Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Jeanine op kamp (4)


In Puzzels, door Jeanine

Ingeschreven vierkant

Een driehoek heeft zijdes van lengte 10, 17 en 21. Binnen de driehoek hebben we een vierkant, waarvan één van de zijden op de langste driehoekszijde staat, en de andere hoekpunten raken de andere twee driehoekszijdes.

driehoek

Wat is de lengte van de zijde van het vierkant?

15 reacties op “Jeanine op kamp (4)”

  1. Paul:

    Ik kom op 336/55

    1. Trek de loodlijn vanuit de stompe hoek van de driehoek. Deel de basis van de driehoek op in b_1 (vanaf de linker hoek tot snijpunt basis en loodlijn), en b_2 (vanaf de rechter hoek tot snijpunt basis en loodlijn). We noemen de hoogte van de driehoek h. Dan volgt dat
    b_1 = 21-b_2
    h^2 + (21-b_2)^2 = 100
    h^2 + b_1^2 = 289
    Daaruit volgt dat b_1 = 6, b_2 = 15 en h=8

    2. Bepaal de tangens van de twee scherpe hoeken. Alfa is de rechter scherpe hoek, en tan alfa = 8/6. Beta is de linker scherpe hoek, en tan beta = 8/15

    3. Deel de zijde van het vierkant dat op de basis van de driehoek ligt in twee stukken: q_1 is het stuk ter linkerzijde van de (onder 1 genoemde) loodlijn, q_2 is het stuk ter rechterzijde van die loodlijn. q_1 + q_2 is dus de te zoeken lengte.
    Dan volgt:
    Tan alfa = (q_1+q_2)/(15-q_2) = 8/6
    Tan beta = (q_1+q_2)/(6-q_1) = 8/15
    Daaruit volgt dat
    q_2 = q_1.(5/2)
    q_1+q_2=q_1.(7/2)
    q_1 = 96/55
    q_2=240/55
    En daaruit volgt q_1+q_2=336/55

  2. Benne:


    Laat de driehoek ABC zijn met AB = 21, AC = 10.
    Laat M het punt op AB zijn waar de loodlijn uit C snijdt.
    Paul legt hierboven uit dat AM = 6, MB = 15 en MC = 8.
    Maar nu ga ik het iets anders doen dan Paul, zonder tangens.
    Laat het vierkant PQRS zijn met P en Q op AB en R op BC,
    en laat x de zijde van het vierkant zijn.
    Dus PQ = PS = QR = x.
    Driehoeken APS en AMC zijn gelijkvormig, dus
    AP:PS = AM:MC dus AP = x.6/8.
    Driehoeken BQR en BMC zijn gelijkvormig, dus
    BQ:QR = BM:MC dus BQ = x.15/8.
    En AB = AP + PQ + BQ dus 21 = (6/8 + 1 + 15/8).x
    en hieruit volgt x = 168/29.
    Conclusie: tenminste een van Paul of mij zit fout.

  3. Taco Nieuwenhuis:


    Antwoord = 8
    - Trek de verticale loodlijn en noem z'n lengte h
    - Teken dan de rechthoek met als basis de basis van bovenstaande driehoek (dus lengte = 21) en als hoogte h. De driehoek past dus precies in deze rechthoek.
    - Oppervlakte rechthoek = 21 * h
    - Oppervlakte rechthoek = som van 2 subrechthoeken links en rechts van de loodlijn = sqrt(17^2-h^2) + sqrt(10^2-h^2)
    - Gelijkstellen levert h = 8
    - Bekijk nu het oppervlak van de gehele driehoek: 0.5 * 21 * 8
    - Noem de afstand van de linkeronderhoek tot het vierkant y (deze parameter valt zometeen weg)
    - Dit is ook uit te drukken als de som van het oppervlak van het vierkant + de 3 subdriehoeken: x^2 + 0.5 * x * (8 - x) + 0.5 * y * x + 0.5 * (21 - y - x) * x
    - Gelijkstellen levert x = 168/29 (identiek met Benne)

    Er is ongetwijfeld een elegantere manier...

  4. Taco Nieuwenhuis:


    Oops, eerste zin moest natuurlijk zijn: antwoord = 168/29

  5. Paul:

    @Benne, ik bleek een rekenfout te hebben gemaakt. Ik heb mijn rekenwerk dus opnieuw gedaan en geconstateerd dat jouw uitkomst inderdaad juist is.

    Je doet het 'zonder de tangens', maar wat jij gebruikt is de cotangens (1/tan). Over de methode zijn we het dus eens ;-)

    @Taco, leuk dat je via een andere aanpak ook tot de oplossing komt!

  6. Benne:

    @Paul we doen inderdaad essentieel hetzelfde

  7. Cees:

    De hoogte van 8 zal zeker goed zijn, daarom ga ik verder met het tweede deel.
    Dat is goed te doen door de oppervlakte op twee manieren te berekenen.
    De eerste manier is hiervoor al getoond A = 1/2 h * 21.
    De tweede wijze is de som van het vierkant en de omringende driehoeken. Daarbij voeg ik de linker en rechter driehoek samen, deze is dan weer gelijkvormig aan de grote en de top driehoek. A = x^2 + 1/2(h-x)x + 1/2 (21-x)x na enige streep werk blijft hier A = 1/2(21+h)x van over.
    Dus 1/2 h * 21 = 1/2 (21+h)x.
    Waaruit volgt x = (21*h)/(21+h)=168/29.
    Hierin komen de lengte van de beide ander zijdes (10 en 17)niet meer voor, hetgeen betekend dat voor alle driehoeken met een basis van 21 en een hoogte van 8 het ingeschreven vierkant even groot is ook 168/29 is. Eigenlijk is dus de algemene formule x = b*h/(b+h).

  8. Hilde:

    Via de formule van Heroon (verband tussen omtrek en oppervlakte driehoek) kun je de hoogte van de driehoek berekenen, nl 8.
    De gegeven driehoek is gelijkvormig met de driehoek die ervan afgesneden wordt door de bovenste zijde van het ingeschreven vierkant met gezochte zijde z. Bijgevolg geldt:
    $\frac{z}{21} = \frac{8-z}{8} \Leftrightarrow 8z = 168 - 21z \Leftrightarrow z = \frac{168}{29}$

  9. Hilde:

    Ik bedoel:
    \(\) dus 8z = 168 – 21z of \(\) (want zijde/overeenkomstige zijde = hoogte/overeenkomstige hoogte)

  10. Benne:

    @Hilde heel elegant, compliment! Kan het nog korter?

  11. Rinse Poortinga:

    Lengtes of lengten, het mag beide. Maar het meervoud van zijde is volgens mij toch echt zijden en niet zijdes.

  12. Perry:

    Let op Hilde, de grote driehoek in de verhouding die je geeft is misschien wel rechthoekig, maar de zijde is niet 21, maar 18,788...
    En de grote driehoek met schuine zijde 21 is niet rechthoekig

  13. Perry:

    Sorry de zijde van de rechthoekige driekhoek in de verhouding = 13,74772...

  14. Arno van Asseldonk:

    @Rinse Poortinga: Volgens mijn Prisma Handwoordenboek Nederlands is zijdes als meervoudsvorm ook mogelijk.

  15. Perry:

    Hilde, sorry ik zie nu pas welke driehoeken je bedoeld...

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.