Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Nog 3900 dagen formeren?


In Column, door Ionica

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Hoe lang zal de kabinetsformatie nog duren? Ik besef dat ik een risico loop door hierover te schrijven. Er zitten een paar dagen tussen het schrijven van deze column en het verschijnen ervan, dus er is een kleine kans dat Rutte, Verhagen en Wilders precies daartussen in tot een akkoord komen. Het is altijd lastig om dit soort dingen te voorspellen. Mark Rutte zelf was rond de verkiezingen in juni nog ronduit optimistisch en hoopte voor 1 juli een kabinet gevormd te hebben. Inmiddels sleept de formatie alweer zo’n 100 dagen voort met een reeks mislukte pogingen, uitgelekte brieven en een stoet informateurs. Wanneer zal er eindelijk een nieuwe regering bij de koningin op het bordes staan?


In 1977 duurde de formatie maar liefst 208 dagen. Hier staat dan eindelijk het eerste Kabinet-Van Agt op het bordes bij Koningin Juliana.

In 1977 duurde de formatie maar liefst 208 dagen. Hier staat dan eindelijk het eerste Kabinet-Van Agt op het bordes bij Koningin Juliana.


Wiskundigen hebben een heel algemene truc om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Het achterliggende idee is vrij eenvoudig. Als je iets op een willekeurig moment ziet, dan is er 95% kans dat je datgene tegenkomt in de middelste 95% van zijn totale levensduur. Helemaal aan het begin van dat interval van 95% neem het verleden 2,5 % in en de toekomst 97,5%. De toekomst is dan dus 39 keer zo lang als het verleden. Aan het einde van het interval is het precies omgekeerd en is de toekomst nog maar 1/39ste deel van het verleden.

John Richard Gott III stelde voor om dit principe te gebruiken om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Als je iets ziet dat al X jaar bestaat, dan is volgens het bovenstaande de kans 95% dat het nog tussen de X/39 en X*39 jaren zal blijven bestaan. Snel twee voorbeelden voor wie de draad helemaal kwijt is.

De Universiteit Leiden bestaat 435 jaar en de regel van Gott voorspelt dat er 95% kans is dat de oudste universiteit van Nederland er nog tussen de 11 en 16965 jaar zal zijn. De kans dat de universiteit voor 2021 haar poorten sluit is dus maar 2,5%.

De Volkskrant werd in 1919 opgericht, en de regel voorspelt dat de krant zeer waarschijnlijk nog tussen de 2 en 3549 jaren zal doorgaan.

Gotts regel lijkt een wonder: bijna vanuit het niets geeft hij heel sterke voorspellingen. Maar de regel is onder wiskundigen net zo omstreden als samenwerken met de PVV binnen het CDA. Het is duidelijk dat je de regel niet overal kunt toepassen. Mijn oma van 84 zou bijvoorbeeld 95% kans hebben om nog tussen de 2 en 3276 jaar te leven. In werkelijkheid is de kans dat ze nog meer dan 50 jaar zal leven precies 0%. Bij dingen met een (biologische) bovengrens aan de levensduur werkt de regel dus niet. En het is niet duidelijk voor welke processen hij wel goed is.

Laten we de regel toch eens toepassen op de formatie. Hij voorspelt hier dat er 95% kans is dat die nog tussen de 2 en 3900 dagen zal duren. Er is dus maar een kleine kans dat de formatie rond is voor deze column gedrukt wordt en een net zo kleine kans dat we over tien jaar nog steeds een demissionair kabinet onder Balkenende hebben.

23 reacties op “Nog 3900 dagen formeren?”

  1. J.G. van Leeuwen:

    Beste Ionica,

    Niet de sterkste dit keer. Komt me toch een beetje over als omkering van statistiek (een minimumschatting en maximumschatting).

    Gelukkig dat we minstens om de 4 jaar kunnen stemmen.

    Ga vooral voort.

    Met vriendelijke groet,

    Jan van Leeuwen

    P.S. vragen wat 2 + 3 is ter voorkoming van SPAM is een issue. Op dit moment zit ik sterk in mijn gedachten te denken aan het 4-tallig stelsel. Dat heb je in een weekend. Mijn neiging is dus 1 te zeggen.

  2. J.G. van Leeuwen:

    Beste Ionica,

    Derde poging. Het lukt mij maar niet om door je SPAM-controle te komen, hoewel ik de antwoorden netjes vanuit het 10-tallig stelsel beantwoord.

    Rest mij nogmaals aan te geven dat wij om de pakweg 4 jaar weer naar het stemhokje mogen.

