Wiskundemeisjes

Delen door 3

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Patronen en regelmaat vinden, dat vinden wiskundigen leuk. Maar een patroon of trucje waarvan je vermoedt dat het opgaat, is eigenlijk pas interessant als je kan bewijzen dat het in alle gevallen geldt.

Het voorbeeld dat ik hier geef, behandelt een manier om te zien of een getal deelbaar is door 3.

Op de basisschool leerde ik daar een trucje voor: een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. En inderdaad: het getal 456 is deelbaar door 3 en de cijfersom 4+5+6 = 15 ook; het getal 1234 is niet deelbaar door 3 en 1+2+3+4=10 ook niet. Het sterke aan dit trucje is dat het voor alle getallen geldt.

Dit trucje lijkt iets magisch! Iets dat uit de lucht komt vallen, handig is, en dat je gewoon moet onthouden. Maar hoe komt het nou eigenlijk dat het trucje werkt? Daar kwam ik pas veel later achter.

De reden is dat we rekenen in het 10-tallig stelsel. Als we een getal opschrijven, bijvoorbeeld weer 1234, dan bedoelen we eigenlijk: 1 duizendtal, 2 honderdtallen, 3 tientallen en 4 eenheden. Oftewel: 1234 = 1∙1000 + 2∙100 + 3∙10 + 4. De positie van een cijfer in het getal bepaalt dus met welke macht van tien je het moet vermenigvuldigen.

Maar wat heeft dat met het trucje voor deelbaarheid door 3 te maken? De crux ligt hier. De som van de cijfers van een getal heeft een mooie eigenschap, namelijk: deze cijfersom verschilt altijd precies een 3-voud van het getal zelf! In het voorbeeld: 1234 en 10 verschillen 1224, en 1224 = 3 ∙ 408.

We gaan verder met 1234. De som van de cijfers is 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Het verschil tussen 1234 en 10 kunnen we dus schrijven als: 1234 – 10 = 1000 + 200 + 30 + 4 – (1 + 2 + 3 + 4), wat we handig kunnen ordenen als 1000 – 1 + 200 – 2 + 30 – 3 + 4 – 4. Dit is gelijk aan 1∙999 + 2∙99 + 3∙9, want 1000 – 1 = 999 en 200 – 2 = 2∙99 en 30 – 3 = 3∙9. Omdat zowel 999 als 99 en 9 deelbaar door 3 zijn, is het getal 1∙999 + 2∙99 + 3∙9 deelbaar door 3.

Hetzelfde argument, inclusief het handig ordenen, werkt voor elk ander getal dan 1234. Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts, die allemaal deelbaar door 3 zijn. (En door 9, wat de reden is dat het trucje voor deelbaarheid door 9 hetzelfde werkt.)

Kortom: de som van de cijfers van een getal verschilt een 3-voud van het getal zelf. En als het getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook.

Ik vind dit een mooi voorbeeld van wat wiskundigen vaak doen: bewijzen dat bepaalde handige trucjes of patronen voor alle getallen gelden, door een onweerlegbaar argument te geven. Dat is de kracht van wiskunde!

16 reacties op “Delen door 3”

1. Duke:
   Saturday 29 May 2010 om 11:57

   Je kan ook zeggen 10^x voor x>=0 delen door 3 geeft altijd een rest waarde van 1. Dus a*10^x geeft restwaarde a mod 3 en a*10^0 + b*10^1 + c*10^2 + … geeft restwaarde a+b+c+… mod 3.

   Kortom als a+b+c+… deelbaar is door 3 is a*10^0 + b*10^1 + c*10^2 + … ook deelbaar door 3.

2. Arnie:
   Saturday 29 May 2010 om 16:42

   Ik ben geen wiskundige…. maar is niet ieder getal deelbaar door 3?

3. Arno van Asseldonk:
   Saturday 29 May 2010 om 18:11

   @Arnie: Een geheel getal is alleen maar deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3, dus dat betekent dat een geheel getal niet altijd deelbaar door 3 is. Als je gebruik wilt maken van (decimale) breuken, dan is het inderdaad mogelijk om ieder getal door 3 te delen. Het gaat er in dit geval echter om dat de uitkomst bij een deling door 3 opnieuw een geheel getal oplevert.

4. Gerard Jager:
   Sunday 30 May 2010 om 13:15

   Jeanine schrijft helaas ‘als een getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook’ maar het gaat om het omgekeerde. Het bewijs kan trouwens een stuk eenvoudiger:
   Als K deelbaar is door 3 en de som van de cijfers ook, dan zijn K+1 en K+2 dat niet en hun bijbehorende sommen evenmin (want ook met 1 resp. 2 verhoogd). Voor K=3 is dit waar voor 3 en ook voor 4 en 5 zijn de sommen gelijk aan het getal). Een getal is dus dan en slechts dan deelbaar door 3 als de som van de cijfers dat is.

