Bereken deze limiet exact.

43 reacties op “Jeanine doet examen”

  1. Steven:

    Moet de rij van Fibonacci niet zijn:
    u0=u1=1
    en
    un=un-1+un-2 voor n>1

  2. Steven:

    Hmmm...
    in de reactie werken de html-codes dus niet...
    De onderste regel is zo wat duidelijker:
    u(n)=u(n-1)+u(n-2) voor n>1

  3. Jeanine:

    @ Steven: Inderdaad, dank! Typefoutje. Is aangepast.

  4. Proeme:

    ik dacht al "dat staat er toch?", maar het is dus al aangepast...

    heerlijke vraag. Is die limiet niet het getal phi (de gulden snede)?

  5. Bram:

    Ik heb het examen B1,2 gisteren gemaakt (als 6-vwo'er, of eigenlijk 'dertiendeklasser') en ik vond hem in vergelijking met voorgaande jaren verdacht makkelijk. Kunnen jullie daar ook iets over zeggen? :)

  6. Johan B.:

    Tja, als bovenstaande opgave met een multiple choice vraag "uit welk eindexamen komt dit: vmbo, havo of vwo?" vergezeld zou zijn, dan zou ik waarschijnlijk "havo" antwoorden.

  7. Albert Hendriks:

    Moet je bij vraag 18 de gulden snede berekenen? Kan ik dat?

  8. Bram:

    Als de guldensnedeverhouding gelijk is aan 1/2 + 1/2sqrt(5), moet je hem bij vraag 18 inderdaad berekenen... :)

  9. Willem:

    Toen ik eindexamen VWO deed (in 1998) hadden we Wiskunde A en Wiskunde B. Als ik zo naar deze twee examens kijk is er bijna geen verschil tussen B1,2 en B1?

  10. Jeanine:

    @ Willem: Inderdaad, wiskunde B1 en B1,2 lijken op elkaar. Het verschil is dat wiskunde B1 verplicht is in het profiel Natuur & Gezondheid en wiskunde B1,2 bij Natuur & Techniek. In B1,2 zit wat meer stof, geloof ik. Er bestaat ook nog wiskunde A1 voor Cultuur & Maatschappij; en wiskunde A1,2 voor Economie & Maatschappij. Die lijken wat meer op het oude wiskunde A, denk ik. (Maar in wiskunde B1,2 zit tegenwoordig weer wel wat statistiek bv., en dat zat vroeger alleen in wiskunde A.) Je mag bijvoorbeeld wel wiskunde A1 vervangen door wiskunde A1,2, B1 of B1,2 als je wat extra wiskunde wil doen.

    Als ik het goed heb, tenminste, ik ben van jouw tijd (ook 1998) ;-) Toen kon je op veel scholen zowel wiskunde A als B kiezen als je dat leuk vond, en ik heb dat inderdaad gedaan.

  11. Proeme:

    het klopt wat je zegt Jeanine.

    alleen... met ingang van het huidige schooljaar is het alweer veranderd. In de 4e klassen (VWO tenminste, HAVO weet ik niet) hebben ze nu wiskunde A,B,C en D. Over 2 jaar zullen daar de eerste examens van zijn.
    Vraag me niet wat er bij welke wiskunde hoort. Differentiaalrekening zit in B, that's all i know.

  12. Jeanine:

    @ Proeme: Ja, inderdaad. Wat ik ervan begrepen heb: wiskunde C is voor het profiel Cultuur & Maatschappij. Wiskunde D is de "echt leuke" wiskunde voor enthousiastelingen, in geen enkel profiel verplicht en scholen hoeven het dus ook niet per se aan te bieden, wat wel erg jammer is voor de geïnteresseerde leerling. Want nuttig is het vast als je een bètastudie gaat doen.

    Ik gok dus dat wiskunde B verplicht gaat zijn voor Natuur & Gezondheid en Natuur & Techniek, en wiskunde A voor Economie & Maatschappij, maar dat weet ik eigenlijk niet zeker.