    Als deze nu weer niet lukt, vrees ik dat ik een issue voor je site ga benoemen.

    Jan.

  3. Joost:

    "De Universiteit Leiden bestaat 435 jaar en de regel van Gott voorspelt dat er 95% kans is dat de oudste universiteit van Nederland er nog tussen de 11 en 16965 jaar zal zijn. De kans dat de universiteit voor 2021 haar poorten sluit is dus maar 5%."

    Dit klopt volgens mij niet. De kans dat de universiteit voor 2021 sluit zou 2,5% moeten zijn, aangezien de kans dat de universiteit na 18975 nog bestaat óók 2,5% zou zijn.

    Oftewel, als we met 95% kans in de middelste 95% zitten, is er 2,5% kans dat we in de eerste 2,5% (de uni bestaat nog ná 18975) zitten en 2,5% kans dat we in de laatste 2,5 zitten (de uni bestaat niet meer in 2021).

  4. Geertje:

    @Joost: Mee eens; ik wilde net dezelfde opmerking gaan plaatsen.

  5. Ionica:

    @Joost en Geertje: Inderdaad, ik heb het gelijk verbeterd!

  6. Jan Willem Nienhuys:

    O gottogott,

    het verhaal van Gott is nogal onzin. Als je rekent met kansen is dat alleen zinnig als je genoeg van het verschijnsel in kwestie weet om het te zien als een van de mogelijkheden uit een goed bekende verzameling, bijvoorbeeld een worp van een munt, een trekking van ballen uit een vaas, of van een kaart uit een grondig geschud pak kaarten.

    Gott paste zijn theorie eerst toe op de looptijd van toneelstukken op Broadway. Dat is inderdaad een overzichtelijke verzameling. Maar 'alles waar we aan believen te denken en waarvan we verder totaal niets weten' (toneelstukken, kabinetformaties, protonen, universiteiten, Berlijnse en analoge muren) is geen overzichtelijke verzameling, net zo min als de beruchte 'verzameling van alle verzamelingen' die de Russell-paradox genereert.

    Als Gott een willekeurige New-Yorkse krant opslaat, kan hij misschien wel zonder verdere kennis statistische uitspraken doen over de te verwachten duur van een willekeurig geselecteerd toneelstuk of show, maar als de keuze van het ogenblik waarop men kijkt, of het item dat men bekijkt, niet door een overzichtelijk kansmechanisme is bepaald, dan kun je ook niet zeggen hoe het met de kansen is.

    Als je met een fatsoenlijk kansmechanisme een willekeurige dag uitkiest in een periode dat er een na-oorlogse demissionaire regering is (fatsoenlijk= alle in aanmerking komende dagen hebben gelijke kansen), dan kun je nog wel kansrekenen. Dan kom je inderdaad min of meer
    per definitie in 95% precent van de keren dat dat doet in de middelste 95% van de dan lopende (in)formatieperiode terecht.

    Hier is een andere nepperige Gott-redenering:
    de levensduur van protonen moet boven de 10^{20} maal de levensduur van het universum liggen. Dan is het wel heel toevallig dat wij (mensen, zonnestelsel) er nu al zijn. Daar zit vast iets achter.

  7. George Rolf:

    "Gotts regel lijkt een wonder: bijna vanuit het niets geeft hij heel sterke voorspellingen." Ik begin de indruk te krijgen dat het tegenvalt.

    Als de verwachte duur van een of andere groep verschijnselen een exponentiële verdeling heeft, dan is tijdens de duur van zo'n verschijnsel de kans dat het bezig is aan de laatste 2.5% van zijn duur inderdaad ongeveer 2.5%, en de kans dat het aan zijn eerste 2.5% bezig is, en dus nog minstens 39 keer zo lang duurt, even groot, tenminste bij benadering.

    Dit geldt allemaal voor kleine percentages. Het belangrijke punt is dat die drie getallen bij benadering even groot zijn, onafhankelijk van de verwachtingswaarde van de distributie, de gemiddelde levensduur van de verschijnselen.

    Het hangt samen met het feit dat een exponentiële verdeling geen geheugen heeft: op ieder moment dat een verschijnsel nog voortduurt, is de distributie van de verwachting van de resterende duur identiek aan de distributie aan het begin, exponentiëel en met dezelfde gemiddelde duur.

    Op dat laatste, onafhankelijkheid van de gemiddelde duur, baseren mensen als Gott hun redeneringen. We weten niks, en toch kunnen we er dit van zeggen.

