Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Jeanine op kamp (5)


In Puzzels, door Jeanine

Nullen en enen

Bewijs dat ieder geheel getal \(\) een veelvoud ongelijk aan nul heeft dat in het tientallig stelsel met alleen maar nullen en enen wordt geschreven.

(Dit ambigram vond ik op www.01101001.com.)

10 reacties op “Jeanine op kamp (5)”

  1. Jeroen:

    Een soort duiventilprincipe werkt hier:

    Beschouw de machten van 10 modulo n. Dat geeft je oneindig veel getallen modulo n, maar die kunnen natuurlijk niet allemaal verschillend zijn. Om preciezer te zijn, als je lang genoeg doorgaat met machten verzamelen, kom je zeker een bepaalde restklasse n keer tegen. Tel de corresponderende machten van 10 op.

  2. Steven:

    Wat code rammen op de pc geeft : 3*37=111, 4*25=100, 5*2=10, 6*185=1110, 7*143=1001,8*125=1000, 9*12345679=111111111

    Waarbij 9 wel een mooie is.Echter geen idee hoe ik zoiets zou kunnen bewijzen voor alle gehele getallen...

  3. Gert-Jan:

    @Jeroen: goed gevonden!!

  4. Marco:

    @ Jeroen, mooi bewijs.

    Hoe groot kan in het algemeen het kleinste positieve getal m zijn zodat n*m te schrijven is met alleen nullen en enen?

  5. Bert:

    @Steven: Die mooie waarde voor 9 volgt direct uit het rekentruucje dat wanneer de som der cijfers deelbaar is door 9, het getal ook deelbaar is door 9.

    En daaruit volgt dat 111111111111111111 (18 enen) dus ook een geldige waarde is.

  6. Sander:

    Mooi bewijs van Jeroen.

    Je kunt ook bewijzen dat ieder geheel getal \(\) dat niet deelbaar is door 2 en 5 een veelvoud ongelijk aan nul heeft dat in het tientallig stelsel alleen maar met enen wordt geschreven. Hier uit volgt de bewering eenvoudig.

  7. Henno:

    Onze kampoplossing leek op die van Jeroen:
    neem de n+1 getallen {1,11,111, 1111,....., 1111111..11} (de laatste dus n+1 keer een 1).
    Modulo n komt een klasse twee keer voor en trek de twee corresponderende getallen van elkaar af (rechtse min linkse, uiteraard).

  8. HJ:

    Fraai. Prijs voor Henno.

  9. Rinse Poortinga:

    de 'kampoplossing' werkt ook met ieder ander cijfer (ongelijk 0) dan 1.

  10. JoBe:

    Die kampoplossing van Henno is wel erg elegant! Levert ook meteen een bewijs voor de versie die Sander formuleerde. Kent iemand ook een methode om zo'n veelvoud van alleen maar enen te vinden? (anders dan lukraak te proberen)
    Hier is er een:

    Zij n een natuurlijk getal niet deelbaar door 2 en 5. Schrijf de priemfactorontbinding op. Vind voor elk zo'n priemmacht \(\) een getal dat alleen maar uit enen bestaat (laten we zeggen: \(\) enen) en dat een veelvoud van \(\) is. Laat N het kleinste gemene veelvoud van alle \(\)'s zijn. Dan is het getal met N enen een veelvoud van n.
    Bijv.: n=819=7*9*13. 7 deelt 111111, 9 deelt 111111111, en 13 deelt 111111111111. Het kgv van 6, 9 en 12 is 36, dus 819 is een deler van het getal met 36 enen.
    Maar hoe vinden we nu zo'n veelvoud voor een priemmacht \(\)? Twee mogelijkheden:
    1) \(\). Hiervoor geldt de mooie eigenschap dat \(\) een deler is van het getal bestaande uit \(\) enen. (Niet zo moeilijk.)
    2) \(\). Dan kun je bewijzen dat \(\) een deler is van het getal bestaande uit \(\) enen.
    Deze methode is trouwens niet optimaal. Hij levert bijv. op dat 11 een deler is van 1111111111, maar 11 is natuurlijk gewoon een deler van 11.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.