Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Haren


In Column, door Jeanine

Deze column verscheen in de Volkskrant van 17 januari 2009.

In de kerstvakantie las ik, zoals dat hoort, elke dag een hoofdstuk van De Avonden. Bij verscheidene ontmoetingen begroet Frits van Egters zijn vrienden of broer met een opmerking over hun steeds dunner wordende haar: ‘Je bent alweer kaler geworden,’ zei Frits, ‘je wordt ontzettend kaal.’ Ik vroeg me opeens af: hoeveel haren heeft een mens eigenlijk op zijn hoofd? Even zoeken op internet leverde snel een antwoord op. Het hangt een beetje af van je haarkleur, maar gemiddeld ligt het aantal haren op een hoofd rond de 100 duizend. Roodharigen hebben de minste haren, ongeveer 90 duizend, en blonde mensen de meeste, ongeveer 150 duizend.

Dat betekent dat in een stad als Amsterdam, waar iets meer dan 750 duizend mensen wonen, in ieder geval twee mensen wonen met precies evenveel haren op hun hoofd! Dat kun je laten zien met een wiskundig principe dat het ladenprincipe heet. Het ladenprincipe zegt het volgende. Als je tien laden hebt en je stopt elf balletjes in die laden, dan is er altijd minstens één la waarin meer dan één balletje zit, hoe je de balletjes ook over de laden verdeelt. In het algemeen: als je n laden hebt, en je verdeelt n+1 of meer balletjes over die n laden, dan is er minstens één la met meer dan één balletje. Dat klinkt tamelijk voor de hand liggend, en dat is het ook, maar toch is het soms nuttig als je voor de laden en de balletjes handige vertalingen kiest.

Laten we aannemen dat het maximale aantal haren op een hoofd 200 duizend is, wat een beetje aan de hoge kant is, maar dat geeft niet. Dus de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben zijn 0, 1, 2, …, 200 duizend. Nu bekijken we de iets meer dan 750 duizend inwoners van Amsterdam. Die kunnen we verdelen over deze mogelijke aantallen haren: elke inwoner wordt gekoppeld aan het aantal haren op zijn hoofd. Oftewel: de inwoners van Amsterdam corresponderen met de balletjes, en de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben corresponderen met de laden. Omdat er meer inwoners zijn dan mogelijke aantallen haren, zijn er minstens twee inwoners met precies evenveel haren op hun hoofd. En het leuke is: we hoeven nooit een Amsterdammer gezien te hebben om deze conclusie te kunnen trekken. In dit geval zijn er trouwens zoveel meer balletjes dan laden dat we zelfs kunnen concluderen dat er minstens drie inwoners zijn met evenveel haren op hun hoofd.

Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u! En ook zijn het niet per se steeds dezelfde mensen die evenveel haren op hun hoofd hebben: het aantal haren op een hoofd verandert als er haren uitvallen. Maar wel weten we zeker dat er op elk moment drie Amsterdammers zijn met precies evenveel haren, al weten we niet wie dat zijn. Tenzij u toevallig drie helemaal kale Amsterdammers kent.

21 reacties op “Haren”

  1. P:

    Dirichlets Pigeonhole Principle :D

  2. Rogier:

    De "modus" zou wel eens kunnen liggen bij de mensen met 0 haren op hun hoofd ... een goed voorbeeld van het verschil tussen modus, mediaan (bruinharige) en gemiddelde.

    Oeps ... ik had de laatste zin moeten lezen voordat ik deze reactie schreef.

  3. Jan Paul:

    Erg leuk! Ik zal voortaan toch met een iets andere blik door de stad lopen: 'zou die misschien evenveel... als die of nee, die misschien met die...'

  4. Han-Wen Nienhuys:

    ..Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u!..

    Tenzij de lezer in Amsterdam woont, natuurlijk.

  5. Jeanine:

    @Han-Wen: Nee hoor! Het is niet zo dat we zeker weten dat er voor IEDERE Amsterdammer twee andere Amsterdammers zijn met evenveel haren.

    Het is a priori bijvoorbeeld niet onmogelijk dat "de lezer die in Amsterdam woont" 100 duizend haren heeft, en alle andere Amsterdammers toevallig 100.001.

  6. Vincent:

    Zelf vind ik het toch altijd een beetje een onveilig idee dat er in Amsterdam iemand rondloopt met dezelfde pincode als ik...

  7. Jeanine:

    @ Vincent: dat weet je dus ook niet helemaal zeker! Maar het is natuurlijk wel zo dat er in Amsterdam een boel mensen met dezelfde pincode moeten zijn. Het is maar goed dat we in dit geval ook niet weten wie dat zijn. ;-)

  8. Werner:

    Leuk! Nu kan ik niet eens zo goed hoofdrekenen, maar ik vroeg me toch af..

    Als je 75 balletjes hebt en 20 laatjes, dan zouden er in het beste geval toch in 19 laden 3 balletjes kunnen zitten en in 1 la 18?

    Kan je dan niet zelfs zeggen dat er in ieder geval vier inwoners zijn met hetzelfde aantal haren?

    (dan ga ik me nu storten op de som onder deze commentbox, ter voorkoming van spam)

  9. Jeanine:

    @Werner: Inderdaad! Je snapt het helemaal. Ik had beter "vier" kunnen schrijven.

    (En de som is blijkbaar ook gelukt. ;-) )

  10. Marco:

    Jeanine, Han-Wen heeft gelijk hoor. Als ik in Amsterdam woon, dan woont er iemand in Amsterdam met evenveel haren als ik, namelijk ....
    Het is natuurlijk niet zeker dat er iemand anders dan ik in Amsterdam woont met evenveel haren als ik.