    Het echte leven trekt zich in de regel weinig aan van ideale wiskundige modellen, ook lijkt een exponentiële verdeling erg mooi te passen bij het begrip levensverwachting. Ionica heeft er zelf al op gewezen dat het hele verhaal niet opgaat voor de lengte van een mensenleven.

    Het gaat al niet eens meer op als de distributie de som is van twee exponentiële verdelingen met een verschillende verwachte duur. Als we de gegevens door elkaar klutsen van 50% Engelse kabinetsformaties (duren kort), en 50% Nederlandse, dan kun je er niks meer van zeggen zonder te weten om welk land het gaat, ook als de lengte van beide soorten kabinetsformaties een exponentiële verdeling zou hebben.

    Gott werkt met het kleine percentage van 2.5%. Afwijkingen van zijn model zullen niet snel als storend opvallen. Misschien voldoet de looptijd van Broadway-producties over een niet al te lange periode inderdaad ruwweg aan een exponentiële verdeling.

  8. rednas:

    Sinds 1946 duurt een gemiddelde (Nederlandse) kabinetsformatie 2,8 maanden. Volgens de Poissonverdeling komen we pas na 7 maanden in het 2,5% gebied. Eerst in januari 2011 moeten we ons dus echt zorgen gaan maken.

    De “formule” van Gott voorspelt dat tussen nu en tien jaar het verschijnsel van 100-dagen durende kabinetsformaties niet meer zal voorkomen. Dat is niet onwaarschijnlijk gezien de onwerkbaarheid van het huidige kiesstelsel.

  9. j. cramer:

    Geachte Ionica Smeets

    Zou uw stuk van zaterdag niet mooi van een interne tegenstrijdigheid verlost zijn als u in die hele tekst het woordje 'nog' weglaat? Ik kijk dan vooral naar de correcte derde zin van de derde alinea en de diverse foute zinnen met 'nog' erin. Hooguit mag u dit (bij)woordje in de eerste zin laten staan.
    Te moeilijk, wat ik hier schrijf? Ja, statistiek is nu eenmaal te moeilijk voor nogal wat mensen; soms zelfs voor wiskundigen.

    Met vriendelijke groet,

    J. Cramer

  10. han:

    Beste J.Cramer,

    u slaat de spijker op zijn kop!

    Die woordjes 'nog' zaten me ook al een paar dagen dwars. Als ik die weglaat dan wordt alles ineens een stuk duidelijker en is het stuk niet meer zo tegenstrijdig!
    misschien zou het goed zijn als men stukken voorlopig eerst aan u voorlegt om op tegenstrijdigheden te controleren.

    Indien u daar wat in ziet zou ik graag meteen van uw diensten gebruik maken, ik heb namelijk een nieuw standaardwerk geschreven 'Statistiek voor nogal wat mensen', dat ik graag eens door een expert zou willen laten controleren op tegenstrijdigheden.

    met vriendelijke groet,
    Han

  11. Jan Paul:

    Geachte Jodocus Cramer,

    Zou uw commentaar van 11:56 niet mooi van een onvoorstelbaar lage pH-waarde verlost zijn als u in die hele tekst wat vriendelijker en minder cynisch zou reageren? Ik kijk dan vooral naar elke zin uit uw reactie.

    Vervelend wat ik hier schrijf? Ja, het is nu eenmaal niet fijn als mensen zuur op je commentaar reageren; soms zelfs voor azijnbodelezers.

    Met vriendelijke groet,

    J.P. Schutten

  12. mike:

    @J. Cramer

    Van mij krijgt u geen mooie zinnen, u krijgt enkel een feit waar u zelf schijnbaar geen rekening mee heeft gehouden in uw bericht.

    Het woord 'nog' legt een subtiel verschil tussen 'hoe lang iets zal duren' en 'hoe lang iets nog zal duren'. Een subtiel maar evengoed essentieel verschil. In het eerste geval spreek je namelijk over de totale duur, in het tweede geval over de resterende duur gegeven dat iets al x minuten duurt.

    Het woordje nog is de reden dat je antwoordt 'Nog vijf minuten' wanneer je kinderen vragen 'hoe ver [het] nog is tot bij oma', terwijl de hele weg naar oma rijden toch minstens een dik uur duurt. (Of meer, als het de oma is langs moeders kant)

    Uiteraard bestaan er synoniemen voor het woordje nog en die hadden hier gebruikt kunnen worden. Als u dit voorbeeldje van (non-)statistiek niet snapt omdat het te moeilijk is, moet u dit echter niet op het woordje 'nog' steken. Het kan aan de schrijfstijl liggen, het kan aan uw eigen pedante houding liggen of het kan aan zoveel andere dingen liggen. Maar het is vooral dat tweede waar u iets aan moet doen.

