Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een van de grootste problemen in de wereld is het verdelen van dingen. Of het nou om land, olie of cake gaat: eerlijk delen is een uitdaging.

Laatst zat ik bij vrienden te eten toen hun drie-jarige dochtertje geen zin meer had in haar broodje. Haar vader zei: “Geef mij de helft maar, dan moet jij de rest opeten.” Het meisje was slim genoeg om het broodje in twee ongelijke stukjes te delen: een klein stukje voor haarzelf, een groot stuk voor haar papa.

“Als je met twee mensen iets eerlijk moet verdelen,” vertelde ik haar toen, “gaat het zo: jij verdeelt het broodje in twee stukjes, en papa mag kiezen welk stukje hij wil!” Klein als ze is snapte ze wel dat dat in dit geval in haar nadeel uit zou pakken.

Deze methode werkt ook als het om iets begeerlijks gaat, bijvoorbeeld een cake. Persoon A snijdt hem in tweeën op een manier die hij eerlijk vindt, en persoon B mag een stuk kiezen. Allebei zijn ze tevreden: A vindt de verdeling eerlijk, B vindt dat hij minstens de helft heeft (hij kiest tenslotte het – in zijn ogen – grootste stuk).

Hier blijkt al dat mensen een verschillend idee van waarde kunnen hebben. Als de een het eerlijk doorgesneden vindt, kan de ander vinden dat een van de stukken groter is. Misschien zit er ook wel een kers of een stukje marsepein op de cake. Degene die het dolst op kersen of marsepein is, zal tevreden zijn met een kleiner stukje, als het lekkere extraatje er maar op zit. En de ander krijgt dan gewoon wat meer cake. Allebei denken ze dat ze het beste af zijn.

Gaat dit ook met drie mensen? Nee: als persoon A de cake in drieën deelt, en persoon B kiest eerst, dan kan het gebeuren dat B het stukje genomen heeft dat C ook het liefst zou willen. C krijgt misschien een stuk dat hij minder dan een derde van de cake vindt. Niet eerlijk dus, en zeker niet afgunst-vrij.

Toch kan eerlijk delen wel, bijvoorbeeld zo: persoon X beweegt langzaam met een mes van links naar rechts over de cake. Op het moment dat iemand (A) vindt dat hij bij een derde gekomen is, roept hij “stop!” X snijdt precies op die plek de cake door. Persoon A krijgt het afgesneden stukje (en is tevreden). B en C vinden allebei dat A een derde of minder gekregen heeft (anders hadden ze namelijk zelf eerder “stop!” geroepen), ze geloven dus beiden dat het resterende stuk minstens twee derde is, en dat stuk verdelen ze met de al genoemde “ik snij, jij kiest”-methode.

Deze manier is eerlijk, maar niet afgunst-vrij: A kan vinden dat B en C het resterende deel oneerlijk verdeeld hebben, waardoor bijvoorbeeld C een stuk kan hebben dat volgens A groter is dan zijn eigen deel.

Er bestaan theoretisch wel afgunst-vrije verdelingen, voor willekeurig veel personen. Alleen: bij vijf of meer mensen weet je niet van tevoren hoe vaak je moet snijden! Voor wie van kruimels houdt…

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Volgens Shakespeare zou een roos met elke andere naam net zo lekker hebben geroken, maar wiskundigen denken toch liever twee keer na voordat ze iets een naam geven. Vooral bij notatie die veel gebruikt gaat worden is het fijn als hij slim gekozen is. Anders zit je daarna jaren vast aan iets onhandigs. Iedereen die wel eens heeft geworsteld met driedubbele subscripts weet wat ik bedoel. Een ander voorbeeld van een ongelukkige notatie is het uitroepteken om het begrip faculteit aan te geven, 5! staat bijvoorbeeld voor 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Deze notatie wordt al sinds 1808 gebruikt, maar leidt nog steeds tot verwarring. Mijn moeder vroeg eens na het lezen van een artikel waarin ik 5! gebruikte waarom ik die 5 uitschreeuwde. Al in 1842 klaagde wiskundige Augustus De Morgan dat het barbaars was om in de wiskunde symbolen te introduceren die in onze gewone taal een duidelijke betekenis hebben. Hij snapte dan ook niet niet waarom schrijvers het uitroepteken op deze manier gebruikten, “[it] gives their pages the appearance of expressing surprise and admiration that 2, 3, 4, etc., should be found in mathematical results.”

Gelukkig zijn er ook voorbeelden van notatie die juist heel goed gekozen is. Neem het =-teken, de twee streepjes die aangeven dat het één gelijk is het ander, bijvoorbeeld x =1729. Over dit alledaagse teken is ontroerend goed nagedacht. In 1557 (toen Shakespeare nog niet eens geboren was) introduceerde Robert Recorde het teken om niet tot vervelens toe de woorden “is gelijk aan” te hoeven herhalen. Hij koos voor twee parallelle lijnen van lengte één “bicause noe 2 thynges, can be moare equalle” (omdat geen twee dingen meer gelijk aan elkaar kunnen zijn). Prachtig toch?

Het fragment uit het boek The Whetstone of Witte waarin Recorde het =-teken (of eigenlijk het ===-teken) introduceert.

Het duurde nog een hele tijd voor het =-teken echt algemeen geaccepteerd was. Er waren allerlei notaties in omloop. Sommige mensen gebruikten twee verticale strepen || (waar Recorde weinig bezwaar tegen zou kunnen hebben, want ook twee staande strepen lijken zeer op elkaar) of ae van het Latijnse aequalis (gelijk). Pas toen grote namen als Newton en Leibniz rond 1700 de twee liggende streepjes gebruikten, raakte het =-teken echt in zwang.

Robert Recorde introduceerde trouwens ook het woord zenzizenzizenzic om achtste machten te noteren. Dat is minder krankzinnig dan het lijkt. In die tijd was er nog geen makkelijke manier om machten te noteren, alles ging met woorden. Fibonacci gebruikte in 1202 al censo di censo voor de vierde macht, censo is Italiaans voor kwadraat. Zenzic is de Duitse versie censo en een achtste macht is te schrijven als het kwadraat van een kwadraat van een kwadraat. Vandaar dus zenzi-zenzi-zenzic. Helaas is zenzizenzizenzic nooit een succes geworden. Misschien kan een rozenkweker een roos deze naam geven, iets zegt me dat zo’n roos nog lekkerder zou ruiken.