Internetbureau Rotterdam 
Dit bericht is geplaatst op vrijdag 7 augustus 2009 om 09:30 in categorieën Puzzels. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Jeanine op kamp (5)
In Puzzels, door Jeanine
Nullen en enen
Bewijs dat ieder geheel getal \(\) een veelvoud ongelijk aan nul heeft dat in het tientallig stelsel met alleen maar nullen en enen wordt geschreven.
(Dit ambigram vond ik op www.01101001.com.)
vrijdag 7 augustus 2009 om 10:19
Een soort duiventilprincipe werkt hier:
Beschouw de machten van 10 modulo n. Dat geeft je oneindig veel getallen modulo n, maar die kunnen natuurlijk niet allemaal verschillend zijn. Om preciezer te zijn, als je lang genoeg doorgaat met machten verzamelen, kom je zeker een bepaalde restklasse n keer tegen. Tel de corresponderende machten van 10 op.
vrijdag 7 augustus 2009 om 11:33
Wat code rammen op de pc geeft : 3*37=111, 4*25=100, 5*2=10, 6*185=1110, 7*143=1001,8*125=1000, 9*12345679=111111111
Waarbij 9 wel een mooie is.Echter geen idee hoe ik zoiets zou kunnen bewijzen voor alle gehele getallen...
vrijdag 7 augustus 2009 om 11:45
@Jeroen: goed gevonden!!
vrijdag 7 augustus 2009 om 14:37
@ Jeroen, mooi bewijs.
Hoe groot kan in het algemeen het kleinste positieve getal m zijn zodat n*m te schrijven is met alleen nullen en enen?
vrijdag 7 augustus 2009 om 15:29
@Steven: Die mooie waarde voor 9 volgt direct uit het rekentruucje dat wanneer de som der cijfers deelbaar is door 9, het getal ook deelbaar is door 9.
En daaruit volgt dat 111111111111111111 (18 enen) dus ook een geldige waarde is.
vrijdag 7 augustus 2009 om 23:47
Mooi bewijs van Jeroen.
Je kunt ook bewijzen dat ieder geheel getal \(\) dat niet deelbaar is door 2 en 5 een veelvoud ongelijk aan nul heeft dat in het tientallig stelsel alleen maar met enen wordt geschreven. Hier uit volgt de bewering eenvoudig.
zaterdag 8 augustus 2009 om 09:44
Onze kampoplossing leek op die van Jeroen:
neem de n+1 getallen {1,11,111, 1111,....., 1111111..11} (de laatste dus n+1 keer een 1).
Modulo n komt een klasse twee keer voor en trek de twee corresponderende getallen van elkaar af (rechtse min linkse, uiteraard).
zaterdag 8 augustus 2009 om 13:10
Fraai. Prijs voor Henno.
zaterdag 8 augustus 2009 om 19:09
de 'kampoplossing' werkt ook met ieder ander cijfer (ongelijk 0) dan 1.
vrijdag 14 augustus 2009 om 18:17
Die kampoplossing van Henno is wel erg elegant! Levert ook meteen een bewijs voor de versie die Sander formuleerde. Kent iemand ook een methode om zo'n veelvoud van alleen maar enen te vinden? (anders dan lukraak te proberen)
Hier is er een:
Zij n een natuurlijk getal niet deelbaar door 2 en 5. Schrijf de priemfactorontbinding op. Vind voor elk zo'n priemmacht \(\) een getal dat alleen maar uit enen bestaat (laten we zeggen: \(\) enen) en dat een veelvoud van \(\) is. Laat N het kleinste gemene veelvoud van alle \(\)'s zijn. Dan is het getal met N enen een veelvoud van n.
Bijv.: n=819=7*9*13. 7 deelt 111111, 9 deelt 111111111, en 13 deelt 111111111111. Het kgv van 6, 9 en 12 is 36, dus 819 is een deler van het getal met 36 enen.
Maar hoe vinden we nu zo'n veelvoud voor een priemmacht \(\)? Twee mogelijkheden:
1) \(\). Hiervoor geldt de mooie eigenschap dat \(\) een deler is van het getal bestaande uit \(\) enen. (Niet zo moeilijk.)
2) \(\). Dan kun je bewijzen dat \(\) een deler is van het getal bestaande uit \(\) enen.
Deze methode is trouwens niet optimaal. Hij levert bijv. op dat 11 een deler is van 1111111111, maar 11 is natuurlijk gewoon een deler van 11.