5. P:
   Sunday 30 May 2010 om 13:31

   @Gerard: Aan het eind eind van je bewijs zeg je: “een getal is dus DAN EN SLECHTS DAN deelbaar door 3 als de som van de cijfers dat is.”
   Als je ‘dan en slechts dan’ gebruikt, is een omkering dus ook goed. Vanwaar dan je opmerking richting Jeanine?

6. neli:
   Sunday 30 May 2010 om 14:14

   @Gerard: uuhh, wat? moet je niet nog inductie of iets dergelijks toepassen, nu is het alleen bewezen voor 3, 4, en 5? Of je neemt aan dat het geldt en dan bewijs je dat het geldt ofzo; niet echt een bewijs.

   @P: Uit het feit dat de som van de cijfers een 3-voud is, wil je de conclusie trekken dat het originele getal een 3-voud is (want dit is het ezelsbruggetje). Dus strikt genomen heeft Gerard wat dat betreft gelijk dat je alleen het “omgekeerde” hoeft te bewijzen.

7. Gerard Jager:
   Sunday 30 May 2010 om 14:20

   @P: Ja. In de praktijk test je op de som om zo van het getal te weten.

8. Gerard Jager:
   Sunday 30 May 2010 om 14:21

   @Neli: Dit is inductie. De opmerking over K+3 heb ik als triviaal weggelaten.

9. Saskia:
   Sunday 30 May 2010 om 15:18

   @Gerard: De som van de cijfers van K+1 is niet altijd eentje groter dan de som van de cijfers van K. Bijvoorbeeld 9 heeft als som van de cijfers 9, maar 9+1=10 en dat heeft als som van de cijfers 1. Als je inductie toe wilt passen, moet je met dit soort gevallen rekening houden.

10. Gerard Jager:
    Sunday 30 May 2010 om 16:10

    @Saskia: Touché! Dan toch maar terug naar Jeanine met haar 10-tallig stelsel, maar dan wel met de juiste conclusie.

11. Jeanine:
    Sunday 30 May 2010 om 16:39

    @ Gerard: ja, je hebt gelijk, ik had het beter andersom kunnen formuleren! Maar het is inderdaad een “dan-en-slechts-dan”, zoals direct blijkt uit de voorgaande zin, zodat ik hopelijk niet teveel lezers in verwarring heb gebracht. ;-)

12. Reijer:
    Monday 31 May 2010 om 12:53

    Het blijft een leuke truuk! Even in formules, gewoon omdat het kan. :)

    Elk geheel getal van digits is te schrijven als , waar de digits zijn. Dan kunnen we schrijven:

    
    
    
    
    

    In de laatste stap hebben we gebruikt dat altijd deelbaar is door 3.

13. HJ:
    Monday 31 May 2010 om 17:26

    Tsja, formules. Ik vind zelf dat de charme van de column van Jeanine is dat ze er voor gekozen heeft een bewijs te geven in woorden. Dat betekent dat ze het zichzelf moeilijk heeft gemaakt want ‘modulo 3′ mag je dan niet meer zeggen.
    Maar als je formules wilt gebruiken volstaan de eerste en laatste regel van bovenstaande gelijkheid. Je gebruikt dan inderdaad dat deelbaar is door , oftewel dat gelijk is aan modulo drie.

14. Reijer:
    Tuesday 1 June 2010 om 14:58

    @HJ: Natuurlijk, je kunt zoveel stappen weglaten als je wilt. Maar als je alles weglaat dan is het een stelling geworden, ipv het bewijs. De bedoeling was juist een (voor formulekundigen) makkelijk volgbaar bewijs te geven.

15. Reijer:
    Tuesday 1 June 2010 om 15:57

    Ah, bij nader inzien denk ik dat ik je verkeerd begreep. Je bedoelde dat het eleganter kon, hoewel er nog wel een tussenstapje bij hoort vind ik.

    
    
    

    Waarbij we gebruiken dat .

16. Hendrik:
    Friday 11 June 2010 om 15:22

    Jeanine schreef:
    Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts

    Dit geldt voor het decimale getalstelsel. Geldt dit nu ook voor bijvoorbeeld het hexadecimale stelsel met 15? (F, FF, FFF, etc.) Ik vermoed van wel.
    Dat zou betekenen dat in het hexadecimale stelsel een getal deelbaar is door 5 als de som deelbaar is door 5. Voor de getallen 0×14 (20) en 0×41 (65) gaat dat op, en ook voor 0×3039 (12345).
    Het lukt mij niet om het te bewijzen.
    Iemand anders wel?

Plaats een reactie