Wiskundemeisjes

Deze column verscheen in de Volkskrant op 11 april 2009.

Veel wiskundigen die ik ken houden van spelletjes. Ik speel dan ook regelmatig een avondje Kolonisten van Catan of Carcassonne met mijn collega’s. En als je een spel speelt, wil je natuurlijk het liefst winnen. Wiskundigen hebben daarom een heleboel spellen bestudeerd om een optimale strategie te vinden.

Bij veel spelletjes is niet van tevoren met zekerheid te zeggen wie er zal winnen, zelfs niet als je aanneemt dat alle spelers optimaal slim spelen. In poker bijvoorbeeld zit altijd een kanselement. Je kunt uitrekenen dat de kans op een paartje azen stukken groter is dan de kans op een royal flush, maar de garantie dat een van de spelers met een bepaalde strategie zeker zal winnen is er niet. Hetzelfde geldt voor Kolonisten van Catan en Carcassonne.

Andere spellen, bijvoorbeeld schaken en boter-kaas-en-eieren, hebben geen kanselement. Je bent in die spellen niet afhankelijk van willekeurig getrokken kaarten of van wat je gooit met een dobbelsteen. Voor spellen zonder kanselement bestaat er soms een winnende strategie voor een van de spelers. Dat wil zeggen dat je altijd wint als je deze strategie volgt - wat de andere speler ook doet.

Een voorbeeld van een spelletje met een winnende strategie is het volgende luciferspel voor twee spelers. Er liggen 21 lucifers op tafel. Iedere speler neemt als hij aan de beurt is één, twee of drie lucifers weg. Wie de laatste lucifer moet pakken, verliest. Wat is het beste om te doen? En maakt het uit wie er begint?

Stel dat u het spel tegen mij speelt. Uit beleefdheid laat ik u beginnen, en u pakt twee lucifers weg. Dan neem ik er ook twee. Vervolgens pakt u er eentje, dan neem ik er drie. Zo gaan we een paar beurten door, en uiteindelijk ligt er na mijn vijfde beurt nog maar één lucifer op tafel, zodat u verliest. Hoe kan dat?

Het feit dat ik u laat beginnen zou al een alarmbel moeten laten rinkelen: er is in dit spel een winnende strategie voor de tweede speler. Wat ik als tweede speler doe is namelijk het volgende. Als u één lucifer neemt, neem ik er drie. Als u er twee neemt, pak ik er ook twee. En als u er drie neemt, neem ik er eentje. In totaal verdwijnen er dus elke keer wanneer we allebei aan de beurt geweest zijn vier lucifers. Na vijf beurten ieder zijn er dus twintig lucifers weg, en is er nog één over!

Voor schaken is zo’n winnende strategie nog niet gevonden, dat is vreselijk gecompliceerd. Spellen zonder kanselement hoeven ook helemaal geen winnende strategie te hebben. Boter-kaas-en-eieren bijvoorbeeld eindigt altijd in remise als allebei de spelers optimaal slim spelen.

Natuurlijk maakt het bekend zijn van een winnende strategie een spel meteen stukken minder leuk: je weet van tevoren al precies wat er zal gaan gebeuren en wie er gaat winnen, en dan is de lol er wel af. Maar als uw familieleden de krant vandaag nog niet gelezen hebben, maakt u een goede kans met het luciferspel!

Aanstaande dinsdag geeft Marcus du Sautoy, die we eens naar zijn favoriete (nog levende!) wiskundige vroegen, een publiekslezing over zijn net vertaalde nieuwe boek Het symmetrie-monster (Finding Moonshine).

Hoe is het om door een briljante ingeving een eeuwenoud wiskundig vraagstuk op te lossen? En om, tien minuten later, erachter te komen dat je daarbij een denkfout hebt gemaakt? In "Het symmetrie-monster" gaat wiskundige Marcus du Sautoy op zoek naar het geheim van een van de belangrijkste natuurverschijnselen.

