Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Hoe maak je dit rijtje af?


In Column, door Jeanine

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

quiz

Een tijdje geleden deed ik een “wisquiz” met mijn brugklasleerlingen. Ik stelde onder andere de vraag: wat zijn de drie volgende getallen in het rijtje 1, 4, 9, 16, … ?

Nou kun je strikt gezien bij elke willekeurige drie volgende getallen een wiskundige regel verzinnen die precies die getallen oplevert, maar mijn leerlingen gingen druk op zoek naar een niet al te ingewikkeld patroon, en ze vonden er een. Àlle groepjes noemden als volgende drie getallen 25, 36 en 49. Bij navraag naar het patroon dat ze gevonden hadden, zeiden ze: “Nou, eerst hebben we 1, dan doe je er 3 bij, dan 5, dan 7 en zo verder, dus je doet steeds het volgende oneven getal erbij.” Klopt helemaal.

Maar misschien denkt u verbaasd: “Hè, maar dat zijn toch gewoon de kwadraten?” Klopt ook: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 en 42 = 16. Dat is grappig. Mijn brugklasleerlingen hadden nog niet geleerd wat een kwadraat is. Wat blijkbaar hun gebruikelijke aanpak is bij zo’n rijtjes-afmaak-som, is kijken naar de verschillen tussen opeenvolgende getallen en of daar een duidelijke regelmaat in zit. En die hadden ze gevonden.

Nou is het op het eerste gezicht best gek dat de regelmaat van mijn leerlingen (steeds het volgende oneven getal erbij optellen) en de regelmaat die mijzelf onmiddellijk in het oog springt (de rij van kwadraten) dezelfde drie volgende getallen opleveren. Dus dan kun je je afvragen: is dat toeval? Of geven deze twee manieren ook bij het vierde, vijfde, zesde, en honderdmiljoenste getal dezelfde antwoorden?

Bij de regel van mijn leerlingen tel je achtereenvolgens bij het getal 1 op: 3, 5, 7, 9, enzovoorts. Het achtste getal in het rijtje is dus de som (optelling) van de eerste acht oneven getallen. Algemeen geformuleerd: het n-de getal in het rijtje is de som van de eerste n oneven getallen, wat voor nummer n ook is. Maar als we het rijtje voortzetten met de kwadratenregel, is het n-de getal in het rijtje het kwadraat van het getal n, oftewel n2.

De vraag is dus: zijn die rijtjes inderdaad hetzelfde, oftewel: is de som van de eerste n oneven getallen gelijk aan n2, voor alle n? Ja, dat is zo, en het is zelfs redelijk eenvoudig om in te zien waarom! Een simpele serie plaatjes laat zien wat er gebeurt.

onevengetallenkwadraat

We beginnen met het getal 1: dat ene roze vierkantje linksboven. Vervolgens tellen we daar 3 bij op, in het plaatje daaronder aangegeven door drie roze vierkantjes. Die drie vierkantjes zijn zó neergelegd, dat er precies een vierkant van 2 bij 2 ontstaat, dus je ziet meteen dat daar 22 vierkantjes liggen. En zo gaan we verder. Als er een vierkant ligt van n bij n vierkantjes, dat dus uit n2 vierkantjes bestaat, dan moeten we n + n + 1, oftewel 2n+1 vierkantjes erbij leggen om het volgende kwadraat te leggen. En 2n+1 is precies het volgende oneven getal.

Maakt u zich trouwens vooral geen zorgen: inmiddels weten mijn leerlingen ook wat kwadraten zijn.

9 reacties op “Hoe maak je dit rijtje af?”

  1. pjotr senn:

    VK 05-02-2011

    Ik zag de rij 1, 4, 9 , 16 en zag als eerste mogelijkeheid (dom dat ik de makkelijkste oplossing kwadraten niet zag) dat er elke keer een volgend priemgetal was bijgeteld. Nl 3, 5, 7
    Dus zou ik bij 16 11 tellen, en bij het resultaat 27 13 en bij dat reslutaat 40 17.
    Dus wordt de rij 1, 4, 9 , 16, 27, 40, 57 enz

  2. Henk vuijk:

    Geheel met pjotr eens.

  3. Evert van Heel:

    Ik ben het ook met Pjotr eens. Voor iedere kandidaat volgende getal is wat te zeggen als het algoritme onbekend is. Een voorbeeld: In het rijtje 30, 42, 54, 66, 78, 90 zou je kunnen verwachten dat het volgende getal 102 is. Het juiste(?) getal is echter 144 omdat ieder getal de som van de delers van het vorige is

  4. Marc Roos:

    Om het aantal roze vlakjes te bepalen geeft Jeanine de regel 2n+1 aan. En vervolgens met een paar plaatjes het bewijs tot in het oneindige. Zuiver wiakundig bewijs gaat als volgt. De formule van Jeanine herschrijen we als:
    2(n-1)+1. Dus als n=5 dan moeten we 9 roze vlakjes op tellen bij het kwadraat van 4 om het kwadraat van 5 te verkrijgen. Oftewel n^2 =( n-1)^2 + 2(n-1)+1 -->
    n^2 = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 + 1 -->
    n^2 = n^2 - (2n-2n) + (1+1-2) -->
    n^2 = n^2 - 0 - 0 -> n^2 = n^2. Hiermee is de stelling algebraisch tot in het oneindige bewezen.

  5. Jeanine:

    @pjotr, Henk en Evert: zoals ik in mijn stukje al aangeef ("Nou kun je strikt gezien bij elke willekeurige drie volgende getallen een wiskundige regel verzinnen die precies die getallen oplevert,"), zijn er bij dergelijke rijtjes oneindig veel logische voortzettingen. Die met priemgetallen kan natuurlijk ook. Welke je het meest logisch vindt, is iets persoonlijks. Lees over deze kwestie ook deze column maar eens: Getallenrijtjes.

  6. Pieter:

    Op deze manier leerde ik op de middelbare school een x-kwadraat-grafiek te maken. Vanuit het dal 1 naar rechts - 1 omhoog; 1 naar rechts - 3 omhoog; 1 naar rechts - 5 omhoog, etc.
    Uiteraard idem voor 1 naar links vanuit het dal.

  7. Tom Koornwinder:

    Wel verontrustend dat geen van de brugklasleerlingen een benul van kwadraten had. Je hoeft geen Gauss of Ramanujan in de dop te zijn om in de basisschoolleeftijd al leuk met kwadraten te kunnen spelen.

  8. Jeanine:

    @Tom: nou ja, dat was niet het eerste waar ze aan dachten, terwijl ik dat wel deed. Ze snapten het wel snel natuurlijk.

  9. Merijn:

    Wiskunde werd pas echt leuk toen ik snapte *waarom* die opvolging voor alle kwadraten opgaat en hoe je dat bewijst.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.