Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

De vijf grootste misverstanden over pi


In Algemeen,Muggenziften, door Ionica

Dit stuk staat vandaag in de Kennisbijlage van De Volkskrant. Helaas werkt de link in dat artikel niet meer, onderaan dit stuk staat de goede link naar meer informatie.

Morgen wordt wereldwijd pi-dag gevierd. Elk jaar verzamelen pi-liefhebbers zich in de derde maand op de veertiende dag (oftewel: 3,14) voor een feestje. Tijd om de grootste misverstanden over deze wiskundige constante recht te zetten.

1. Pi heeft iets te maken met de stelling van Pythagoras.
In de kerstuitzending van Bananasplit kwam pi ter sprake. Danny de Munck gaf onmiddellijk toe dat hij niets wist van wiskunde. Naast hem zat Nance, zij had ook geen wiskundeknobbel, maar “wist nog wel dat pi de stelling van Pythagoras is”. Helaas, pi en de stelling van Pythagoras zijn de twee dingen die de meeste mensen onthouden hebben van wiskunde, maar ze hebben niets met elkaar te maken. De stelling van Pythagoras gaat over driehoeken, terwijl pi van cirkels komt. Pi is de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter: ongeveer 3,14. Het maakt niet uit hoe groot of klein de cirkel is, de verhouding tussen omtrek en diameter is altijd precies pi. Daarnaast verschijnt pi ook op allerlei andere plaatsen: bijvoorbeeld in de verdeling van schoenmaten.

2. Pi is precies 3,14.
Pi begint als 3,14159 en daarna volgen nog oneindig veel cijfers. In die cijfers zit geen regelmaat. In de praktijk wordt daarom altijd een benadering van pi gebruikt. In de bijbel laat Solomo voor een tempel een bekken maken: “vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el”. Volgens deze tekst is pi dus gelijk aan 30/10 = 3, een eenvoudige benadering. Hoe nauwkeuriger de berekening, hoe meer decimalen er nodig zijn. Pi is niet te schrijven als een breuk, maar kan wel goed benaderd worden met breuken. Op school wordt vaak 22/7 (ongeveer 3,14285) gebruikt voor pi.

3. In de Amerikaanse wet staat dat pi gelijk is aan 3.
Het is een vaak voorkomend misverstand dat een bijbelvaste Amerikaanse staat in de wet heeft vastgelegd dat pi drie is. Zoiets is nooit gebeurd of zelfs maar voorgesteld. Wel is in 1897 in Indiana een merkwaardig wetsvoorstel ingediend door een amateurwiskundige. Hij wilde pi anders definiëren om berekeningen makkelijker te maken. In zijn voorstel waren allerlei verschillende waarden voor pi te vinden, variërend van 3,2 tot 4(!). Het voorstel werd in eerste instantie unaniem aangenomen, maar het sneuvelde alsnog in de senaat. Niet omdat de senaatsleden vonden dat er iets mis was met de theorie, maar omdat ze dachten dat pi geen zaak van wetgeving was.

4. In pi zitten geheime boodschappen verstopt.
Het zoeken naar gecodeerde boodschappen in de oneindige reeks decimalen van pi is een populaire hobby. Door de cijfers om te zetten naar letters kun je zinnen als “God bestaat” in de decimalen ontdekken. Het probleem is dat wiskundigen vermoeden dat elk rijtje cijfers uiteindelijk een keer in de decimalen van pi voorkomt, dus dan zou ook de zin “God bestaat niet” vanzelf een keer in de decimalen opduiken, net als de integrale tekst van Hamlet of de Volkskrant van vandaag. Voor wie het moeilijk te geloven vindt dat in één getal alle mogelijke teksten zijn gecodeerd: er is een getal waarvan we dit zeker weten dat alle mogelijke codes er instaan. Dat is de contante van Champernowne: 0,12345678910111213141516... enzovoorts. Niets magisch aan dus.

