Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Ludolph van Ceulen


In Column, door Jeanine

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Als je wil weten hoe de decimalen van het getal pi (de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, ongeveer gelijk aan 3,14159265…) er uitzien, hoef je tegenwoordig alleen maar je rekenmachine te pakken of je computer aan te zetten. Dat was in de zeventiende eeuw wel anders. Ook toen was men geïnteresseerd in pi.

Ludolf_van_Ceulen
Ludolph van Ceulen

Het rekenwerk in die tijd lijkt mij geen pretje, maar scherm- en rekenmeester Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) dacht daar heel anders over. Hij berekende pi tot maar liefst 35 decimalen. Zijn methode, naar een idee van Archimedes, komt neer op het volgende principe. Een cirkel met diameter 1 heeft een omtrek van lengte pi. Je kunt nooit een cirkel zó precies tekenen en meten dat je op die manier pi redelijk kunt benaderen.

Teken nu in een cirkel met diameter 1 een vierkant dat nog nèt in de cirkel past, en teken om die cirkel heen een vierkant zodat de cirkel precies aan de vier zijden raakt. Dan zit de omtrek van de cirkel tussen de omtrek van het kleine en die van het grote vierkant in. En omtrekken van vierkanten kun je makkelijk uitrekenen.

Bij een cirkel met diameter 1 vind je zo de volgende benadering van pi: 2√2 < pi < 4. Het getal 2√2 is ongeveer 2.82842712, dus dit geeft geen goede benadering. Maar als je in plaats van vierkanten regelmatige veelhoeken met veel meer hoeken in en om de cirkel past, en daar de omtrekken van uitrekent, krijg je steeds betere onder- en bovengrenzen voor pi.

archimedespi

Archimedes gebruikte regelmatige 96-hoeken en vond dat 3.140909654 < pi < 3,142826575. Van Ceulen ging veel verder en gebruikte regelmatige 32.212.254.720-hoeken. Daarmee vond hij 20 decimalen. Hij moet een veelhoek met nog meer hoeken gebruikt hebben voor zijn 35 decimalen, maar we weten niet welke. Een hele prestatie, als je bedenkt dat hij daarvoor talloze wortels moest trekken, met ook extreem veel decimalen om nauwkeurig genoeg verder te kunnen rekenen, en dat met de hand… Met zijn benaderingen kon Van Ceulen en passant een aantal geleerde tijdgenoten die claimden oplossingen van de cirkelkwadratuur gevonden te hebben, op hun nummer zetten. De vraag daarbij is om, gegeven een cirkel van een bepaalde grootte, een vierkant te construeren dat dezelfde oppervlakte heeft. Dat is een onmogelijke opdracht, en de crux zit in het woord “construeren”: je mag alleen een passer en een latje (een liniaal zonder schaalverdeling) gebruiken. In 1882 werd definitief bewezen dat het probleem onoplosbaar is, maar in de zeventiende eeuw wist men dat nog niet zeker. Van Ceulen kon met zijn benaderingen van pi wel laten zien dat de geclaimde oplossingen allemaal fout waren!

grafsteenpi

Hij was erg trots op zijn prestatie, en daarom kwamen de 35 decimalen op zijn grafsteen terecht. Dat was de eerste keer dat al die decimalen gepubliceerd werden. In de Leidse Pieterskerk is een replica te zien. Dit jaar is Van Ceulen vierhonderd jaar dood, dus laten we op pi-dag (14 maart, naar 3,14) maar eens aan zijn gereken denken!

Edit: neem ook eens een kijkje op www.ludolphvanceulen.nl.

5 reacties op “Ludolph van Ceulen”

  1. Arno van Asseldonk:

    In de reply van idefix in http://www.wiskundeforum.nl/viewtopic.php?f=13&t=1675 wordt het aantal zijden genoemd dat Van Ceulen voor zijn benadering in 35 decimalen gebruikte. Onder die reply staat nog een verdere aanvulling van mij.

  2. Frits Kuijk:

    Je schreef dat onbekend is hoeveel hoeken de veelhoek had die van Ceulen nodig had om pi tot op 35 decimalen te berekenen. We kunnen daar wel een gooi naar doen en uitrekenen hoeveel hoeken hij er zeker voor nodig had.