De lezing is op dinsdag 14 april om 17:30 in de Doelenzaal van de Universiteitsbibliotheek van Amsterdam. Toegang is gratis, maar wegens het beperkte aantal plaatsen moet je je wel aanmelden via een berichtje. Wij hebben er al zin in!

Het is weer tijd voor een nieuwe aflevering van onze rubriek over wiskundigen die op een opvallende manier om het leven zijn gekomen. Deze editie gaat over Gerhard Gentzen die aan het eind van de Tweede Wereldoorlog overleed.

Gentzen werd in 1909 geboren in Duitsland. Zijn vader was een advocaat die sneuvelde in de Eerste Wereldoorlog. Gentzen kon goed leren, bij zijn eindexamen was zelfs hij de beste van zijn school. Hij kreeg een beurs om naar de universiteit te gaan en studeerde, zoals in de tijd gebruikelijk was, aan verschillende universiteiten. In 1933 haalde hij zijn doctoraat bij Weyl in Göttingen. Een jaar later werd hij de assistent van Hilbert (van het hotel en de problemen). In de tussentijd was hij ook lid geworden van de Sturmabteilung.

Gentzen werkte aan de grondslagen van de wiskunde. Onder Hilbert werkte hij aan het axiomatiseren van de wiskunde. In diezelfde tijd bewees Gödel zijn onvolledigheidsstelling. Gentzen was eerst ongerust dat dit gevolgen had voor zijn werk, maar later schreef hij dat het resultaat van Gödel erg interessant, maar niet alarmerend was:

Man kann es auch so ausdrücken, dass sich für die Zahlentheorie kein ein für allemal ausreichendes System von Schlußweisen angeben lässt, sondern dass vielmehr immer wieder Sätze gefunden werden können, deren Beweise neuartige Schlußweisen erfordern.

Het artikel over Gentzens belangrijkste resultaat op wikipedia (Gentzen's consistency proof) heeft trouwens een expert nodig, zijn er vrijwilligers?

Gentzen was sinds 1937 lid van de NSDAP en schreef voor het nationaal-socialistische tijdschrift ``Deutsche Mathematik" (bovenstaand citaat komt daaruit). Tot 1943 bleef hij verbonden aan de universiteit van Göttingen, hoewel hij tussen 1939 en 1941 in militaire dienst moest. Na zijn habilitation in 1943 vertrok hij naar Praag om daar aan de universiteit les te gaan geven - wat een deel was van het Duitse oorlogsplan. Op 5 mei 1945 kwam de Praagse bevolking in opstand en Gentzen werd, zoals alle Duitsers in Praag, gevangen genomen. Na vier dagen kwamen de Russische troepen die Gentzen onder embarlijke omstandigheden opsloten. Een medegevangene vertelde dat Gentzen best tevreden was over de opsluiting:

I can see him lying on his wooden bunk thinking all day about the mathematical problems that preoccupied him. He once confided in me that he was really quite content since now he had at last time to think about a consistency proof for analysis...

Na drie maanden in gevangenschap stierf Gentzen aan ondervoeding.

Je kunt op het plaatje klikken voor een grotere versie. Het stripje komt van Abstruse Goose waar een boel grapjes over wiskunde enzo zijn te vinden.

Bij de jongen met het petje moest ik trouwens gelijk aan mijn goede vriend Sidney denken. Ik durf te wedden dat hij een paar seconden geleden`holy shit' zei voor hij aan zijn petje krabde en narekende of inderdaad gelijk is aan .

Inmiddels is de tv-serie Numb3rs, waarin wiskunde gebruikt wordt om misdaden op te lossen, alweer vijf seizoenen bezig. Voor slimme fans van Numb3rs en andere lezers die van puzzels houden: op de website The math behind Numb3rs (van Wolfram Research) staat bij elke aflevering van seizoen 5 een uitdagende puzzel, een (soms klassiek) probleem dat iets te maken heeft met de wiskunde die in de betreffende aflevering aan de orde is geweest. De puzzels zijn zeer verschillend van karakter en volgens mij ook van moeilijkheidsgraad, maar de meeste zijn niet makkelijk. In de hints en oplossingen staan linkjes naar de achterliggende wiskunde. Op de Wolfram Blog kun je een stukje lezen van een van de makers. Veel plezier!

