Internetbureau Rotterdam 
Dit bericht is geplaatst op zondag 12 juli 2009 om 09:26 in categorieën Algemeen, Puzzels. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Drie deuren - maar dan anders
In Algemeen,Puzzels, door Ionica
Het driedeurenprobleem is een klassieker. Voor wie het niet kent, leggen we het nog één keer uit.
Wilberd van der Kallen mailde ons over een nieuwe variant van deze puzzel. Hij kwam deze versie tegen in de Mathematical Intelligencer, in een ingezonden brief van A.S. Landsberg.
Landsberg stelt een spel met drie deuren voor waarbij een echtpaar mag proberen een auto te winnen. Er zijn drie deuren, met daarachter een auto, een autosleutel, of een geit - één per deur natuurlijk. De man moet de auto vinden, de vrouw de autosleutel. Alleen als ze beiden slagen krijgen ze de auto mee.
Eerst mag de man proberen de auto te vinden. Hij krijgt twee kansen. Hij opent een deur en als daar de auto niet staat mag hij nog een deur proberen. Kans van twee op drie volgens Bartjens. Intussen is zijn vrouw elders. De deuren worden weer dicht gedaan, de man wordt afgevoerd en nu mag de vrouw proberen om de sleutel te vinden. Ook zij mag twee deuren openen. Weer kans van twee op drie volgens Bartjens.
Niemand wil de geit - zelfs niet als hij extreem schattig is.
Het echtpaar mag van tevoren overleggen, maar er is geen contact tussen ze zodra het spel begonnen is. Nu komt het ongelofelijke: Ze kunnen een strategie afspreken die een kans van twee op drie op de auto levert!
Wie van jullie ziet hoe het echtpaar moet spelen?
zondag 12 juli 2009 om 14:25
Hieronder denk ik een oplossing
Als je een willekeurige deur aanduidt heb je een kans van 1 op 3 dat het geitje daar zit.
M.a.w. als je twee deuren aanduidt heb je een kans van 2 op 3 dat je het geitje niet vindt. In dat geval heb je zowel de auto als de sleutel.
Het koppel moet dus gewoon afspreken welke deur ze geen van beiden zullen openen om een kans van 2 op 3 te hebben op de auto en de sleutel.
zondag 12 juli 2009 om 14:30
Leuke puzzel! Het kan inderdaad, maar het heeft me wel een uurtje gekost om de oplossing te vinden. Kansrekening is een vak vol subtiliteiten en contra-intuitieve resultaten, dat blijkt maar weer eens. En, Peter, nog maar eens proberen!
zondag 12 juli 2009 om 14:32
Mooie oplossing! Waarom makkelijk doen als het ook moeilijk kan:
De man opent deur 1. Als hij een geit ziet opent hij deur 2, als hij de sleutel ziet opent hij deur 3.
De vrouw opent deur 3. Als ze de geit ziet opent ze deur 2 en als ze de auto ziet opent ze deur 1.
ALS de man de auto vindt (kans 2/3) vindt de vrouw zeker de sleutel.
zondag 12 juli 2009 om 14:33
Aargh waarom werkt de spoiler maar voor de helft?
zondag 12 juli 2009 om 14:36
En wat is er mis met de oplossing van Peter?
zondag 12 juli 2009 om 14:36
Dat was ook mijn oplossing, Vincent.
zondag 12 juli 2009 om 14:39
Onze posts kruisten, Vincent. Ik had ook jouw oplossing.
zondag 12 juli 2009 om 14:46
Ja ik zag ook pas dat jij geschreven had nadat mijn post met mislukte spoilerbalken verscheen. Oorspronkelijk verwees mijn opmerking "mooi oplossing" naar de post van Peter, maar hij is natuurlijk ook zeer van toepassing op jouw post waar hij nu onder staat.
zondag 12 juli 2009 om 14:47
Peter, als ze beide afspreken deur 3 niet te openen, winnen ze alleen als de geit achter deur 3 staat. Kans 1 op 3.
zondag 12 juli 2009 om 15:03
Zo, de spoilerbalken staan weer netjes. Je kunt blijkbaar geen lege regels ertussen gebruiken.
zondag 12 juli 2009 om 15:16
Als ik het goed begrijp kun je ook nog een kind introduceren dat het schattige geitje moet vinden zonder dat dat ten koste gaat van de 2/3 kans... Kansrekening blijft raar.
zondag 12 juli 2009 om 16:17
Wat er mis is met mijn oplossing:
twee deuren aanduiden geeft een kans van 2/3 op het geitje (niet 1/3). Mooie oplossing Vincent
zondag 12 juli 2009 om 17:37
Ik kwam laatst een meer algemeen probleem tegen dat me hieraan doet denken. In dit geval met N deuren en N mensen en N prijzen, elke prijs corresponderend met precies 1 persoon en achter elke deur precies 1 prijs. Achtereenvolgens mag iedereen een voor een de helft van de deuren openen (N is even). Alleen als iedereen zijn prijs vindt wint iedereen, anders niemand...