    Van Ceulen moest het waarschijnlijk doen zonder cosinussen en sinussen. Hij kon wel worteltrekken, want er bestaat een op merkwaardige producten gebaseerd algoritme om te worteltrekken via een soort van staartdeling.
    Hij kon ook afleiden dat de lengte van de zijde van de n-hoek buiten om de cirkel kon worden afgeleid van de lengte van de zijde die precies in de cirkel past. Hij kon ook afleiden dat de lengte van de zijden van 2n-hoeken om de cirkel en binnenin de cirkel daar weer vanaf te leiden waren. Om deze redenen zou ik als ik van Ceulen was het aantal hoeken een macht van twee kiezen.

    Op die manier kun je afleiden dat verdubbeling van het aantal hoeken (van n naar 2n) leidt tot een vernauwing van de speelruimte voor de waarde van pi met 0.75*pi^3*n^-2 +O(n^-4). (Reken ajb na, ik kan een rekenfout gemaakt hebben. Gebruik hierbij x(n) lengte van de zijde van een n-hoek binnen de cirkel, y(n) = x(n) / (1 - x(n)^2) lengte van de zijde van een n-hoek buitenom de cirkel, x(2n) = x(n) / (2 * (1 - x(n)^2)^0.5), y(2n) = 2 * x(n) * (1 - x(n)^2)^0.5 / (4 - 5 * x(n)^2)), (n >= 8))

    Om pi tot op 35 decimalen nauwkeurig te kunnen geven moet 0.75*pi^3*n^-2 < 10^-35 en n > 0.75*pi^3*10^35. Omdat op deze manier geredeneerd het aantal hoeken een macht van 2 is kom ik erop uit dat die macht meer dan 60 geweest moet zijn, ofwel van Ceulen had uiteindelijk een veelhoek met meer dan 2^60 hoeken nodig en dan kom je op 2^61 hoeken uit, eventuele rekenfouten voorbehouden.
    Om dat allemaal met de hand te doen lijkt mij toch wel een redelijk monnikenwerk.

    NB het wortel algoritme
    Bereken bijvoorbeeld de wortel uit 123456789.
    Werkwijze: ga vanaf de denkbeeldige decimale punt/komma met stapjes van 2 naar links totdat je een getal met max 2 posities overhoudt. Bij dit voorbeeld wordt dat 1. Bedenk een kwadraat dat kleiner of gelijk hieraan is, en schrijf de wortel als eerste cijfer van het antwoord.
    Trek het kwadraat af van de geselecteerde cijfers. Net als bij een staartdeling wordt het verschil aangevuld met de volgende twee decimalen van het originele getal je nieuwe uitgangsgetal. Let op, want nu gaat het anders dan bij de staartdeling. Zoek nu naar (2 keer de voorlopige uitkomst plus nog een cijfer) maal dat zelfde cijfer. De grootste waarde voor het cijfer waarbij deze vermenigvuldiging nog kleiner of gelijk is aan het uitgangsgetal wordt de volgende decimaal van de uitkomst. Trek het resultaat van de vermenigvuldiging af van het uitgangsgetal. Samen met de twee volgende decimalen wordt dit je nieuwe uitgangsgetal.
    Herhaal tot uit den treure.

    Het resultaat wordt dan:

    /123456789\11111,1
    1
    -
    23 zoek naar 2. * ., dit gaat met max 1: 21*1=21
    21
    --
    245 zoek naar 22. * ., dit gaat met max 1: 221*1=221
    221
    ---
    2467 zoek naar 222. * ., dit gaat met max 1
    2221
    ----
    24689 zoek naar 2222. * ., dit gaat weer max 1
    22221
    -----
    246800 zoek naar 22222. * ., dit gaat max 1
    222221
    ------
    2457900 etc....

    In feite begin je met a*a, en zoek je steeds een b zodat (2a + b)b = 2ab + b^2 de rest van het merkwaardig product (a+b)^2 vormt.

    In html kunnen de spaties verloren gaan waardoor het voorbeeld enigszins verloren lijkt.

  3. Frits Kuijk:

    nou zeven reacties.... gooi mijn eerste 5 pogingen maar weg dan

  4. Frits Kuijk:

    Bedankt Arno,
    Laat nu toch mijn afschatting van 2^61 exact gelijk zijn het door jou verwezen aantal van 4.611.686.018.427.387.904.
    Of ik heb geen rekenfout gemaakt, of mijn afleiding is al eerder door iemand anders bedacht en die heeft dezelfde rekenfout gemaakt. Dus... bronnen graag.

  5. Arno van Asseldonk:

    @Frits Kuijk: De enige bron die ik je kan geven is de door mij aangehaalde reply op http://www.wiskundeforum.nl. Je zou daar eventueel kunnen informeren waar dat aantal precies vandaan komt.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.