Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Jeanine op kamp (2)


In Puzzels, door Jeanine

Nog een puzzel van wiskundekamp.

Deelbaarheid

In een klaslokaal zaten 30 leerlingen. De leraar schreef een getal op het bord. Een voor een zeiden de leerlingen: "Het getal is deelbaar door 31", "Het getal is deelbaar door 30", "Het getal is deelbaar door 29", ..., "Het getal is deelbaar door 2". Volgens de leraar hadden maar twee leerlingen het fout en die kwamen ook nog direct na elkaar. Welke uitspraken waren fout?

10 reacties op “Jeanine op kamp (2)”

  1. Alexander van Hoorn:

    16 en 17. Er komen verder geen veelvouden van 16 en 17 voor in de getallen 18 t/m 31.
    16 is de hoogste macht van 2 kleiner dan 31 en 17 is een priemgetal, dus de hoogste macht van zichzelf kleiner dan 31.
    Voor het antwoord wil je sowieso twee opeenvolgende getallen hebben die de hoogste macht van een of ander priemgetal bevatten (waar "bevatten" in dit geval opgevat moet worden als "zijn").
    Dus p^a + 1 = q^b met gehele getallen a en b en priemgetallen p en q. Met p=2, q=17, a=4 en b=1 lukt het.

  2. Jurjen:

    Alexander, wil je de volgende keer niet te veel van de oplossing geven? Wij willen ook graag puzzelen.

  3. Koen Vervloesem:

    Jurjen, als je de beslissing neemt om de reacties te lezen, weet je dat er kans is dat je de oplossing leest... Wil je zelf nog puzzelen, lees dan gewoon de reacties niet :-)

  4. Marco:

    Toch nog iets kleins over voor Jurjen om over na te denken: Alexander laat op een mooie manier zien wat precies de oplossingen zijn en geeft er 1, maar hij laat nergens zien dat dit de enige is.
    Ik ben het trouwens eens met Jurjen. Zijn er geen manieren om oplossingen te verbergen, zoals met wit schrijven?

  5. Alexander van Hoorn:

    Sorry, ik zag te laat dat het on-nietleesbaar was. Misschien helpt het voortaan in letters schrijven in plaats van in cijfers, of de alinea niet beginnen met het antwoord.
    Over het antwoord nog even: Als een van de getallen, zeg x, verschillende priemgetallen bevat, dan is het samengesteld uit twee getallen r,s>1 die relatief priem zijn en dan is het getal van de leraar dus niet deelbaar door r of niet door s, en beide verschillen meer dan 1 van x, dus dat kan niet. Dus x bestaat uit alleen maar dezelfde priemfactoren. Voor het andere getal, y=x±1, geldt hetzelfde.
    Machten van priemgetallen > 2 zijn oneven en verschillen dus minstens 2 van elkaar en machten van 2 verschillen ook minstens 2 van elkaar (behalve 1, maar dat getal werd niet genoemd). Dus x xof y is even. Dus zeg x=2^n de hoogste macht van 2 kleiner dan of gelijk aan 31, dus x=2^4=16. Er volgt y=15 of y=17. 15 bevat verschillende priemfactoren dus voldoet niet. 17 voldoet wel.

  6. Gijs:

    Zo! net van vakantie terug en even inhalen!
    Wat is dan het kleinste getal dat de leraar op zijn bord had kunnen schrijven?
    2123581660200?

  7. Marco:

    @Gijs: Die arme leerlingen!

  8. Albert Hendriks:

    @Gijs: klopt

  9. Jurgen:

    Ik snap het niet helemaal denk ik. Als de leraar het getal had opgeschreven wat de uitkomst is van 31*30*29*...*2, dan hadden alle leerlingen het toch bij het rechte eind gehad?

  10. De Meester:

    @Jurgen, als het getal van de leraar deelbaar is door 4, dan is het dat ook door 2. Voor het product dat jij noemt zijn alle uitspraken van de leerlingen waar. Maar dat geldt ook voor 2*3*5*7*..*29*31

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.