Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Getallenrijtjes


In Column, door Jeanine

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Je kent ze vast wel. De getallenrijtjes, een vast onderdeel van iedere IQ-test. Wat is het volgende getal in het rijtje 2, 4, 6, 8? En in het rijtje 1, 3, 6, 10? Dit tweede rijtje komt voor in de thuistest van hoogbegaafdenvereniging Mensa. En de rijtjes kunnen natuurlijk ook nog veel moeilijker zijn.

chickeniqtest

Een leuk stripje van Savage Chickens

Maar voor wiskundigen die zo’n test doen is er een complicerende factor: ze weten namelijk dat eigenlijk elk antwoord goed is! Hoe zit dat dan? In het rijtje 2, 4, 6, 8, … ligt 10 toch wel erg voor de hand als volgend antwoord! Waarom zou ook een ander getal goed kunnen zijn?

Nou, ik weet nog wel een oplossing: 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2 zou ook een logisch vervolg kunnen zijn. Of 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, …: dan kijk je steeds naar het eindcijfer van het getal dat je krijgt door 2 op te tellen bij het vorige getal.

Nou kun je terecht zeggen: dat zijn flauwe voorbeelden. Maar er ligt een fundamenteel probleem aan ten grondslag. Je moet uit een paar getallen een patroon herkennen, en uit dat patroon weer afleiden wat de volgende getallen zijn. Het probleem is dat zo’n patroon nooit eenduidig kan worden vastgelegd door het geven van een eindig rijtje getallen.

Laten we eens naar het rijtje 1, 3, 6, 10 kijken. Het vervolg dat waarschijnlijk bedoeld wordt is: 15, 21, 28, 36. De verschillen tussen de getallen in het rijtje zijn dan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maar dat is niet de enige mogelijkheid. Als je in de uitdrukking \(\) achtereenvolgens 1, 2, 3 en 4 invult voor x, krijg je ook 1, 3, 6 en 10. Verder gaan door het invullen van 5, 6, 7 en 8 levert op: 1, 3, 6, 10, 12, 6, -17, -69. Dus 12 is net als 15 een goed antwoord. Sterker nog: voor elk getal dat je na 10 zou willen invullen bestaat zo’n formule!

Een andere leuke manier om ditzelfde rijtje af te maken, heeft te maken met het gooien van drie dobbelstenen. Als je met drie dobbelstenen gooit, gooi je altijd minstens drie ogen. Hoeveel manieren zijn er om drie te gooien? Dat lukt alleen door 1 met de eerste, 1 met de tweede en 1 met de derde dobbelsteen te gooien, dus dat geeft één (1) mogelijkheid. Om vier te gooien kun je 1, 1, 2 gooien, of 1, 2, 1, of 2, 1, 1. Dat zijn dus drie (3) mogelijkheden. Om vijf te gooien zijn er, jawel, zes (6) mogelijkheden. En voor zes gooien zijn er tien (10) mogelijkheden. Dus op deze manier krijgen we alweer het rijtje 1, 3, 6, 10, met als logisch vervolg het aantal mogelijkheden om zeven, acht, negen of tien te gooien, en dan ziet het rijtje er zo uit: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27.

Dit alles betekent dat zo’n IQ-test ook verwacht dat je het “eenvoudigste” patroon kunt kiezen als je er meer dan één ziet. En geef toe: kunnen inschatten wat andere mensen verwachten is natuurlijk ook een teken van intelligentie.

10 reacties op “Getallenrijtjes”

  1. Johan:

    Ik heb nooit in IQ testen geloofd en zal dat ook niet gaan doen :D

  2. Sjoerd Visscher:

    Er is een leuk algoritme om rijtjes af te maken:
    1. Als het rijtje 1 getal lang is, herhaal dat getal oneindig vaak.
    2. Als het rijtje langer is, gebruik dan dit algoritme recursief voor de verschillen tussen opeenvolgende getallen.

