Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Rekenen met geld


In Algemeen, door Ionica

Veel wiskundigen gaan na hun studie of promotie in de financiële wereld werken. En sommige wiskundigen zijn zo enthousiast over hun nieuwe baan dat ze ons om de haverklap leuke nieuwtjes en tips uit die hoek sturen. Neem bijvoorbeeld Rogier Swierstra, die ons al meermaals vroeg om een aflevering van Vallende sterren te schrijven over zijn held Johan de Witt.

Deze week mailde hij ons enthousiast over een column van Erica Verdegaal. Toevallig ben ik ook nogal fan van Erica, ze schrijft voor de nrc.next (en NRC) over financiële producten. Vaak zou ik haar voorbeelden zo over willen nemen op de wiskundemeisjes.


Niet iedereen vindt na zijn promotie een baan.

Niet iedereen vindt na zijn promotie een baan


De column die Rogier ons stuurde heet de misrekenende rechter en leverde op Erica's site al een boel reacties op.

Hoe zwaar je met rendementsvoorspellingen de mist in kan gaan, toont de Amerikaanse wiskundehoogleraar John Allen Paulos in zijn boek De gecijferde mens. Een vader koopt beursaandeel Z voor 1.000 euro. Zijn nazaten mogen Z na een eeuw verkopen. Uit het verleden weet vader dat Z jaarlijks evenveel kans heeft op 60 procent koerswinst als op 40 procent koersdaling. Wat is de meest waarschijnlijke waarde over honderd jaar?

Aanbieders van lease- en andere beleggingsproducten pakken deze rekensom steevast zo aan. Eerst becijfert men de verwachte koersstijging in één jaar. Voor Z is dat het gemiddelde van +60 procent en -40 procent. Dus 10 procent. Deze 10 procent projecteert men op de komende eeuw. En als je jaarlijks 10 procent winst boekt, groeit 1.000 euro na een eeuw tot het astronomische bedrag van 13.780.612 euro.

Deze berekening is fout. Deze berekening is fout. In het meest waarschijnlijke geval zal aandeel Z namelijk vijftig van de honderd jaren 60 procent stijgen en vijftig van de honderd jaren 40 procent dalen. Dat brengt de meest waarschijnlijke eindwaarde, in dit geval, op €1.000 × (1,6 ^ 50) × ( 0,6 ^ 50 ). En dat is helaas… maar 130 euro.

Lees hier de rest van het artikel en de vele reacties - waaronder een mooie van (je raadt het al) Rogier.

16 reacties op “Rekenen met geld”

  1. Vincent:

    Maar Johan de Witt zou dan ook perfect in de rubriek vallende sterren passen!

  2. Jeanine:

    @ Vincent: ik denk dat het er ook nog wel van komt, hoor! Dat vinden wij namelijk ook. ;-)

  3. Reijer:

    [quote]...dat Z jaarlijks evenveel kans heeft op 60 procent koerswinst als op 40 procent koersdaling.[/quote]

    Nogal wiedes, beide kansen zijn namelijk 0 (bij continue koersen).

    Nouja vooruit, koersen zijn in de praktijk discreet. Ik wilde maar even zeuren dat er beter had kunnen staan dat de kans op elk van de koersen 0,5 is, ipv dat ze gelijk zijn. ;-)

    Leuk voorbeeld weer. Wat zijn mensen toch eigenlijk slecht met getallen en kansen. Dat is maar goed ook. Meer werk voor ons.

  4. Rogier:

    De reacties op Ericas blog zijn erg goed. Vooral #45 (over het Kelly criterium) is erg leuk.

    En het is een voorbeeld waar je heel veel uit kan halen, ook voor niet-wiskundigen ... voor iedereen die met geld omgaat eigenlijk.

  5. juwita:

    Het door Erica Verdegaal gebruikte rekenvoorbeeld van John Allen Paulos lijkt aan onze alpha 'wetenschappers'' binnen de rechterlijke macht niet te zijn besteed. Vandaag werd de misleidingsclaim in de aandelenleaserechtsstrijd door de Hoge Raad van tafel geveegd. Na de rechterlijke dwalingen in strafrechtzaken (o.a. Lucia de B.; betrof ook kansberekenen) nu voor het eerst zo'n 'dwaling'' in een civielrechtelijke zaak. Zonder de inzet van echte wetenschap krijgt rechtspraak m.i. de trekjes van een moderne vorm van wichelroederij. Een zwarte bladzijde voor de Nederlandse rechtspraak.

  6. Rudiculous:

    Het is inderdaad een mooi voorbeeld. Wat jammer dat het helemaal fout is wat er beweerd wordt. Ik heb zojuist enkele miljoenen computersimulaties van dit probleem doorgerekend en uit het resultaat kan ik niet anders dan concluderen dat de verzekeraars hier toch echt gelijk hebben.

  7. Vincent:

    Helemaal fout is een groot woord.

    Wat heb je precies uitgerekend? De verzekeraars hebben gelijk dat wanneer enkele miljoenen mensen deze investering doen, het gemiddelde van al hun winsten en verliezen vrij groot (en positief) is.

    Maar als je in je computersimulatie kijkt hoeveel van de miljoenen mensen 1 euro overhouden, hoeveel 2, hoeveel 3 etc dan zul je zien dat Erica Verdegaal ook gelijk heeft als ze zegt dat de groep met 130 euro van al deze groepen het grootst is.

    De vraag is wat voor de individuele belegger interessant is om te weten: het eerste of het tweede of nog iets heel anders. De meeste mensen hebben niet genoeg geld om de belegging een paar miljoen keer te doen en dan het gemiddelde te nemen. Het gemiddelde lijkt dus niet zo relevant. Aan de andere kant is die grootste groep die maar 130 euro overhoudt ook niet zo heel groot: de kans dat je daar in valt is ongeveer 8 procent.