    Als iemand me kan aanvullen of de zaken kan verhelderen, graag.

  13. Erwin:

    VWO:
    C&M: wiskunde C (of A of B)
    E&M: wiskunde A (of B)
    N&G: wiskunde A of wiskunde B
    N&T: wiskunde B
    wiskunde D is een keuzevak bij wiskunde B

    HAVO:
    C&M: geen wiskunde (of wiskunde A of B)
    E&M: wiskunde A (of B)
    N&G: wiskunde A of wiskunde B
    N&T: wiskunde B
    wiskunde D is een keuzevak bij wiskunde B

  14. Proeme:

    dank Erwin. Weet je ook ongeveer welke onderwerpen bij welk wiskunde-deel vallen?

  15. Tim:

    Dat weet ik dan weer: Alles zit een klein beetje in alle wiskundes, alleen C is het makkelijkst, daarna A, dan B, daarna D.
    D gaat dieper door op de stof dan de rest. B is ook meer algebra dan C en A.

  16. Arno van Asseldonk:

    @Proeme: Op http://www.fi.uu.nl/ctwo/ staat een overzicht van de onderwerpen voor Wiskunde A t/m D.

  17. Niels:

    Tim: onderschat de algebra in wiskunde C en wiskunde A niet!
    Grootste verschillen: kansrekening en statistiek alleen in wis A en wis C, meetkunde alleen in wis B.

  18. Erwin:

    De algebra in wiskunde A/C is inderdaad meer dan in het oude A1/A12, maar minder dan in het oude B1. De algebra in wiskunde B is (heel) veel meer dan in de oude programma's.

  19. Proeme:

    meer algebra is alleen maar goed. Als ik zie hoe slecht eerstejaars studenten (van een technische opleiding, maar geen beta-opleiding) haakjes kunnen wegwerken, vraag ik me toch af wat er mis is met het onderwijs op de middelbare school.

  20. Proeme:

    Begrijp ik van die site die Arno postte (dank!) trouwens dat wiskunde A,B,C en D nog niet op alle scholen is ingevoerd, maar alleen op enkele experiment-scholen?

  21. Niels:

    @Proeme: Dta begrijp je verkeerd. Alle scholen bieden nu in HAVO 4 wiskunde A en B aan en in VWO 4 wiskunde A, B, en C. Wiskunde D kan ook (op beide niveaus), maar is niet verplicht.

    Over algebra bij wiskunde B: In het VWO B1 examen moesten dit jaar haakjes worden weggewerkt bij (0,5x - 0,5y)^2 en (0,5x + 0,5y)^2. Dat konden maar weinig leerlingen foutloos uitvoeren...
    Hopelijk gaat dat beter met de 'nieuwe' wiskunde B.

  22. Proeme:

    maar Niels, in die link wordt gesproken over examenprogramma's vanaf 2013. Huidige 4e klassers doen in 2009 (HAVO) of 2010 (VWO) al examen.
    Wat zijn die examens van 2013 dan?

    en die haakjes wegwerken: laat me raden. De uitkomst was volgens velen 0.25x^2 - 0.25y^2 en 0.25x^2 + 0.25y^2

  23. Erwin:

    @Proeme:
    ad 2.
    Het ligt iets ingewikkelder, want plussen en minnen speelden ook nog een rol.

    De gehele opgave:

    Er zijn twee rechthoekige driehoeken.
    In de eerste driehoek zijn de rechthoekszijden 'h' en '0.5x-0.5y', de hypotenuse is 10
    In de eerste driehoek zijn de rechthoekszijden 'h' en '0.5x+0.5y', de hypotenuse is 18

    Door in elke driehoek h^2 uit te drukken in x en y kun je afleiden dat y = 224/x.

    Geef deze afleiding.

    Wat daar allemaal fout kan gaan.......

  24. Erwin:

    oeps, twee keer eerste.....