    Voor 1,3,6,10 gaat dit als volgt:

    Eerst een paar keer stap 2 uitvoeren
    1,3,6,10
    2,3,4
    1,1
    0
    Nu stap 1:
    0,0,0...
    En hiermee kunnen we de andere rijtjes weer langer maken:
    1,1,1,1...
    2,3,4,5,6...
    1,3,6,10,15,21...

    En voor 1,3,6,10,12:

    1,3,6,10,12
    2,3,4,2
    1,1,-2
    0,-3
    -3

    -3,-3,-3...
    0,-3,-6,-9...
    1,1,-2,-8,-17...
    2,3,4,2,-6,-23...
    1,3,6,10,12,6,-17...

  3. Sander:

    Hier stond ook iets over in de pythagoras van april 2009.

  4. Sophie:

    Goed punt. Bij IQ-testen kan er wel rekening worden gehouden met dit doordenk-fenomeen, dat niet voorbehouden is aan wiskundigen maar waar meer begaafde mensen mee te kampen hebben... de opgaves zijn namelijk van verschillende moeilijkheidsgraden en kinderen die te ver doordenken maken dan de makkelijke opgaves slecht of in ieder geval minder consistent goed en de moeilijke opgaves juist beter.. dan gaat het pas boeien en dan staan er ook minder zijwegen open.

    Ik noem hier kinderen omdat ik zeker weet dat er bij het testen van kinderen rekening mee gehouden wordt. Toen mijn zoontje op school nog te makkelijke stof kreeg zag hij het antwoord en ging hij daarna eindeloos dubben omdat het toch niet zo simpel kon zijn.

    Het gegeven dat je niet moet antwoorden wat jij zelf denkt maar wat jij denkt dat zij verwachten dat jij denkt is voor dat soort kinderen een belangrijke les om het onderwijs goed door te komen....gaap....

  5. Jeroen:

    Het meest verassende rijtje dat ik ooit ben tegengekomen is die van Hofstadter in 'Fluid Concepts and Creative Analogies': 0, 1, 2, 720!

  6. sjappie:

    4!!!! is de volgende?

  7. Tom Koornwinder:

    Je kunt je rijtje ook intypen in Neil Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, zie
    http://www.research.att.com/~njas/sequences/
    Alleen heb je daar misschien tijdens de IQ-test geen toegang toe.

  8. George:

    Ik heb aan een testpsycholoog, die mij een batterij tests had afgenomen, wel eens uitgelegd dat ik bij het rijtje 1, 2, 3, 4 altijd de sterke neiging had om er \(\) achter te schrijven, en daarbij dan een smoes te verzinnen die erg lijkt op de gebruikelijke "verklaringen" bij dit type opgaven.

    Vervolgens heb ik hem in verband met de truc van Jeanine het volgende uitgelegd: jij geeft mij een willekeurig rijtje getallen, met een willekeurig "antwoord", en ik geef jou een keurig wiskundig verband tussen het rijtje en het "antwoord". Hij reageerde wat pissig, omdat ik zijn dagelijkse bezigheden niet erg serieus nam.

    De truc van Sjoerd is overigens minstens zo aardig.

    Het advies van Sophie kende ik, denk ik, wel, maar ik zal het wel niet erg serieus genomen hebben.

    De baan kreeg ik overigens niet, maar dat lag ergens anders aan. De opdrachtgever vond mij te eigenwijs, en de psycholoog had zijn onderzoeksrapport daaraan al aangepast. Hoe komt zo'n opdrachtgever daar nou toch bij?

  9. hans:

    Een - niet wiskundig - grapje is:
    vul de volgende reeks aan: 16, 33, 45, ..

    Het volgende getal is 75, maar dat weten alleen mensen van mijn generatie (en ouder): kijk maar een op een oude platenspeler :-)

  10. pimvantend:

    @Hans: Het is eerder 78 dan 75 toeren. Zie
    http://en.wikipedia.org/wiki/Gramophone_record#78_rpm_disc_developments
    "75 toeren" levert overigens toch een paar echte hits op.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.