Hier kunnen ze ook van te voren een strategie afspreken die de kans in ieder geval groter dan 1/4 maakt. Wat is die strategie?
zondag 12 juli 2009 om 23:15
Voor het probleem van Claudia (en de oplossing daarvan), zie ook:
http://www.wiskundemeisjes.nl/20071014/honderd-gevangenen/
Bijna twee jaar geleden alweer en een nog fantastischere oplossing dan die hierboven. 2/3 is daarbij in het algemeen niet haalbaar, maar 1/4 wel.
maandag 13 juli 2009 om 00:21
Ja dat is hetzelfde probleem inderdaad :). Echt lastig vond ik!
maandag 13 juli 2009 om 11:19
De goeie oplossing staat er nog niet bij volgens mij :)
Hier mijn idee:
De vrouw moet info gebruiken uit de trekking van de man. Als ze afspreken dat de man sowiezo deur 1 opent, en daarna [i]afhankelijk van het resultaat[/i] óf deur 2 óf 3. Zo is de trekking van de vrouw altijd goed voor de sleutel. Ze weet namelijk het resultaat van deur 1 al voordat zij mag kiezen. Haar kans op succes wordt effectief 2 uit 2, dus 100%. De kans van de man op succes blijft onveranderd 2 uit 3. Samen dus een kans op succes van 2 uit 3.
Bv. de man opent altijd deur 1. Als hij de sleutel tegenkomt opent hij daarna deur 3. Komt hij de geit of de auto tegen dan opent hij daarna deur 2. De vrouw weet nu dus of de sleutel achter deur 1 zit of niet. Zit de sleutel achter deur 1 dan kiest ze ineens goed. Maar zit de sleutel nÃet achter deur 1 dan mag ze twee keer kiezen voor de deuren 2 en 3. Altijd prijs....
dinsdag 14 juli 2009 om 09:08
Michiel, als ik het probleem goed begrijp weet de vrouw het resultaat van de man niet.
de oplossing van Vincent is volgens mij ook niet de juiste:
stel dat de man de auto gevonden heeft achter deur 2. De vrouw moet nu. Ze kiest eerst deur 3 en ziet de geit. Dan opent ze deur 2 en vindt de auto. Geen prijs...
Oftewel, ook als de man de auto vindt is het met jouw tactiek niet zeker dat de vrouw de sleutels erbij vindt.
dinsdag 14 juli 2009 om 10:57
Hmmm, niet goed gelezen idd.... :{
Nog ff puzzelen :)
dinsdag 14 juli 2009 om 12:08
Ik hoop dat ik de spoilers dit keer goed krijg:
De situatie die Philip beschrijft komt niet voor als het echtpaar de strategie volgt die ik hierboven beschrijf: als de geit achter deur 3 zit en de auto achter deur 2, ziet de man achter deur 1 de sleutel en opent "dus" deur 3. Hij zal de auto in dat geval dus helemaal niet vinden. Het leven is soms onrechtvaardig.
woensdag 15 juli 2009 om 03:14
Ik snap het probleem kennelijk niet, want als de man altijd deuren 1 en 2 probeert en de vrouw 2 en 3 dan heb je 4 van de 6 keer de auto te pakken toch? Of wat zie ik over het hoofd?
woensdag 15 juli 2009 om 06:21
Okay, laat maar, ik zie nu de rekenfout van mezelf, want dit scenario leidt maar tot 1/2 en niet tot 2/3 kans.
donderdag 16 juli 2009 om 00:04
ah, je hebt gelijk Vincent. Foutje van mij.
maandag 20 juli 2009 om 16:04
Ik heb heel hard nagedacht en ik weet dé manier om het schattige geitje te winnen! :-P Wie wil er nou een auto als je een lief geitje kunt krijgen? ;)