    Dat moet natuurlijk zijn:
    In de eerste driehoek zijn de rechthoekszijden ‘h’ en ‘0.5x-0.5y’, de hypotenuse is 10
    In de tweede driehoek zijn de rechthoekszijden ‘h’ en ‘0.5x+0.5y’, de hypotenuse is 18

  25. Niels:

    @Proeme:
    Dit schooljaar zijn wiskunde A, B, C en D gestart en over een paar jaar wordt de inhoud van deze vakken herzien (maar de vakken blijven wel bestaan), vandaar de verwarring.

    @Erwin:
    Was het maar zo dat het fout ging door die plussen en minnen... Leerlingen schrijven o.a. 0,5x^2 + 0,5y^2 op.

    Elders in het examen moest (500t)^2 worden uitgerekend. Dat wordt natuurlijk 2500 + 500t + 500t + t^2 ...

  26. Paul:

    Tja,

    ik ben natuurlijk al erg oud, deed examen in 1976, geloof ik, maar dit lijkt mij toch wel erg simpel:
    gewoon een vereenvoudiging van een kwadratische vergelijking, de fomules goed toepassen en klaar. Het komt toch allemaal neer op:
    a²+b²=c² , (a+b)²=a²+2ab+b² en (a-b)²=a²-2ab+b²
    Klopt dit? Volgens mij kregen wij dat in de vierde klas.

  27. Albert Hendriks:

    Je moet dan geloof ik ook nog een stelsel met twee vergelijkingen en twee onbekenden oplossen.

  28. Proeme:

    die formules kloppen Paul. Probleem is dat leerlingen die tegenwoordig niet meer onthouden of niet weten wat ze er mee moeten... Ergens zit er iets mis in ons systeem. Maar ik begreep dat met de vernieuwde tweede fase er weer meer aandacht is voor dit soort algebraïsche vaardigheden. I hope so...

  29. Joke Zwarteveen:

    Aanvulling: in wiskunde D zit ook statistiek en kansrekenen. Maar wiskunde D wordt een (profiel)keuzevak. Dat betekent, dat een NT-er moet kiezen uit wiskunde D, informatica en NLT (een soort veredeld ANW)in zijn profiedeel, en dat iemand die wiskunde B heeft dit vak mag kiezen in zijn vrije ruimte.
    Verbetering: differentiaalvergelijkingen zitten niet in B (was dat maar zo), maar in D. Van het VWO wel te verstaan. Havo heeft ook wiskunde D, maar dat is meer toegepast op het HBO, logisch. Verder heeft havo geen wiskunde C: in het profiel CM hoef je geen wiskunde meer te doen.

  30. Paul:

    En wat is er dan gebeurd met integralen en differentialen?

  31. Arno van Asseldonk:

    @Paul: Integraalrekening maakt samen met differentiaalrekening nog wel deel uit van de v.w.o.-stof voor Wiskunde B, maar bij integraalrekening wordt alleen het integreren van standaardprimitieven toegepast. Voor de invoering van de Tweede Fase werd er daarnaast ook nog wel aandacht besteed aan partieel integreren en het gebruik van de substitutiemethode, maar nu komen die methoden alleen in het HBO en op de universiteit aan bod.
    Wat ik daarnaast nog kwalijker vind is dat men sinds de Tweede Fase (en ook al enige tijd daarvoor) wel de regels voor het differentiaalrekenen laat aanleren, maar dat doet zonder het limietbegrip toe te passen, terwijl de definitie van de afgeleide daar juist op is gebaseerd. Het heeft in mijn ogen iets weg van de leerlingen te leren timmeren zonder hen daarbij een hamer te laten gebruiken.

  32. Niels:

    @Arno:
    Leerlingen leren wel werken met (f(x+h) - f(x))/h
    voor 'hele kleine h', dus dat limietbegrip is niet helemaal weg. Het woord limiet wordt er inderdaad niet bij genoemd.

  33. Proeme:

    precies. Leerlingen kennen de term 'limiet' niet meer, maar door met die kleine h te werken neem je intuïtief natuurlijk gewoon de limiet. Het gaat allemaal minder formeel, veel meer op intuïtie tegenwoordig. Of je dat een goede ontwikkeling vindt of niet, valt natuurlijk over te twisten. En de waarheid zal dan ergens in het midden hangen.

