Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Hoger of lager


In Puzzels, door Ionica

De wiskundemeisjes hebben weer een leuke, tegen-intuïtieve puzzel voor je! De oplossing is niet supereenvoudig, maar wel heel mooi.

Jeanine kiest op de een of andere manier twee verschillende reële getallen en doet die getallen in twee (abstracte) enveloppen. Ik gooi een eerlijk muntje op om te bepalen welk van de twee enveloppen jíj krijgt. Je krijgt het getal in die envelop te zien. Nu moet je raden of het getal in de andere envelop hoger of lager is dan het getal dat je net zag.

Is er een strategie die jou meer dan 50% kans geeft om goed te raden, ongeacht hoe Jeanine haar getallen heeft gekozen?


Deze kandidaat ziet een heel gaaf getal.

Deze kandidaat ziet een heel gaaf getal.


Camiel mailde ons over deze puzzel op de xkcd blag. Daar vind je ook de oplossing.

9 reacties op “Hoger of lager”

  1. Niek:

    Oneindigheid leent zich niet zo goed voor intuïtie is mijn ervaring, maar intuïtief zou ik zeggen: Bij een positief getal gok ik kleiner dan en bij een negatief getal groter dan.
    Dan ga ik nu eens naar het antwoord kijken.

  2. Rinse Poortinga:

    je kunt, lijkt mij, de getallen net zo goed uit het interval [0,1] kiezen. Heb je het getal x uit de gekozen envelop gezien, dan is 1-x de kans dat het andere getal groter is. Kies dus groter als x kleiner is dan 1/2 en anders kleiner. Dit komt overigens op het hetzelfde neer als het antwoord van Niek. Of is dit te simpel??

  3. Erik:

    Ochja, enerzijds is jullie interpretatie wel logisch, maar je kan denk ik evengoed zeggen "bij een getal groter dan 100, kies 'kleiner', en kies anders 'groter'". In het antwoord op die andere site staat er een functie waarmee je je keuze bepaalt, maar je kan die functie dus eigenlijk evengoed horizontaal verschuiven.

  4. Michiel:

    Ik geloof niets van dat antwoord op de xkcd blag.

    We kiezen twee willekeurige reële getallen, met als enige relatie dat ze ongelijk zijn. Gegeven een van deze getallen (x), is de ander (y) dus een willekeurig reëel getal ongelijk aan x. Meer weten we niet.

    Omdat de getallenlijn in beide richtingen van x evenveel getallen bevat (ontelbaar oneindig), is er niets dat je kunt zeggen over de kans dat y kleiner is dan x.

    En omdat je, of x nu groter of kleiner is dan y, in symmetrische situaties zit, en je 50% kans hebt op x, lijkt het me dus dat je altijd een 50% kans op het grotere getal hebt.

    De fout in de voorbeeld-strategie is dat ze 0 als een speciaal getal zien, wat het niet is in deze situatie. De strategie raadt aan bij positieve x te gokken dat y lager is, en andersom. Maar je kunt op zich elk getal als punt van oorsprong nemen.

    Waar zit de fout in mijn redenering?

  5. Michiel:

    Nu ik hem terug lees lijkt het dat mijn vierde paragraaf nergens op slaat. Er was nooit discussie over het feit dat er 50% kans is het grootste getal te pakken.

    Maar de rest van mijn bericht sta ik nog steeds achter. Er is voor mij wel nog wat onduidelijkheid over wat je kunt zeggen van kansen over een oneindig domein, maar toch.

  6. Marco:

    @Niek, Rinse: Bij deze puzzel kan je helemaal niets zeggen over de kansen waarmee Jeanine haar getallen bepaalt. Misschien kiest ze zelf een kansverdeling op de reële getallen, misschien kiest ze haar lievelingsgetallen. Misschien heeft ze Nieks redenering voorspeld en kiest ze altijd twee positieve getallen, waardoor Niek maar 50% kans heeft om het goed te hebben en niet meer. Misschien heeft ze Rinses redenering voorspeld en kiest ze altijd twee getallen groter dan 1/2.

    Toch heeft de puzzel een oplossing waarmee je altijd een kans hebt die echt groter is dan 50%, ongeacht hoe Jeanine haar getallen kiest. De oplossing op de blag is correct.

    @Michiel: De strategie van Niek is niet hetzelfde als de strategie op de blag. Zie de link "Daar" in het verhaal van Ionica.

    Het is bij de oplossing wel essentieel dat jouw eigen strategie stochastisch is, dat wil zeggen, een kansverdeling gebruikt.

  7. Sponzen Ridder:

    Heerlijk raadsel inderdaad! Wat hebben we er bij de koffie lang over zitten discussiëren.

    @michiel: de fout in je redenering is dat "we kiezen twee willekeurige reële getallen" eigenlijk niet bestaat, tenminste als geïmpliceerd is dat beide een even grote kans hebben om gekozen te worden.

  8. Sander:

    In de oplossing is een bepaalde verdeling gekozen. Als je hier mee werkt zie je dat de kans om het goed te hebben groter is dan 1/2. We hadden echter even goed een andere verdeling kunnen kiezen, met hetzelfde resultaat. In de verdeling die is gekozen in de uitwerking is 0 inderdaad bijzonder, maar we hadden dus ook een andere verdeling kunnen kiezen. Er is dus niets bijzonders aan 0.

    Stel je neemt aan dat Jeanine haar reele getallen onafhankelijk van elkaar kiest volgende een bepaalde verdeling. Dan kun je de totale kans op succes berekenen. Met totaal bedoel ik dat we de keuze van Jeanine ook als een stochastisch proces zien. Die kans zit altijd tussen 1/2 en 3/4. Als we weten volgens welke verdeling Jeanine haar getallen kiest dan kan ik mijn verdeling daar op aan passen om het optimale resultaat van 3/4 te halen: als het getal in de envelop lager (hoger) is dan de mediaan van Jeanine's verdeling dan raden we hoger (lager). Helaas vertelt Jeanine haar verdeling er niet bij, dus zullen we het met minder moeten doen...

  9. Gert Eldering:

    Een andere leuke puzzel in dit zelfde kader staat hier: http://www.scientificblogging.com/hammock_physicist/game_theory_art_acting_rational

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.