Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

De aap en de kokosnoten


In Puzzels, door Ionica

Op zoek naar informatie over Farey sequences plukte ik Introduction to number theory van Daniel E. Flath uit de bibliotheek. In de inleiding las ik

My own conscious interest in Diophantine equations goes back to a long winter's night in a St. Louis basement in 1962 when my father and I tried to solve the notorious problem of the monkey and the coconuts as presented by Martin Gardner.

Ik was gelijk benieuwd naar deze blijkbaar beruchte puzzel. Toevallig heb ik de verzamelde columns van Gardner op mijn laptop staan en een zoekopdracht 'monkey coconuts' leidde me naar The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. Ik ga de eerste twee bladzijden van zijn column hier gewoon kopiëren, want beter opschrijven dan Gardner kan ik het toch niet.

In the October 9, 1926, issue of The Saturday Evening Post appeared a short story by Ben Ames Williams entitled "Coconuts." The story concerned a building contractor who was anxious to prevent a competitor from getting an important contract. A shrewd employee of the contractor, knowing the competitor's passion for recreational mathematics, presented him with a problem so exasperating that while he was preoccupied with solving it he forgot to enter his bid before the deadline. Here is the problem exactly as the clerk in Williams's story phrased it:

"Five men and a monkey were shipwrecked on a desert island, and they spent the first day gathering coconuts for food. Piled them all up together and then went to sleep for the night. But when they were all asleep one man woke up, and he thought there might be a row about dividing the coconuts in the morning, so he decided to take his share. So he divided the coconuts into five piles. He had one coconut left over, and he gave that to the monkey, and he hid his pile and put the rest all back together.

Een aap met een kokosnoot

By and by the next man woke up and did the same thing. And he had one left over, and he gave it to the monkey. And all five of the men did the same thing, one after the other; each one taking a fifth of the coconuts in the pile when he woke up, and each one having one left over for the monkey. And in the morning they divided what coconuts were left, and they came out in five equal shares. Of course each one must have known there were coconuts missing ; but each one was guilty as the others, so they didn't say anything. How many coconuts were there in the beginning?"

Williams neglected to include the answer in his story. It is said that the offices of The Saturday Evening Post were showered with some 2,000 letters during the first week after the issue appeared. George Horace Lorimer, then editor-in-chief, sent Williams the following historic wire: FOR THE LOVE OF MIKE, HOW MANY COCONUTS? HELL POPPING AROUND HERE.

Wie de rest van de column wil lezen (met daarin verschillende versies van dit probleem én methodes om de oplossing te vinden) moet vooral het boek van Gardner kopen. Enthousiaste lezers mogen (for the love of Mike) natuurlijk ook in de reacties vertellen hoeveel kokosnoten er lagen toen de mannen gingen slapen.

24 reacties op “De aap en de kokosnoten”

  1. Anneleen:

    In het meest aannemelijke geval lagen er 3121 kokosnoten. (Alhoewel het ook niet eenvoudig is om zo'n hoeveelheid op 1 dag bij elkaar te rapen lijkt mij.)

    Theoretische andere mogelijkheden (maar praktisch gezien minder waarschijnlijk): elk ander aantal bekomen door een veelvoud van 15625 bij 3121 op te tellen, dus 18746 kokosnoten, 34371, 49996, ...

    En nee, ik heb het boek van Gardner waar (de) oplossingsmethodes zouden instaan niet... ;-)

  2. Tim:

    even de gehele oplossing (Volgens mij) geven... bij het einde beginnen.
    Er ligt een 5voud aan kokosnoten, 5 is dus het makkelijkst. dan keer 5 + 1 is 26 kokosnoten, keer 5 + 1 is 131 kokosnoten, keer 5 + 1 is 656 kokosnoten, keer 5 + 1 is 3281 kokosnoten, dan zijn er 4 mensen geweest.. keer 5 + 1 is 16406 kokosnoten... dat lijkt mij inderdaad vrij veel voor 1 dag. (3121 - 1) / 5 = 624 en (623 - 1) / 5 komt niet uit. 3121 kan dus niet...

  3. Tim:

    wacht even, klein detailtje over het hoofd gezien.. vergeet mijn vorige comment, ik probeer het wel eens opnieuw wanner ik weer tijd heb.

  4. Anneleen:

    Inderdaad is (3121-1)/5 = 624, maar dit is de hoeveelheid die de eerste man wegneemt. Dan blijven er dus nog 2496 kokosnoten over. Als persoon 2 komt neemt hij er dus (2496-1)/5 = 499 weg, blijven er 1996 over. Persoon 3 neemt er 399 weg, nog 1596 kokosnoten over. Nummer 4 slaat een voorraad van 319 kokosnoten in, nog 1276 over. Nummer 5 neemt er 255. Dan liggen er de volgende morgen nog 1020, en dit kunnen ze precies in 5 eerlijke delen verdelen. Komt dus wel mooi uit.

