Wiskundemeisjes

Jeanine op kamp (2)

In Puzzels, door Jeanine

Vaas met ballen

Een vaas bevat een onbekend aantal gekleurde ballen, en wel van iedere kleur hetzelfde aantal. Als je twintig ballen van een nieuwe kleur toevoegt, blijft de kans dat je bij een trekking van twee ballen zonder teruglegging, twee ballen van dezelfde kleur trekt, hetzelfde. Hoeveel ballen zaten er in het begin in de vaas?

Dit bericht is geplaatst op Tuesday 17 August 2010 om 10:00 in categorieën Puzzels. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.

10 reacties op “Jeanine op kamp (2)”

Gijsbert:
Tuesday 17 August 2010 om 13:29
o grappig, het antwoord is uniek, 190
Mats:
Tuesday 17 August 2010 om 13:33
Ik kwam uit op 190 ballen over 19 kleuren, waardoor de kans op het trekken van twee ballen met dezelfde kleur zonder teruglegging zowel voor als na het toevoegen 1/21ste zou zijn. De rekensom die ik daarvoor heb moeten uitrekenen doet me echter vermoeden dat ik ergens fout zit…
Johan:
Tuesday 17 August 2010 om 14:30
Ik kom ook op 19 kleuren met elk 10 ballen maar ik wordt altijd wat moedeloos van het uitwerken van zulke expressies, vooral omdat ik altijd wel ergens een foutje maak.
Dus ik heb maar een eenvoudig programmaatje geschreven wat effe snel heel veel combinaties doorrekent.
Mats:
Tuesday 17 August 2010 om 17:37
Ik moet eerlijk toegeven, ook ik heb min of meer valsgespeeld door de mogelijke geheelwaardenoplossingen van mijn vergelijking op te lijsten en daarna de 2 de vwd handmatig te controleren, wist niet hoe ik die wiskundig in mijn stelsel van vglen kon krijgen…(Mijn 2de voorwaarde is aantal ballen =k*aantal kleuren met k natuurlijk getal) voor een kamp van 3de tot 6de klas lijkt me dat zwaar. Tenzij ik er verkeerde leeftijden bij plak, Belgisch schoolsysteem verschilt nogal van het Nederlandse.
Stefan:
Tuesday 17 August 2010 om 17:46
Het antwoord is niet uniek: een andere oplossing is nul
Mats:
Tuesday 17 August 2010 om 18:17
Dat het een oplossing is van je veelterm maakt het nog geen oplossing van het vraagstuk. Uit 0 ballen kun je geen 2 ballen met dezelfde kleur trekken, na toevoegen van twintig gelijkgekleurde ballen kun je niet anders dan 2 ballen met dezelfde kleur trekken. Dat is dus niet dezelfde kans.

Vandaar ook bekom je in de teller van de standaard combinatoriekformule voor dit probleem de faculteit van een negatief getal uit(0-#trekkingen)!. En dat is niet gedefinieerd.
Jos:
Wednesday 18 August 2010 om 12:50
De vgl. die bij de uitwerking eruit rolt is:

x = 10.5 – 9.5/a, waarbij x het aantal ballen per kleur is en a het aantal kleuren.

Vul a = 19 in, dan x = 10.

De originele vgl is:

a((x/ax)*(x-1/ax-1)) = a((x/ax+20)*(x-1/ax+19))+ 20/(ax+20)*19/(ax+19).

Best pittig voor een zomerkamp. Wellicht dat mijn oplossing eenvoudiger kan?
Camiel:
Thursday 19 August 2010 om 09:41
Oneindig veel ballen ;-)
Wouter:
Thursday 14 October 2010 om 08:43
Stel $k$ het aantal kleuren (in eerste instantie)
Stel $n$ het aantal ballen per kleur

Dan is de intiële kans dat je $2$ ballen van dezelfde kleur achter elkaar trekt gelijk aan: $\dfrac{k-1}{kn-1}$

Dit moet gelijk zijn aan de kans dat je $2$ ballen van dezelfde kleur achter elkaar trekt, na die toevoeging van $20$ nieuwe ballen. De kans daarop is gelijk aan de de kans dat je $2$ ballen van eenzelfde oude kleur pakt plus de kans dat je $2$ ballen van de nieuwe kleur pakt; $\dfrac{kn}{kn + 20} * \dfrac{k-1}{kn + 19} + \dfrac{20}{kn + 20} * \dfrac{19}{kn + 19}$ . We hebben dus de volgende vergelijking:

$\dfrac{k-1}{kn-1} = \dfrac{(kn)(k-1) + 19*20}{(kn + 20)*(kn + 19)}$

Na vermenigvuldiging aan beide zijdes met de respectievelijke noemers en verder vereenvoudigen, komen we op:

$2kn - 21n + 19 = 0$
$n*(21 - 2k) = 19$

Omdat $n$ en $k$ beide positief en geheel moeten zijn moet $21 - 2k$ positief zijn en bovendien wordt $19$ als product geschreven van $2$ positieve gehele getallen; aangezien $19$ een priemgetal is, zijn er maar $2$ mogelijkheden:

1) $n = 1$ , $21 - 2k = 19$ , wat impliceert $k = n = 1$
2) $n = 19$ , $21 - 2k = 1$ , wat impliceert $k = 10, n = 19$

De eerste hiervan valt echter af, want het totaal aantal ballen moet minstens $2$ zijn (we halen er tenlotte $2$ ballen uit!). Dus de oplossing luidt:

Het aantal verschillende kleuren (in eerste instantie) is $10$ , terwijl er van elke kleur $19$ ballen zijn. Het totaal aantal ballen is dus $19 * 10 = 190$
Paul:
Friday 31 December 2010 om 16:43
Hihi, ik had het uitgerekend MET teruglegging. Dan is het eigenlijk nog interessanter, want dan zijn er 3 oplossingen:

10 ballen in 2 kleuren (5 ballen per kleur)
40 ballen in 5 kleuren (8 ballen per kleur)
90 ballen in 10 kleuren (9 ballen per kleur)

En ik maar zoeken waarom iedereen met een andere oplossing kwam ;-)

Over de Wiskundemeisjes

Laatste Reacties

Categories

Archives

Blogs

Strips

Sympathieke organisaties

Wiskunde op internet

Extra

Jeanine op kamp (2)

10 reacties op “Jeanine op kamp (2)”

Plaats een reactie