Op vrijdag 15 mei organiseert de Technische Universiteit Delft een wedstrijd voor meiden uit 5 VWO. Met een team verzin je in een dag een oplossing voor een uitdagend probleem. Het model in bovenstaand plaatje heeft dan ook niets te maken met de Vogue of Glamour, je gaat deze dag een (wiskundig) model maken om de oplossing te vinden. Meer informatie vind je op de website of in de flyer (pdf). Het beste team wint een mooie laptop en het wordt vast een leuke dag, dus meld je aan of wijs anderen op deze wedstrijd!

De dames op de foto zijn trouwens ook geen ingehuurde modellen, maar heuse Delftse studentes. Op de site van Maak een model in een dag vertellen Linda (uiterst links) en Emma (in het midden) bijvoorbeeld wat zij leuk vinden aan hun wiskundestudie.

Soms levert een wandelingetje naar de boekwinkel een leuke verrassing op. Een tijdje geleden zag ik opeens een boek liggen dat mijn aandacht trok omdat het er mooi uitzag, en bovendien stonden er wat wiskundige symbolen op de kaft. (Later, toen ik het boek al uit had, kwam ik er achter dat er zelfs een hele rits decimalen van pi op de rand van het omslag, tussen de voorkant en de binnenflap, staat.) Het was "The Housekeeper and the Professor" van de Japanse schrijfster Yoko Ogawa.

Ik kocht het, en het viel zeker niet tegen! Het boek gaat over een huishoudster die aan de slag gaat bij een man met een bijzondere handicap: door een ongeluk werkt zijn geheugen niet meer goed. Zijn korte-termijngeheugen duurt tachtig minuten, en verder heeft hij alleen zijn herinneringen tot 1975 nog. Voor het ongeluk was de man een wiskundeprofessor en hij weet dus nog steeds veel over wiskunde. Hij kan niet meer werken, maar geniet wel van het oplossen van de problemen in de problemenrubriek van een wiskundetijdschrift.

De wiskunde blijkt een mooie manier te zijn om met de professor te communiceren. De eerste ontmoeting (die zich natuurlijk dagelijks min of meer herhaalt) gaat als volgt:

When I tried the doorbell on Monday, it seemed to be broken.

"What's your shoe size?"

This was the Professor's first question, once I had announced myself as the new housekeeper. No bow, no greeting. If there is one ironclad rule in my profession, it's that you always give the employer what he wants; and so I told him.

"Twenty-four centimeters."

"There's a sturdy number," he said. "It's the factorial of four." He folded his arms, closed his eyes, and was silent for a moment.

De professor blijkt een begaafd docent te zijn:

The one topic we could discuss without any worry was mathematics. Not that I was enthusiastic about it at first. In school, I had hated math so much that the mere sight of the textbook made me feel ill. But the things the Professor taught me seemed to find their way effortlessly into my brain - not because I was an employee anxious to please her employer but because he was such a gifted teacher. There was something profound in his love for math. And it helped that he forgot what he'd taught me before, so I was free to repeat the same question until I understood. Things that most people would get the first time around might take me five, or even ten times, but I could go on asking the Professor to explain until I finally got it.

Het boek gaat over de relatie tussen de huishoudster, haar zoon en de professor. De zoon en de professor blijken allebei van baseball te houden, al geeft ook dat complicaties doordat de professor nog leeft met de spelers uit 1975 in zijn hoofd. De professor heeft een koosnaam voor de zoon:

We called him the Professor. And he called my son Root, because, he said, the flat top of his head reminded him of the quare root sign.

Het boek is erg mooi geschreven en geeft een intiem portret van deze drie mensen en de invloed die ze hebben op elkaar. Je gaat als lezer vanzelf ook een beetje van ze houden. Een grote aanrader!