    Zelf zou ik misschien vooral geinteresseerd zijn in de vraag: hoe groot is de kans op winst bij deze belegging en hoe groot de kans op verlies? Zou je dat in je computersimulatie op kunnen zoeken en hier posten?

  8. Martijn:

    De vraag die Vincent stelt is voor beleggers denk ik een hele goede. Puur als wiskundige zou ik zeggen dat ik bij deze investering maar één ding wil weten: de kansverdeling van het rendement. De verwachting, modus en kans op winst en verlies zijn elk getallen die iets zouden moeten zeggen over deze kansverdeling (en daar ook allemaal uit zijn af te leiden).

    In verband hiermee wordt bij investeringen ook vaak de "Value at Risk" (VaR) uitgerekend. Dit is een soort overschrijdingskans. Als een investering een VaR op 5% van zeg 100 euro heeft, dan is de kans dat de investering uiteindelijk minder dan 100 euro waard is 5%. Door de VaR voor een aantal kansen uit te rekenen, kan vrij gemakkelijk een beeld gevormd worden van het risico en rendement van een investering.

  9. Rudiculous:

    Dat kan misschien zijn dat ze dat wilt, maar dan slaat het argument dat zij aanvoert nergens op. Ik heb ook de kans uitgerekend dat je überhaupt winst maakt en deze is slechts 30%. Maar het is een fout te denken dat kansrekening iets zegt over individuele gevallen. Een kans van 30% wilt letterlijk zeggen dat als je 100 simulaties uitvoert, dat je verwacht dat in 30 van deze simulaties je winst zult boeken (de wet van LaPlace). Over individuele gevallen kun je niks zeggen. Ik vind dat het dan zinniger is om te kijken naar de verwachte winst en daarmee een risico-analyse uit te voeren. En daar moet ik de verzekeraars toch gelijk geven.

  10. Vincent:

    De verwachtingswaarde zegt al helemaal niks over individuele gevallen. Wie heeft er ooit 3 en een half gegooid met een dobbelsteen?

    Misschien is de conclusie dat je het beste een paar miljoen mensen kunt verleiden die belegging voor hen te doen in in ruil voor, zeg, de helft van hun winst of verlies.

    De meeste van die mensen gaan er flink op achteruit maar hebben tenminste de schrale troost dat jij net zoveel verliest als zij (en dat ze al die administratieve rompslomp niet hebben) terwijl jij (met grote kans) uiteindelijk toch winst maakt...

  11. Rudiculous:

    Dat zou inderdaad een betere strategie zijn. Of wat vind je hier van? Je zet met een grote groep mensen in en verdeelt de totale winst.

  12. Vincent:

    Ja dat klinkt nog een stuk sympathieker!

  13. Martijn:

    Beste Vincent & Rudiculous,

    helaas! Dit zal in de praktijk waarschijnlijk ook niet werken: je neemt impliciet aan dat de opbrengsten per deelnemer onafhankelijk zijn, maar dat is vaak niet zo. Sterker nog: in dit geval gaat het om aandelen, dus als één deelnemer verliest, verliezen alle deelnemers.

    De strategie die jullie voorstellen is wordt op een andere manier wel gebruikt: door een 'portfolio' samen te stellen van aandelen die zo min mogelijk correlatie vertonen (of juist negatief) kun je ervoor zorgen dat het risico omlaag gaat bij een gelijk verwacht rendement. Een aardig voorbeeld hiervan is aandelen KLM en aandelen Shell: als de olieprijs hoger wordt, zou je verwachten dat Shell meer winst maakt en het aandeel Shell meer waard wordt. Aan de andere kant betekent dit hogere kosten voor KLM, en dus een lagere koers voor het aandeel KLM. Kortom: als Shell stijgt zal in het algemeen KLM dalen en andersom. Door nu 50% in Shell en 50% in KLM te investeren zal het risico van je investering veel lager zijn: als één van beide aandelen stijgt, zal de andere dalen. Helaas geldt het ook andersom, dus de kansen op een superhoog rendement zijn ook veel kleiner. De kans dat je uiteindelijke rendement dicht bij de verwachtingswaarde ligt is groter geworden. Deze strategie wordt ook wel 'diversificatie' genoemd.

  14. Vincent:

    Geweldig!

  15. Rogier:

    Vincent, je krijgt (bijna) een log-normale verdeling:
    http://nl.wikipedia.org/wiki/Lognormale_verdeling
    met (als ik geen rekenfouten gemaakt heb) parameters \mu=-2 en \sigma^2 = 25. (hmm, ik heb wel rekenfouten gemaakt, maar het gedrag is wel ongeveer zo, grote variantie relatief gemiddelde)

    Om op "winst" uit te komen hoef je maar 53 keer te winnen (1.6^52 * 0.6^48 = 92,4%) dus je kans op winst is de kans dat van honderd muntworpen je 53 keer (of meer) kop gooit.

    Je kan de paradox ook uitvergroten en dan kom je bij de
    http://nl.wikipedia.org/wiki/Sint_Petersburgparadox
    van (Groninger) Daniel Bernoulli. Je kans op winst wordt steeds kleiner, maar je uitbetaling bij winst veel sneller groter ... zodat de verwachtingswaarde naar oneindig gaat maar je kans erop naar nul.

  16. Hieronymus van Beverningh at Peter III of Russia:

    [...] Wiskundemeisjes » Blog Archive » Rekenen met geld Uncategorized | [...]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.