Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Lieve Ionica


In Column, door Ionica

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Aan het eind van de Boekenweek leek het me mooi om net als de 75 auteurs in de prachtige bundel “Titaantjes waren we” een brief aan mijn jonge ik te schijven.

Lief pubermeisje Ionica,

Laat ik maar met de deur in huis vallen: het is tijd dat je ontdekt wat je écht leuk vindt. Op school vind je het vooral fijn om goede cijfers te halen. Je vindt daarom alle vakken wel leuk, behalve dan gymnastiek en tekenen (waarvoor je nooit meer dan een zes haalt en die voldoende krijg je vooral omdat de leraren vinden dat je zo aandoenlijk je best doet). Maar er is niets waarover je echt enthousiast bent, niets waarover je ‘s avonds na het eten wilt nadenken, niets om je tanden eens in te zetten.


Dit is een nog jongere Ionica. Als puber keek ik natuurlijk altijd chagerijnig vanachter mijn puistjes, dus daar ga ik hier geen foto van plaatsen.

Dit is een nog jongere Ionica. Als puber keek ik natuurlijk altijd chagerijnig vanachter mijn puistjes, dus daar ga ik hier geen foto van plaatsen.


Ik weet vrij zeker dat er iets is dat je geweldig vindt: wiskunde. Je denkt nu dat wiskunde gaat over het berekenen van driehoekszijdes, het tekenen van grafiekjes en het oplossen van vergelijkingen. Maar wiskunde is veel meer dan die sommen die je nu krijgt. Wiskunde gaat nauwelijks over rekenen, het gaat om grote ideeën en over helder nadenken. Het allermooiste van wiskunde zijn de waterdichte bewijzen.

Heb je bijvoorbeeld al eens gehoord van priemgetallen? Dat zijn getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf. Zeventien is een voorbeeld, en 1999 (probeer als je me niet gelooft maar eens een deler van 1999 te vinden op je rekenmachine). Meer dan tweeduizend jaar geleden bewees de Griekse wiskundige Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs is na al die jaren nog steeds mooi en helder.

Neem eens aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Die kun je dan in een lijstje zetten en nummeren: het eerste noem je \(\), het volgende \(\) en zo ga je door tot het laatste priemgetal op de lijst dat je \(\) noemt. Maak nu een nieuw getal x door al deze priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen en er één bij op te tellen. Dus \(\). Vanzelfsprekend is \(\) groter dan één en dat betekent dat \(\) door minstens één priemgetal te delen is. Die deler zou op onze lijst met alle priemgetallen moeten staan.

Maar als je x deelt door \(\) dan houd je een rest van één over. Hetzelfde geldt voor \(\) en elk ander priemgetal op onze lijst priemgetallen. Dus \(\) is door geen van de priemgetallen op die lijst te delen. Dat kan twee dingen betekenen: óf \(\) is zelf een priemgetal, óf \(\) is te delen door een of ander priemgetal dat niet op de lijst staat. In beide gevallen ontbreekt er een priemgetal op onze lijst: terwijl we aannamen dat alle priemgetallen daarop stonden. Kortom: er zijn oneindig veel priemgetallen, want je kunt voor elke eindige lijst priemgetallen een priemgetal vinden dat er niét opstaat. Klaar! Als je dit bewijs inderdaad mooi vindt (en dat is zo, toch?), koop dan eens een boek over getaltheorie. Er zal een wereld voor je opengaan.

Tenslotte nog een klein advies: als je straks voor het eerst naar de disco gaat, doe dan niet je favoriete roze Snoopy-trui aan. Geloof me.

Liefs,

Ionica

15 reacties op “Lieve Ionica”

  1. ed:

    Ionica,
    Zojuist je column gelezen. Ik ben geen wiskundige en ook geen meisje maar probeer je uitleg te begrijpen.

    Als ik stel dat ik maar 3 priemgetallen ken, 1,3 en 5.
    p1*p2*p3 = 1*3*5 = 15. Ik tel er 1 bij op: dat wordt 16.

    Nu staat er dat dit Of een priemgetal is, Of dat het te delen is door een priemgetal dat niet op de lijst staat.
    16 is geen priemgetal maar is ook niet te delen door een of ander priemgetal toch?.

    Is mijn redenatie fout of lees ik jouw tekst niet goed?

    Ik ben benieuwd. In ieder geval wel een leuke column.
    Alvast bedankt voor een reactie.