5. Het is belangrijk om pi zo ver mogelijk uit te rekenen.
Al eeuwenlang is het een sport om zoveel mogelijk decimalen van pi uit te rekenen. Omdat het er oneindig veel zijn, valt het record steeds weer te verbeteren. Zhu Chongzi berekende bijvoorbeeld rond het jaar 500 al dat pi tussen 3,1415926 en 3,1415927 ligt. Op dit moment staat het record op 2,7 biljoen cijfers. Om een indruk te geven hoe belachelijk veel cijfers dit zijn: als je deze 2,7 biljoen cijfers gaat opzeggen (zeg één per seconde), dan duurt dat 85.616 jaar. Voor de meeste berekeningen zijn echter een stuk of tien cijfers na de komma ruim voldoende en niemand heeft meer dan duizend cijfers nodig.

Dat de records toch steeds sneuvelen heeft twee redenen. Allereerst hebben snelle rekenmethodes allerlei andere toepassingen, het uitrekenen van pi is niet meer dan een mooie test. Bovendien raakt het uitrekenen van zoveel mogelijk decimalen voor sommige mensen een obsessie. Zelfs Isaac Newton raakte in de ban van pi en schreef in 1666: “Ik schaam me om te vertellen tot hoeveel cijfers ik deze berekeningen heb uitgevoerd, toen ik niets anders te doen had.”

Tot en met 28 maart hangen de eerste miljoen decimalen van pi in de Centrale Bibiliotheek Rotterdam als onderdeel van een expositie over de geschiedenis van pi. Morgen wordt tussen 13.00 en 17.00 uur pi-dag gevierd met lezingen, wiskundige puzzels en pi-koekjes. De toegang is vrij. Adres: Bibliotheek Rotterdam, Hoogstraat 110, Rotterdam. Meer informatie op de site van de bibliotheek.

18 reacties op “De vijf grootste misverstanden over pi”

  1. Larixk:

    Helder stuk. Punt 5 deed me trouwens denken aan deze webcomic: http://www.toothpastefordinner.com/index.php?date=031208

  2. johan:

    Hier kan je o.a. getallen reeksen zoeken in pi: http://www.angio.net/pi/piquery

  3. Pythagoras en π:

    [...] wiskundemeisjes.nl was vandaag te lezen dat niets te maken heeft met de stelling van Pythagoras, maar volgens ons is er wel degelijk een [...]

  4. Sikory:

    Je hebt voor de stelling van Pythagoras natuurlijk wel een driehoek met een hoek van \(\) nodig, wil hij gelden...

  5. Frans Goosens:

    Met Pythagoras kan je wel degelijk het getal Pi tot 16 cijfers achter de komma berekenen.
    Ik heb een klein computer programma gemaakt waarin dit gedaan wordt met visuele uitleg.
    Wil je dit programma hebben E-Mail dan. F.G.Goosens@Gmail.com

    Ik ben er van uitgegaan dat een cirkel een veelhoek is met een oneindig aantal veelhoeken.
    Je moet beginnen door een vierkant in een cirkel te tekenen.
    Pi geef namelijk de verhouding weer van de omtrek van deze veelhoek. met de diameter van de cirkel.
    Met Pythagoras maak je hier een achthoek van en bereken dan opnieuw de Pi waarde hier van.
    Van deze achthoek maak je weer een zestien hoek, en zo ga je maar door.
    Op een gegeven moment moet je stoppen omdat de afrondingsfouten te groot gaan worden.
    Het gebied waar het getal Pi tussen moet zitten is ook te berekenen. Als je buiten dit gebied komt moet je de berekening stoppen.
    Op deze manier heb ik het getal Pi met 16 cijfers achter de komma nauwkeurig kunnen berekenen.
    Er zijn meer manieren om Pi te berekenen, maar dit is er een die vele kunnen begrijpen.

  6. winnifred:

    Hoe is dat bewezen dat die knakker 2,7 biljoen cijfers achter de komma heeft berekend, en dat dat klopt? Dat kan (nog) niemand hebben nageteld, toch?!