  34. Willem:

    Kennen de term 'limiet' niet meer? Die kennen ze al sinds op z'n minst 1998 niet meer, toen ik in 6 VWO zat. Toen werd limiet op z'n best heel erg informeel uitgelegd en werd er ook eigenlijk niet van je verwacht dat je het verband kon leggen tussen limiet en afgeleide. Dat laatste werd meer als een soort algoritme gepresenteerd, in de zin van 'de afgeleide van x^2 is 2x, geen vragen stellen, doe de sommen maar gewoon'. Zelfde verhaal met integralen - was gewoon een kwestie van primitieven uitrekenen.

  35. Bram:

    Nou, ik weet vrij zeker dat mijn wiskundeleraar (nog van de oude stempel :) ) bij de definitie van de afgeleide zeker het begrip limiet heeft gebruikt en opgeschreven. En bij B1,2 hebben we de standaardlimieten uit Wisforta afgeleid en ook de regel van ene l'Hôpital behandeld. Maar de exacte definitie van de limiet, zoals hij op Wikipedia staat (de limiet als x nadert tot a van f(x) is gelijk aan L, als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) - L | < ε) hebben we dan weer nooit voorbij zien komen.

  36. Relinde:

    Toen ik in 2002 eindhexamen wiskunde B1,2 deed (tweede fase dus), had ik wel een formele definitie van een limiet geleerd. Niet helemaal met epsilons en delta's, en ik geloof ook vooral voor rijen die divergeren of die convergeren naar nul. Het was iets in de zin van: "Een rij x(n) divergeert als voor elke r er een index N is zodat voor alle n>N geldt dat x(n) > 10^r." (En voor rijen die naar nul convergeren krijg je x(n) < 10^-r.) Daarmee kan je al echt bewijzen dat een rij convergeert, niet alleen het nattevingerwerk. En de notatie van limiet kregen we ook. Maar ja, misschien hebben ze dit er nu wel weer uit gegooid...

  37. Willem:

    @ Bram: Die limiet definitie die je aanhaalt is die van de continuiteit van functies, niet per se van rijen (die ook een epsilon gebruikt, maar dan weer geen delta).

  38. Proeme:

    Relinde, ik deed eindexamen in 2003, ook B12 (VWO). Ik heb die formele definitie nooit gezien. De notatie wel, maar een definitie werd niet gegeven. En dat werd al helemaal niet in verband gebracht met de differentiaalrekening.

  39. Lalagè:

    Ik deed in 2000 examen en heb zeker wel geleerd wat een limiet is! Toen we in de vierde klas de principes van het differentieren leerden, ben ik wel even een paar dagen in de war geweest: ik kon het niet meteen vatten en dacht dat ik geen wiskunde meer kon... gelukkig viel het kwartje na een tijdje wel :) en kon ik verder met genieten.

  40. Toulalan:

    ik heb ook in 2003 examen gedaan, maar ik had dan weer wel die formele definitiesgezien... ligt er denk ik maar net aan wat de docent belangrijker vond: de dingen behandelen die alleen in het examen terug kunnen komen of ook dingen behandelen die niet in het examen komen, maar wel belangrijk worden geacht...

    en t examen van dit jaar was wel heel simpel... zelfs degenen die bijles hebben gegeven en er tegen opkeken zeiden dat...

  41. examen vca:

    haha dat klinkt alsof je het leuk vindt om examen te doen... naja weinig spanning over cijfers iig! succes verder!

  42. lottes:

    wiskunde is zooo makkelijk

  43. Wiskundemeisjes » Blog Archive » Engelse examens:

    [...] wel een interessante vraag vind: hoe zijn de wiskunde-examens in Nederland veranderd? Ik heb zelf vorig jaar het eindexamen wiskunde B1,2 gedaan voor de Volkskrant en had de indruk dat het examen wat [...]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.