    Ed Korff

  2. T. van Salsaborenco:

    @Ed: 2?!

    ps: 1 is geen priemgetal.

  3. Arno van Asseldonk:

    @ed: Een priemgetal is een natuurlijk getal dat groter is dan 1 en geen andere delers heeft dan zichzelf en 1. Als je uitgaat van de eerste 3 priemgetallen 2, 3 en 5, dan is het product hiervan 30. Tel je daar 1 bij op, dan krijg je 31, wat ook weer een priemgetal blijkt te zijn.

  4. H. van Tilburg:

    Als aanvulling op de reactie van Arno:
    Inderdaad moet in de definitie staan dat een priemgetal een natuurlijk getal is dat groter is dan 1 en slechts deelbaar door 1 en door zichzelf.
    Waarom moet er bij dat je werkt in de verzameling N ?
    Wel dan zou je kunnen zeggen: 5 is deelbaar door 1, 5, én b.v. ook door 1/2:
    zonder rekenmachientje 5 : 1/2 = 10 (Maar in N beschik je niet over getal 1/2 !!)

    Bij foutief gebruik van 1 als priemgetal zou ook de stelling niet meer gelden, dat een natuurlijk getal maar op één manier te ontbinden is in priemgetallen.
    Want dan zou 4 = 2 x 2 zijn, maar ook 4 = 2 x 2 x 1, 4 = 2 x 2 x 1 x 1 x 1 en ga zo maar door.

  5. suzan:

    Leuke column Ionica!

  6. Wim Gardenier:

    Deel X door p1, dan blijft over p2 x p3 x...x pn + 1, in plaats van 1. Hoe weet je dan dat die rest niet door p1 deelbaar is?
    Leuke brief verder!

  7. Arno van Asseldonk:

    @Wim Gardenier: Stel dat je uitgaat van 2 priemgetallen, zeg a en b, en dat c gedefinieerd is als c = a·b+1. Nu is c niet deelbaar door a of b zonder een rest 1 over te houden. Op dezelfde manier is x niet door een van de priemgetallen \(\) t/m \(\) deelbaar zonder een rest 1 over te houden.

  8. ed:

    Bedankt allemaal, stom stom stom, natuurlijk is 2 ook een priemgetal. Gelukkig lukt het me wel om de anti spam som correct op te lossen...
    En heb zo toch een leuke discussie op gang gebracht.

  9. Jan van de Craats:

    Wat een leuk fotootje, Ionica!

  10. Erwin:

    Ik vind het bewijs ook interessant, wat is een mooi boek over getaltheorie?

  11. Ionica:

    @Erwin: Voor een gedegen inleiding en de echte wiskunde: Getaltheorie voor beginners door Frits Beukers: http://www.epsilon-uitgaven.nl/E42.php

    Voor de mooie verhalen, de grote namen en problemen: Het laatste raadsel van Fermat door Simon Singh: http://www.nrclux.nl/9789029562515-Het-laatste-raadsel-van-Fermat-S--Singh/nl/product/108538/

    Ik wilde eerst deze titels noemen in mijn column, maar ik bedacht dat mijn aanraders nog niet waren verschenen toen ik zelf 15 was...

  12. Erwin:

    @Ionica: Bedankt voor de tips!

  13. Jan van Veldhuizen:

    Het bewijs van Euclides blijft inderdaad altijd prachtig. Maar... ik bedacht me, zou het niet aardig zijn om het tegendeel te bewijzen? Dan hebben we een mooie paradox :-)

    Dus stel ik me de vraag: kan ik een reeks opeenvolgende natuurlijke getallen leveren waarvan ik 100% zeker weet dat die deelbaar zijn? En dat lukt me inderdaad. Het algoritme dat ik daarvoor heb bedacht: een reeks van n deelbare getallen begint bij (n+1)!+2 (deelbaar door 2), (n+1)!+3 (deelbaar door 3), en zo door tot (n+1)!+n (deelbaar door n).
    Omdat n hierbij oneindig groot kan worden, kan ik dus ook een oneindig lange reeks van deelbare getallen leveren... waarna dus het volgende priemgetal nooit meer komt....

    :-)

  14. denise:

    Ik heb een leuke online rekenmachine gevonden! Ms ook handig voor jullie: http://www.onlinerekenmachine.com/

  15. Freek:

    Mocht je er toch niet uitkomen, voor een uitgebreide rekenmachine kunt u hier terecht:

    https://www.rekenmachine.site/rekenmachine.html

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.