Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Parabolen, fietslampen en schotelantennes


In Column, door Jeanine

Een ouderwetse fietslamp heeft een interessante vorm: als je een dwarsdoorsnede neemt, zie je een parabool. Datzelfde geldt voor schotelantennes, al zijn die iets platter. Waarom hebben deze objecten nou juist een parabool als dwarsdoorsnede, en niet een andere boog of gewoon een stukje van een cirkel? En wat is een parabool eigenlijk precies?

Het leuke is dat er drie verschillende manieren zijn om te beschrijven wat een parabool is. Deze drie manieren betekenen alle drie hetzelfde, maar dat is niet direct te zien.

De eerste is misschien de bekendste, of in ieder geval zoals ik het zelf op school geleerd heb: een parabool is de grafiek die je krijgt bij een kwadratische functie als y = x2 of y = -2x2 + 3x - 7. De grafiek ziet eruit als een boog.

De tweede manier klinkt wat ingewikkelder. Stel je hebt een vast punt (het “brandpunt”) en een gegeven lijn op een vel papier. Als je dan alle punten tekent die precies even ver van het brandpunt als van die lijn af liggen, dan krijg je een parabool.

kegelsnedes

1: parabool, 2: ellips en cirkel, 3: hyperbool

De derde manier vind ik de leukste, omdat je beter ziet wat er gebeurt. Een parabool is één van de zogenaamde kegelsneden, die al door de oude Grieken bestudeerd werden. Als je een dubbele kegel doorsnijdt met vlakken, zoals in het plaatje te zien is, dan krijg je verschillende figuren: een cirkel, ellips, parabool of hyperbool (ook een bepaald soort boog). De parabool is de figuur die je krijgt als grensgeval tussen de ellips en de hyperbool.

Dit kun je zelf zien door een kegelvormige lichtbundel (een zaklamp of spotje bijvoorbeeld) op de muur te laten schijnen. Als je de bundel recht op de muur richt, zie je een cirkel. Als je hem een klein beetje omhoog richt, zie je een ellips. Nog iets verder omhoog gericht is de figuur die je ziet niet meer gesloten, en meer omhoog schijnen levert vanaf dat moment steeds een hyperbool op. Maar op het overgangsmoment tussen de ellips en de hyperbool, het moment dat je de lamp zó houdt dat de zijkant van de lichtkegel precies parallel loopt aan de muur, dan zie je een parabool.

Terug naar de fietslampen en schotelantennes. Hun vorm heet een paraboloïde: de drie-dimensionale figuur die onstaat als een parabool om zijn as gedraaid wordt. Die parabolische vorm heeft een bijzondere eigenschap. Als je zo’n paraboloïde bekleedt met spiegelend materiaal en je zet een lampje in het brandpunt van de parabool, dan wordt het licht zó gereflecteerd dat de lichtstralen die eruitkomen evenwijdig zijn. Dat is fijn bij een fietslamp.

Voor een schotelantenne geldt precies het omgekeerde: wanneer de evenwijdige microgolfstralen op de schotel vallen, worden ze door de schotel zó gereflecteerd dat ze allemaal in het brandpunt uitkomen. De ontvanger wordt in het brandpunt geplaatst, en zo komen alle signalen die door de schotel opgevangen worden netjes in de ontvanger terecht.

De oude Grieken kenden die eigenschap van parabolische spiegels al, al hebben ze er waarschijnlijk nooit een gemaakt, laat staan een schotelantenne.

11 reacties op “Parabolen, fietslampen en schotelantennes”

  1. maaike Bakker:

    Beste mensen,
    Dat verhaal van punt en een lijn geeft een evenwijdige lijn als je uitvoerd wat jullie beschrijven!!!
    Maaike en Dick

  2. Paul van Daalen:

    Hallo Jeanine,

    ik werd weer aangenaam herinnerd aan mijn wiskundelessen vroeger op de HBS.

    Maar ik heb nog niet een fietskoplamp gezien waarvan het lampje in het brandpunt van die uitwendige omwentelings-parabool gemonteerd was.
    Meestal is er een aparte armatuur met een kegelvormige reflector erin.
    De vorm van de koplamp is wel goed voor de stroomlijn.

  3. Paul van Daalen:

    Hallo Jeanine,

    ik werd weer aangenaam herinnerd aan mijn wiskundelessen vroeger op de HBS.

    Maar ik heb nog niet een fietskoplamp gezien waarvan het lampje in het brandpunt van die uitwendige omwentelings-parabool gemonteerd was.
    Meestal is er een aparte armatuur met een kegelvormige reflector erin.
    De vorm van de koplamp is wel goed voor de stroomlijn.

  4. Cactus:

    Beste jeanine, er is nog een kegelsnede mogelijk, namelijk de driehoek: Het vlak door de punt van de kegel en de middellijn van het grongvlak.

  5. Ezeltje:

    Maaike en Dick, nemen jullie wel de loodlijn van de gegeven lijn naar het nieuwe punt om de afstand tussen de lijn en het nieuwe punt te bepalen?

    Ter illustratie, as de willekeurige lijn de x-as is, en het brandpunt op (0,2) ligt, zijn 3 punten van de parabool: (-2,2), (0,1), en (2,2). Die 3 punten liggen echt niet op 1 lijn.

  6. Ezeltje:

    Hallo Jeanine,

    of de oude Grieken ooit een parabolische spiegel gemaakt hebben weet ik ook niet, maar tenzij de ontsteking van de olympische vlam dmv zonlicht een moderne bedenksel is, zou ik denken van wel.

  7. Geertje:

    @ Paul van Dalen: in de ouderwetse fietslamp van mijn fiets is het lampje wel degelijk ongeveer in het brandpunt gemonteerd. Inderdaad m.b.v. een kegelvormig armatuurtje, maar zonder armatuurtje zou ook wel lastig zijn ...

    @ Jeanine: leuke column met goede uitleg! De kegelsnede vertel ik wel standaard in mijn lessen, maar ik heb er nooit aan gedacht ook de parallelle reflectie te noemen. Voor een volgende keer als de ll. vragen 'waar dit alles goed voor is'!

  8. Geertje:

    Sorry Paul, voor de foute spelling van je achternaam ...

  9. Piet:

    Ongeveer 50 jaar geleden kreeg ik dit behandeld op de HTS.
    Een eigenschap van het licht: de INvalshoek van een lichtstraal is gelijk aan de UITvalshoek van diezelfde straal. De lichtstralen van de zon komen evenwijdig naar de aarde toe. Als je die lichtstralen opvangt in een spiegel die als een tweede graads kromme gekromd is dan komen al die evenwijdige zonnestralen in 1 punt tezamen. Waarschijnlijk heeft men dit eerst proefondervinderlijk aangetoond en heeft men later het wiskundige bewijs gevonden.

  10. C.J. Visscher:

    Goede uitleg, gaaf plaatje. Ga ik zeker eens gebruiken in de klas.

  11. Jur:

    Nee hoor, de lijn die jullie omschrijven bestaat niet uit punten die een gelijke afstand hebben tot de richtlijn en het brandpunt ( het is geen spiegeling!) misschien helpt dit : http://www.hhofstede.nl/modules/parabool.htm

    Groet Jur

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.