  7. Jurjen:

    Die 2.7 biljoen cijfers heeft hij op twee manieren uitgerekend; van allebei de manier kan je bewijzen dat ze correct zijn, hoe moeilijk dat ook is.

  8. Pierre:

    Ik ben het er niet mee eens dat al die decimalen van pi onbelangrijk zou zijn. Naar mijn mening is dit giga belangrijk.

    Pierre-Simon Laplace

  9. Marco:

    Hier is nog een misverstand dat ik af en toe hoor: het getal pi is oneindig.

  10. Marco:

    Een kleine kanttekening bij de uitleg bij misverstand 5: Ik heb zelf echt wel een paar duizend cijfers van pi nodig in mijn eigen berekeningen. Die berekeningen hebben niets meer te maken met cirkels, maar wel met q-expansies. De tijd die nodig is om die cijfers van pi te berekenen is trouwens erg klein op een computer: dat doet mijn programma gewoon even snel op het moment dat pi nodig is.

  11. Pieter:

    In de natuurkunde is pi geen constant getal. Als een ronde schijf supersnel draait wordt volgens Einstein de omtrek korter bij gelijkblijvende diameter.
    Dan is pi dus kleiner.

  12. Ionica:

    @Marco: Interessant dat jij wel een paar duizend decimalen gebruikt! Vanaf hoeveel decimalen denk je dat het veilig is om te zeggen dat niemand ze nodig heeft? Een miljoen? Een miljard?

    @Silkory, Frans en anderen die me mailden: Natuurlijk zijn er allerlei verbanden tussen pi en de stelling van Pythagoras te verzinnen. Maar het leek voor het algemeen publiek beter om kort en bondig te zeggen dat ze niets met elkaar te maken hebben dan genuanceerd uit te leggen welke verbanden er zijn. Nance dacht heus niet "Oh ja, met de stelling van Pythagoras kun je mooi een driehoek in de eenheidscirkel tekenen en dan berekenen dat de oppervlakte van die cirkel pi is"...

    @Pieter: Echt? Woohaa!

  13. Pieter:

    Ik heb hier nog een bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Lengtecontractie

  14. Jan van de Craats:

    Pi is natuurlijk sowieso een constante, maar op de bol en in het hyperbolische vlak is de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel niet constant!

  15. Camiel:

    Er zitten wel degelijk verborgen boodschappen in Pi, als je decimaal 21115 tot 21120 op een rekenmachine op z'n kop leest, staat er 'boobs'.
    http://www.smbc-comics.com/index.php?db=comics&id=1809#comic

  16. H.J.M. (Henk) Kuster:

    Dag Jeanine en Ionica,
    Hierbij geef ik enkele suggesties voor volgende artikelen in het Volkskrant - katern "Kennis".
    ** Als een antwoord met een zgn prospectieve methode word gezocht, kan een retrosectieve methode tijd en moeite besparen?
    ** Mocht je zakjapanner onbruikbaar zijn, hoe kan je dan n-de machtswortels uitrekenen?
    ** Wat hebben we te danken aan aan het fenomeen "Logaritme"?

    Groet en ik kijk al met belangstelling uit naar de volgende publicaties.

    Henk Kuster, 3011 HE 355.

  17. Mark Peeters:

    En wat dacht je van het grootste misverstand over pi, namelijk
    pi^2\neq g

    Veel mensen geloven nog steeds dat pi^2 niet gelijk is aan g, dit is helemaal fout. Voor meer info, zie mijn site

  18. Eric:

    Toen ik 15 was (1982) heb ik pi tot 206 decimalen uit mijn hoofd geleerd. Het bibliotheekboekje dat ik had ging niet verder. Ik deed daar drie dagen over.
    Van die 206 zijn er, zonder oefening, altijd 120 blijven hangen.
    Als ik echter nu, bijna 30 jaar later, er nog meer probeer bij te leren lukt dat totaal niet. Is dat de leeftijd?

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.