  5. Frank:

    @ Tim
    Dat is toch niet juist? Als er 26 noten liggen en de vijfde komt langs dan haalt hij er toch vijf (1/5) van af en geeft er één aan de aap: dan is er niet 1 over maar zijn er 20 over.

  6. Oase:

    Ik kom op 3911 kokosnoten. Lijkt me ietwat veel, maar het werkt wel. Je moet volgens mij een 5-voud vinden dat deelbaar is door 0,32768.

  7. Oase:

    foutje gemaakt, excuses! Ik herbereken even...

  8. Oase:

    2161 it is!

  9. Marco Streng:

    Leuk puzzeltje! Jammer dat je er geen echte diophantische vergelijkingen voor nodig hebt. Met een beetje modulorekenen kan je hem al oplossen. Het antwoord: 3121 plus een onbekend veelvoud van 18746. Welk veelvoud is niet uit de informatie af te leiden, behalve dat twintigduizend kokosnoten wel erg veel is.

  10. Oase:

    Echt de laatste, sorry voor het spammen, maar het moet 3121 zijn. My final answer! Helaas wel met hulp van excel...

  11. Marco Streng:

    (ok, maar dat wist Anneleen al lang)

  12. Marco Streng:

    (en dit was een reactie op m'n eigen bericht 9, niet op bericht 10 van Oase)

  13. Oase:

    Dat modulo-rekenen moet iemand me toch nog eens uitleggen... Dan ben ik die vervelende cijfers achter de komma ook eens kwijt.

  14. han:

    apen en kokosnoten, wat leuk!

  15. Tim:

    Zoals ik dus al zei, vergeet mijn eerdere comment, was dat keer 4 vergeten.

  16. Arno van Asseldonk:

    @Oase: Op http://nl.wikipedia.org/wiki/Modulair_rekenen vind je een nadere uitleg over modulorekenen.

  17. Camiel:

    Kijk uit malloot!

  18. Marco Streng:

    Een ko-kosnoot!

  19. Marco Streng:

    Hier is een kokosnotenpuzzel die wat meer met diophantische vergelijkingen te maken heeft: Een groep mensen (deze keer geen apen) lijdt schipbreuk op een kokosnoteneiland. Een voor een lopen ze het bos in om kokosnoten te zoeken. De eerste komt met 1 kokosnoot terug, de tweede met 2, de derde met 3, enzovoort. Alle verzamelde kokosnoten worden als volgt opgestapeld. Er worden kokosnoten in een driehoek op het strand gelegd. Daarop wordt een kleinere driehoek gelegd, gevolgd door weer een kleinere driehoek, op zo'n manier dat de kanonskogelstapeling van
    http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Close-packed_spheres.jpg precies af komt (met mogelijk een ander aantal verdiepingen). Hoeveel schipbreukelingen zijn er? (Er zijn eindig veel antwoorden mogelijk.)

  20. Willem:

    @ Marco Streng: Een van de oplossingen is dat er 4 schipbreukelingen zijn.

    De andere oplossingen zijn te vinden door de volgende Diophantische vergelijking op te lossen

    6N(N+1) = 2S(S+1)(S+2),

    waar N het aantal schipbreukelingen zijn en S het aantal 'lagen' van de kanonskogelstapeling.

    Kan het natuurlijk compleet verkered hebben..

  21. Willem:

    D'r kan natuurlijk ook gewoon 1 schipbreukeling zijn.

  22. jan van rongen:

    N=1,4,15,55,119. Python programpje. So far so good. Ik dacht dat het dan ook simpel te bewijzen zou zijn, maar dat valt zwaar tegen.

  23. Marco:

    @jan van rongen: Volgens mij zijn dat ze allemaal, behalve N=0 als je die mee wilt tellen. Om het te kunnen bewijzen moet je weten wat een elliptische kromme is en heel wat werk doen. Het feit dat er slechts eindig veel oplossingen zijn heet de stelling van Siegel.

  24. fred schalekamp:

    Het probleem is nog niet opgelost door bovenstaande inzendingen. Daarom bij deze:
    Stel er zijn K kokosnoten en de schipbreukelingen pakken er resp S1, S2, S3, S4 en S5. Stel op de laatste dag krijgen ze er elk nog een rest R. De volgende vergelijkingen leiden dan tot de oplossing:
    K=5*S1+1, 4*S1=5*S2+1, 4*S2=5*S3+1, 4*S3=5*S4+1, 4*S4=5*S5+1 en 4*S5=5*R+1.
    Even wat elementair rekenwerk: 1024*K=15625*R+11529. Dan een klein programaatje schrijven en dan geldt K=15621 als kleinste oplossing.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.