Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Spelletjes


In Column, door Jeanine

Deze column verscheen in de Volkskrant op 11 april 2009.

Veel wiskundigen die ik ken houden van spelletjes. Ik speel dan ook regelmatig een avondje Kolonisten van Catan of Carcassonne met mijn collega’s. En als je een spel speelt, wil je natuurlijk het liefst winnen. Wiskundigen hebben daarom een heleboel spellen bestudeerd om een optimale strategie te vinden.

Bij veel spelletjes is niet van tevoren met zekerheid te zeggen wie er zal winnen, zelfs niet als je aanneemt dat alle spelers optimaal slim spelen. In poker bijvoorbeeld zit altijd een kanselement. Je kunt uitrekenen dat de kans op een paartje azen stukken groter is dan de kans op een royal flush, maar de garantie dat een van de spelers met een bepaalde strategie zeker zal winnen is er niet. Hetzelfde geldt voor Kolonisten van Catan en Carcassonne.

Andere spellen, bijvoorbeeld schaken en boter-kaas-en-eieren, hebben geen kanselement. Je bent in die spellen niet afhankelijk van willekeurig getrokken kaarten of van wat je gooit met een dobbelsteen. Voor spellen zonder kanselement bestaat er soms een winnende strategie voor een van de spelers. Dat wil zeggen dat je altijd wint als je deze strategie volgt - wat de andere speler ook doet.

Een voorbeeld van een spelletje met een winnende strategie is het volgende luciferspel voor twee spelers. Er liggen 21 lucifers op tafel. Iedere speler neemt als hij aan de beurt is één, twee of drie lucifers weg. Wie de laatste lucifer moet pakken, verliest. Wat is het beste om te doen? En maakt het uit wie er begint?

Stel dat u het spel tegen mij speelt. Uit beleefdheid laat ik u beginnen, en u pakt twee lucifers weg. Dan neem ik er ook twee. Vervolgens pakt u er eentje, dan neem ik er drie. Zo gaan we een paar beurten door, en uiteindelijk ligt er na mijn vijfde beurt nog maar één lucifer op tafel, zodat u verliest. Hoe kan dat?

Het feit dat ik u laat beginnen zou al een alarmbel moeten laten rinkelen: er is in dit spel een winnende strategie voor de tweede speler. Wat ik als tweede speler doe is namelijk het volgende. Als u één lucifer neemt, neem ik er drie. Als u er twee neemt, pak ik er ook twee. En als u er drie neemt, neem ik er eentje. In totaal verdwijnen er dus elke keer wanneer we allebei aan de beurt geweest zijn vier lucifers. Na vijf beurten ieder zijn er dus twintig lucifers weg, en is er nog één over!

Voor schaken is zo’n winnende strategie nog niet gevonden, dat is vreselijk gecompliceerd. Spellen zonder kanselement hoeven ook helemaal geen winnende strategie te hebben. Boter-kaas-en-eieren bijvoorbeeld eindigt altijd in remise als allebei de spelers optimaal slim spelen.

Natuurlijk maakt het bekend zijn van een winnende strategie een spel meteen stukken minder leuk: je weet van tevoren al precies wat er zal gaan gebeuren en wie er gaat winnen, en dan is de lol er wel af. Maar als uw familieleden de krant vandaag nog niet gelezen hebben, maakt u een goede kans met het luciferspel!

5 reacties op “Spelletjes”

  1. Philip:

    wie kent het spel MamaMia? Daar moet je pizza's bakken. Dat is nou een spel waarbij ik benieuwd ben naar wat speltheorie erover zegt :)

    (ook al heb je daar ook het gelukselement. Hoe zit dat eigenlijk? Gaat speltheorie over spellen zonder gelukselement of over alle spellen?)

  2. werner:

    Het luciferspel ken ik als Nim. Een truukje is trouwens om een extra lucifer in je handpalm te verbergen, voor het geval je tegenspeler wil dat jij begint. In dat geval pak je in jouw eerste beurt een lucifer van de tafel terwijl je onopvallend die extra lucifer bij de andere lucifers laat vallen. Zo begint de tegenstander in feite toch en kan je de strategie vervolgens als normaal hervatten.

    Los daarvan, ken je de stelling van Sprague-Grundy? Ik (ook) niet, maar het spel Nim wordt blijkbaar gebruikt ter illustratie van deze stelling. Nou ben ik geen wiskundejongetje en begrijp het niet helemaal precies, maar wikipedia vertelde het mij. (http://en.wikipedia.org/wiki/Sprague-Grundy_theorem)

  3. werner:

    Trouwens, deze gast legt een andere versie van het luciferspel uit, ook misschien wel enigszins wiskundig interessant?

    Je moet even zijn kapsel en ietwat vreemde persoonlijkheid negeren, dan kan je zijn spelletjes en truukjes misschien net als mij wel waarderen. Hij legt ook altijd uit hoe het werkt.

    Ik heb het over Brian Brushwood van "scamschool", en hier is de aflevering over advanced nim: http://revision3.com/scamschool/advancenim/

  4. Jeanine:

    @ Philip: In principe kun je over alle spellen wiskundig nadenken, maar ik weet niet of iemand Mama Mia al geanalyseerd heeft!

    @ Werner: Stiekem een lucifer erbij leggen is natuurlijk eigenlijk gewoon valsspelen. Wat je ook kan doen is wachten tot je tegenstander een foutje maakt, dat doet hij vast als hij de winnende strategie niet kent, en dan kun je ook zorgen dat er weer 1 modulo 4 lucifers liggen.

    Het spel is inderdaad een variant van nim, maar bij nim heb je meestal verschillende stapels en mag je een willekeurige hoeveelheid lucifers van een stapel halen.

  5. Gastspreker: het wiskundemeisje « Van alle markten thuis:

    [...] spelletje met lucifers Jeanine beschrijft in deze column het spel Nim, een heel eenvoudig spel waarbij de tweede speler altijd kan winnen. Leg de regels uit [...]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.