Internetbureau Rotterdam 
Dit bericht is geplaatst op woensdag 19 augustus 2009 om 09:55 in categorieën Puzzels. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Crossen maar
In Puzzels, door Ionica
Op de Zwarte Cross werd dit jaar een nieuw (zeer wiskundig verantwoord) onderdeel gepresenteerd. Op een racecircuit moest Bennie Jolink op zijn motor twee rondes rijden met in totaal een gemiddelde snelheid van 100 km/uur.
Bennie reed de eerste ronde met een gemiddelde snelheid van 50km/uur. Hoe snel moest hij de tweede ronde rijden om uit te komen op een gemiddelde snelheid van 100 km/uur?
Ik ontdekte (een andere versie van) deze puzzel op de geweldige blog van Richard Wiseman (hoogleraar publiek begrip van psychologie). Lees ook vooral zijn boeken!
woensdag 19 augustus 2009 om 11:01
Ik zou de neiging hebben te denken dat het niet meer gaat.
Als je een afstand x aan 50km/u aflegt, dan heb je net zo veel tijd nodig als iemand die een afstand 2x aflegt aan 100km/u.
Je hebt alle tijd die je hebt om de 2 ronden af te leggen dus al opgesoupeerd in deze ronde en je kunt het gemiddelde dus niet meer optrekken naar 100km/u voor de 2 ronden.
woensdag 19 augustus 2009 om 11:10
Was ook mijn conclusie. Als het parcours erg kort is en hij de tweede ronde met de snelheid van het licht zou afleggen zou hij denk ik nog wel in de buurt van die 100 km/uur kunnen komen.
woensdag 19 augustus 2009 om 12:25
[stel dat de rondeafstand 50 km is. Daar doet hij in de eerste ronde dus 1 uur over. Er is dus geen tijd meer over om in 1 ronde op een gemiddelde van 100 km te komen want dan zou hij deze 2e ronde in 0 sec moeten afleggen.]
woensdag 19 augustus 2009 om 12:34
Iets soortgelijks heb ik me wel eens afgevraagd tijdens wandelingen op vakantie. Tijdens een pauze komt wandelaar X. voorbij gelopen op dezelfde route als ik. Tien minuten later vertrek ik weer. Hoe veel harder moet ik lopen dan X om hem na hoeveel tijd weer in te halen?
(anders gesteld: als ik 6 km/u loop en X 5 km/u, hoe lang duurt het dan voordat ik een tijdsverschil van 10 minuten heb goedgemaakt? En hoe zit het met 10 km/u (ik ga rennen)?)
Kan iemand hier een mooie formule voor opstellen?
woensdag 19 augustus 2009 om 12:35
Mooi raadseltje, maar wiskundig helemaal niet zo moeilijk aan te tonen:
Als je een afstand x aan 50km/u aflegt, is t1 = x/50 (50t1=x). Als je een afstand 2x aan 100km/u moet afleggen, waarvan je de eerste x meter aan 50km/u hebt afgelegd, is analoog
2x = 100(t1+t2).
x substitueren en je komt uit dat t2 = 0, m.a.w. je moet de tweede ronde in 0 seconden afleggen
woensdag 19 augustus 2009 om 12:48
@Suzan:
De enige formule die je hier voor nodig hebt is afgelegde weg is tijd maal gemiddelde snelheid:
Stel dat je begin te tellen wanneer jij na je pauze vertrekt, d is de onbepaalde afstand
dan is
d = 6 t:
jou afgelegde weg is de tijd (in uren) maal je 6 km/u, maar ook
d = 5(t+1/6)
de afgelegde weg van je voorbijganger die 1/6 u vroeger is vertrokken. d vervangen geeft je als antwoord 50 minuten (na 5 kilometer).
Wanneer je gaat rennen is het nog makkelijker (als je dubbel zo rap gaat, heb je hem na 10 minuten)
woensdag 19 augustus 2009 om 12:52
Jullie zijn een stuk slimmer dan de lezers bij Richard Wiseman! Al had ik "Oerend hard" ook goed gerekend.
woensdag 19 augustus 2009 om 12:58
[even off topic]
Juist het boek van du Sautoy ontvangen en al een paar hoofdstukjes gelezen... werkelijk super!
Bedankt wiskundemeisjes.
woensdag 19 augustus 2009 om 14:10
Genoemde opgave (of een variant daarvan waarbij het wel mogelijk is de gevraagde gemiddelde snelheid te halen) staat ook al sinds jaar en dag in de schoolmethode Getal en Ruimte.
woensdag 19 augustus 2009 om 14:42
Het doet me een beetje denken aan een oud Wetenschapsquizprobleem over iemand die de Afsluitdijk op en neer fietst met en zonder tegenwind. Weet iemand nog hoe dat raadsel er precies uitzag?
woensdag 19 augustus 2009 om 15:03
De gemiddelde snelheid over de heen- en terugweg is het harmonisch gemiddelde [zie wikipedia] van de snelheid over de heenweg en de snelheid over de terugweg.
woensdag 19 augustus 2009 om 20:08
De 1e ronde (lengte d) vergde t1, en werd in een gemiddelde van 50 afgelegd:
(1) d/t1 = 50 oftewel t1 = d/50
De twee ronden samen (lengte 2d) vergden de duur van de eerste plus de
duur van de tweede (t2) en moeten in 100 afgelegd worden:
(2) 2d/(t1 + t2) = 100
We substitueren nu de gevonden waarde voor t1 uit (1) in (2):
2d/(d/50 + t2) = 100
i.e. d/50 + t2 = d/50
i.e. t2 = d/50 - d/50
Kortom, t2 = 0 is de enige oplossing. De tweede ronde kan geen tijd meer kosten.
donderdag 20 augustus 2009 om 08:47
@ Ionica's reactie. Haha, heel leuk. Hoe lang lag die grap al klaar ;)
donderdag 20 augustus 2009 om 09:54
Wees gerust hoor Ionica, ik zou hem nooit van mijn leven geraden hebben. Voor mijn gevoel zou het rond de 150 kilometer per uur liggen. Al wist ik natuurlijk wel dat dat niet klopte. Maar zelfs 'oerend hard' had ik waarschijnlijk niet geraden...
donderdag 20 augustus 2009 om 23:09
Ik had het uitgerekend en kwam tot mijn verbazing ook op een oneindige snelheid uit voor de tweede ronde. Wel uit te rekenen, maar vrijwel niet intuïtief aan te voelen.
donderdag 20 augustus 2009 om 23:11
Oh, nu lees ik pas de uitleg van L aan het begin. Knap, om het op die manier in één keer te zien!
maandag 24 augustus 2009 om 16:48
Sytse is de enige met het goede antwoord, de snelheid van het licht. De afstand wordt dan 0, en de klok (van Bennie) staat stil. MAAR: Bennie kan misschien wel oerend hard, de snelheid van het licht haalt hij niet, want hij heeft gewicht.
Bij nader inzien is de snelheid van het licht net zoiets als oneindig hard.
vrijdag 11 september 2009 om 20:28
Een erg leuk probleem, vooral de reacties bij anderen als je het zelf al weet. Ik heb het in Python geprogrammeerd, zie: http://www.casaspider.com/live/2009/09/python_gemiddelde_snelheid_slangenkuil_wiskunde_meisjes.html