Wiskundemeisjes

Jeanine op kamp (1)

Deze week begeleid ik weer een wiskundekamp! Om jullie te laten meegenieten van al het leuks dat we daar doen, verschijnen deze week wat kleine puzzels van kamp op deze site, met dank aan Maurice en Henno. Gebruik vooral de spoiler tags als je over je oplossing schrijft in de reacties.

De som

Een onbekend getal van drie cijfers heeft de volgende eigenschap: als we de volgorde van de cijfers omkeren en het verkregen getal met vier vermenigvuldigen en bij optellen, dan is het resultaat 1607. Wat is ?

14 reacties op “Jeanine op kamp (1)”

1. Werner:
   maandag 3 augustus 2009 om 11:09

   Volgens mij is dat 163!

2. Gert-Jan:
   maandag 3 augustus 2009 om 11:10

   We kunnen schrijven als , dan is en dus is

   Om die 7 op het einde te hebben, zien we aangezien maximaal 9 zijn, zijn de enige mogelijkheden voor 7, 17, 27 en 37.

   Bovendien zien we dat voor de tientallen van 1607 moet gelden dat:

   Hierdoor zien we dat ( kan enkel 0 of 5 mod 10 zijn). Hieruit volgt dat even moet zijn. Omdat en omdat , zien we dat

   is dus .

   die spoiler doet een beetje heel lastig :-( Kan iemand helpen?

3. Werner:
   maandag 3 augustus 2009 om 11:27

   Haha zo kan dat natuurlijk ook! Ik heb zelf gewoon rijtjes en formules gemaakt in Excel :)

   Ben zelf geen wiskundige en begrijp niet alles, maar vind het erg mooi wat je hebt gerekend Gert-Jan!

   Het lijkt erop dat de spoiler alles wat in LaTeX geschreven is, niet zwart maakt. Maar hoe dat te fixen weet ik ook niet.

4. Joris:
   maandag 3 augustus 2009 om 11:32

   Ik heb eerst 15 minuten zitten puzzelen met pen en papier. inderdaad met de methode die Gert-Jan beschreef. Maar toen heb ik toch maar gewoon een (brute-force) python programma geschreven, en zo loste ik het in 1 minuut op.
   
   for a in range(0,10):
       for b in range(0,10):
           for c in range(0,10):
               xa = a*100 + b*10 + c
               xb = c*100 + b*10 + a
               if (xb*4 + xa)==1607:
                   print a,b,c

   Sinds het vier-kleuren-probleem is de computer gebruiken voor een oplossing toch toegestaan?

5. Pascal:
   maandag 3 augustus 2009 om 12:01

   Ik heb het eerst op papier geprobeerd, maar ik was niet goed genoeg om het op te lossen ;-)

   Ik heb toen maar net als Joris een programmaatje (javascript) geschreven, alleen nog dommer:
   
   for(var x=100;x<1000;x++){
   reversed = String(x).split("").reverse().join("");
   if((reversed*4)+x == 1607){
   alert(x);
   break;
   }
   }
   

   Ik had eigenlijk ook op de methode van Gert-Jan moeten kunnen komen, maar ik was niet zo slim om dat zelf te bedenken. TOch weer wat geleerd vandaag ;-)

6. Rene:
   maandag 3 augustus 2009 om 12:24

   
   Ik begon op Gert-Jan's manier, 104a+50b+401c=1607 maar dan volgt meteen dat c maximaal 3 kan zijn (maximaal 4 en 104a+50b > 3) en als je die 3 invult staat zie je meteen dat a=1 en b=6 voldoen aan 104a+50b=404.
   

   ... en uniciteit is al impliciet in de opgave :-)

7. Steven:
   maandag 3 augustus 2009 om 12:56

   Ook gevonden via Rene's methode ...

8. Gert-Jan:
   maandag 3 augustus 2009 om 15:07

   Standaardvraag die ik mezelf dan stel...zijn er verschillende getallen die door op die manier te rekenen toch hetzelfde resultaat geven...

9. Jan:
   maandag 3 augustus 2009 om 15:58

   mijn gedachtexperiment: X 608, wat betekent dat x1 > 152 moet zijn, en dat x<251 moet zijn. Daarnaast gaat op dat zowel x1 als x kleiner moeten zijn dan 400, x was al kleiner dan 251. Dat houdt in dat de maximale waarde van C drie is. We gaan er vanuit dat de waarde van a, b, c niet aan elkaar gelijk zijn, dus c=3. invullen levert de volgende vergelijking op 1203+50B+104A=1607; Dat geeft de volgende vergelijking 50b+104a=404; als a 1 is, dan moet b 6 zijn, dus x zou 163 moeten zijn. Controle levert inderdaad 1607 op, en het valt binnen de voorwaarden. ergo ik

10. Jan:
    maandag 3 augustus 2009 om 16:04

    Wat jammer nou, dat de bovenste helft van mijn redenering is weggevallen, x=100a+10b+c; x1=100c+10b+a; x<1000; max waarde=999, dus 4x1+x=1607; 4x1=608. Voor de rest zie bovenstaande.

11. Jos:
    dinsdag 4 augustus 2009 om 08:58

    4zyx + xyz = 1607. Onder elkaar zetten en optellen en je ziet dat 4x + z = 7. Z zal niet groter dan 3 kunnen zijn, niet 1 en niet 2. Z moet dus 3 zijn. X is dan 1. 5y moet dan 30 zijn (als je nl. 12 (z=4*3) en 1 (x=1) optelt betekent dit dat 4y en y 30 moeten opleveren, nl. rest 3). En dus is y=6. Het getal is dus 163.

12. Fabiooltje:
    dinsdag 4 augustus 2009 om 20:47

    Ja maar, voor een willekeurige 4x en z (gegeven x en z beiden kleiner dan 10) kan de uitkomst hier 07 zijn, maar toch ook 17 of 27 of 37 als uitkomst hebben? En dat die "0" die er staat komt door het optellen van de tientallen?

    Of niet?

13. Philip:
    woensdag 5 augustus 2009 om 01:21

    stel dat 4x+z=17

    dan heb je voor de tientallen 5y=9 (plus het tiental van de 17 zorgt dat je op 10 uitkomt waardoor er een 0 komt in 1607)

    maar 5y=9 heeft geen oplossing in de gehele getallen.

    zelfde gebeurt als je 4x+z=27 en 4x+z=37 neemt.

14. Jos:
    woensdag 5 augustus 2009 om 09:01

    Als 4x+z=17. Met z=3 (kan niet >= 4 zijn, het getal 4zxy wordt dan >1600), is x geen geheel getal, etc.

Plaats een reactie