  13. j. cramer:

    Beste Mike

    Dank voor je reactie, die echter voorbijgaat aan wat ik, kort maar zo precies mogelijk, naar voren heb gebracht. Het verschil tussen wel en niet 'nog' in de zinnen waar ik het over had is zelfs zo essentieel dat synoniemen van 'nog' geen oplossing zijn om de tegenstrijdigheid op te heffen.

    Met vriendelijke groet,

    J. Cramer

  14. j. cramer:

    Beste Han

    De titel van je nieuwe boek lijkt wel erg veel op een deel van de laatste zin van mijn reactie van eerder vandaag. Toeval? Je hebt me er beslist benieuwd naar gemaakt.

    Met vriendelijke groet,

    J. Cramer

  15. j. cramer:

    Beste Jan Paul

    Een welsprekende reactie, met een prettig cynisme erin. De complimenten!

    Met vriendelijke groet,

    J.Cramer

  16. mike:

    Beste Cramer, graag dus een voorbeeld of vijf waar het woord 'nog' gebruikt is in bovenstaand artikel. Aangezien het woord 12 keer voorkomt in het artikel en het slechts in de eerste regel gerechtvaardigd is volgens u, kan u daar geen enkel probleem bij hebben. Zoniet blijft het, zoals ik hierboven kort probeerde te tonen, domweg pedant.

  17. mike:

    *Foutief gebruikt is, bedoel ik uiteraard.

  18. j. cramer:

    Beste Mike

    Hier zijn die vijf voorbeelden:
    - het laatste 'nog' in alinea 4
    - dat in alinea 6
    - dat in alinea 7
    - dat in alinea 9
    - het eerste in alinea 10.
    En ik blijf erbij dat de andere 'nog'-s, het laatste uitgezonderd, geen wezenlijke functie hebben, in deze context voor verwarring kunnen zorgen en kunnen worden weggelaten.
    Of dit alles pedant te noemen is? Dat is een kwestie van smaak.

    Met vriendelijke groet,
    J. Cramer

  19. Louis:

    Ik deel Mike's smaak. Cramer, je hebt je onbetamelijk en bijzonder pedant opgesteld in deze thread -deze site onwaardig.

  20. Johan B.:

    @han: Ik heb de eerste fout in je boek al gevonden. De titel moet namelijk zijn "Statistiek voor al wat mensen".

  21. Jos Hendriks:

    Beste J. Cramer

    Op mijn beeldscherm bestaat het artikel uit 7 alinea's. Alle daarin voorkomende nog's zijn functioneel en vrijwel geen enkele "nog" kan worden weggelaten, zonder de door de schrijfster bedoelde betekenis te veranderen. Dit is op een heldere manier toegelicht in een voorgaande reactie door Mike. Een uitzondering is de "nog" in "De Volkskrant werd in 1919 opgericht, en de regel voorspelt dat de krant zeer waarschijnlijk nog tussen de 2 en 3549 jaren zal doorgaan." Hier wordt de bedoeling reeds duidelijk door het woord "doorgaan". Desniettemin ook hier ondersteunt "nog" de bedoelde betekenis van de zin.
    Het lijkt erop of de "nog's" voor u niet voldoende waren. De schrijfster had ze beter allemaal kunnen vervangen door "vanaf nu nog" of "hierna nog".
    In goede uitleg van wiakunde of uitleg met behulp van wiskunde zullen dezelfde woorden snel meerdere keren op doemen. Goede uitleg wordt gekenmerkt door veel voorbeelden, waarbij situaties slechts in een enkel detail verschillen.
    De uiterst pedante creatie van Agatha Cristie, Hercule Poirot, mag ik graag. Maar ja, hij had ook altijd gelijk. U echter niet.

  22. Rednas:

    Bovenstaande reacties moeten beslist worden opgestuurd als script naar The Big Bang Theory, met J. Cramer in de rol van Sheldon Cooper. Gegarandeerd succes. Wie werpt zich op als Wolowitz?

  23. j. cramer:

    Beste Jos Hendriks

    Probeer eerst eens de betekenis van de door mij als correct aangemerkte zin te doorgronden. Als dat lukt zou het niet moeilijk meer moeten zijn de onjuistheid van nagenoeg al die 'nog'-s in te zien.

    Met vriendelijke groet,

    J. Cramer

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.