  11. Jeanine:

    @Marco: ja, op die manier wel natuurlijk!

  12. P:

    waarom is mijn vorige post verwijderd? Was een reactie op Han-Wen, nog voordat Jeanine reageerde...

  13. Fokko:

    Ik vind het voorbeeld van haren altijd dubieus. Ik ben namelijk helemaal niet zeker dat iemand op een gegeven tijdstip uberhaupt wel een goed gedefinieerd aantal haren heeft. In elk geval is het onmogelijk te tellen. De aantallen zijn in elk geval zo groot dat je zeker dingen tegenkomt die net wel/net niet een haar zijn (of net wel/net niet op het hoofd zitten). En dan heb je twijfel en weet je dus het precieze antwoord niet en is er wat mij betreft de vraag of zo'n antwoord uberhaupt bestaat. En als je van een persoon niet kunt zeggen hoeveel haren hij op zijn heeft, kun je volgens mij ook niet zeggen dat hij evenveel haren heeft als iemand anders.

  14. Ionica:

    @P: We hebben geen reactie weggehaald, was hij echt op de site verschenen? Ik durf het bijna niet te vragen, maar had je de som wel goed beantwoord?

  15. P:

    ja, ik zag mijn reactie staan. Ik vermoed dat ik op "preview" heb geklikt ipv op "post"...

    @Fokko: dat klopt wel, maar gaat de gemiddelde lezer zo ver? Het is toch een leuke eenvoudige manier om een wiskundig principe uit te leggen? Een heel mooi principe ook, ik was bij mijn lessen Number Theory groot fan van Dirichlets Pigeonhole Principle :)

  16. Fred Schalekampl:

    Fokke,
    1. Je hoeft helemaal niet te weten hoeveel haren iemand heeft. Er is gesteld dat er een MAXIMUM aantal haren is waaruit volgt dat er meerdere personen zijn met eenzelfde aantal.
    2. Het aantal haren is een natuurlijk getal tussen twee grenzen (nul en het maximum) dus heb je op een bepaald moment een bepaald aantal haren. Niet moeilijk doen dus, Fokke

  17. CasaSpider:

    Erg leuk artikel!
    Verbazingwekkend hoe lang mensen moeten nadenken over die haren en hoe gemakkelijk het is met behulp van de ladenkast.
    (Het kan natuurlijk ook zijn dat ik en de mensen om mij heen gewoon niet al te snugger zijn)

  18. Inge:

    Ik heb dit principe altijd gekend als het "duivenhokprincipe", naar de Engelse term blijkbaar.

  19. Pincode:

    De reactie's over pincode doen mij een vraag rijzen. De pincode van mijn betaal-pas is dezelfde als de pincode van de tank-passen van het wagenpark van mijn werkgever. Voor mij, die geen getallen onthouden kan, een weelde.

    Hoe groot is de kans op dit gelukje? [I](en -een vraag hieraan gerelateerd- hoeveel lieden -in het land- hebben dan een pincode gelijk aan -de cijfers van- de postcode)[/I].

    Ed.

  20. pincode:

    Hoi Ed,

    leuke vraag over die pincodes. Ik denk dat dat gelukje 1 op 10000 is. Waarom? Omdat zowel de pincode van je betaal-pas (B) als die van je tank-pas (T) een waarde heeft tussen 0000 en 9999, dus 10000 mogelijkheden. Stel nu dat B = 0000, dan alleen in het geval dat T = 0000 vallen ze samen. In alle andere 9999 gevallen van T, zijn B en T anders; dus maar bij 1 op de 10000 zijn ze precies hetzelfde, want 0000 en 0000.

    Voor de postcode is het misschien zelfs zo dat door stom toeval er niemand is met een postcode die hetzelfde is als zijn pincode. Het zou (erg onwaarschijnlijk) best wel eens zo kunnen zijn dat iedereen die in postcode 1111 woont, een pincode heeft die anders is dan 1111, zoals iedereen in postcodegebied 1234 een andere pincode kan hebben dan 1234.

    Ik hoop dat het helder is (en klopt, ben geen wiskundige, maar daarvan zijn er genoeg aanwezig om evt. te verbeteren)

  21. Govert:

    Ik ben wel eens verbaasd geweest over de kans dat in een schoolklas van 30 kinderen er twee op dezelfde dag jarig zijn. Die is heel groot (te lui om op te zoeken en te onwetend om ter plekke te berekenen). Dat is wel iets anders dan de kans dat iemand in die klas op dezelfde dag jarig is als ik. Maar daar doet dit met die pincodes me aan denken.

    Gegeven de code van 'jouw' pinpas, wat is de kans dat de code van je tankpas hetzelfde is? Ik denk inderdaad 1 op 10000 (afgezien van dat volgens mij pincodes als 1234 en 7777 uitgesloten zijn omdat de gemiddelde mens niet gelooft dat dat willekeurig is).

    De _kans_ dat 'iemands' postcode gelijk is aan 'diezelfde iemands' pincode is veel moeilijker te berekenen (vergelijk de verjaardagen waar ik mee begon). Hij zal echter enorm zijn.

    Je hebt wel gelijk dat, zolang die kans niet 1 is, het door 'stom toeval' zo kan zijn dat de kans nooit gerealiseerd is. Dat is bijna de definitie van 'kans'. En ik weet niet of iemand die dat in dit geval kan weerspreken het durft te posten :-)

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.