Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Filosofie, geiten en auto’s


In Column, door Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

In deze maand van de filosofie gaat het zelden over wiskunde. Vroeger waren veel filosofen wiskundigen (en andersom), maar tegenwoordig lijkt er een strikte scheiding te zijn tussen de vakgebieden. Dat is jammer, want wiskunde kan nog steeds helpen om anders en beter tegen dingen aan te kijken.

Het drie-deuren-probleem is een berucht voorbeeld onder wiskundigen. In een spelshow mag een kandidate kiezen uit drie deuren. Achter één deur staat een prachtige auto, achter de twee andere deuren staan mottige geiten. De kandidate wil graag de auto winnen en wijst één van de deuren aan. De presentator, die precies weet waar de auto staat, opent één van de andere twee deuren en laat zien dat daar een geit staat. De presentator vraagt de kandidate hoe zeker zij is van haar keus. Wil ze misschien nog van deur wisselen? Ze mag nu nog de andere gesloten deur kiezen! Heeft het op dit moment zin om te wisselen?


Stel dat deze situatie niet hypothetisch is. Bijvoorbeeld in de Amerikaanse quiz Let's make a deal.

Stel dat deze situatie niet hypothetisch is. Bijvoorbeeld in de Amerikaanse quiz Let's make a deal.


Bijna iedereen denkt hier hetzelfde: “Natuurlijk maakt het niet uit of ze wisselt. Er zijn nu nog twee deuren en elke deur heeft een kans van 1/2 op de auto.” Intuïtief lijkt volkomen duidelijk dat er geen verschil is tussen die twee deuren. De kandidate zal waarschijnlijk bij haar eerste deur blijven, omdat ze daar in eerste instantie een goed gevoel bij had.

En dat is jammer, want de menselijke intuïtie zit er in dit geval behoorlijk naast. Als de kandidate van deur wisselt heeft ze namelijk 2/3 kans om te winnen. Als ze bij haar eerste deur blijft, is de kans om te winnen maar 1/3. Ze verdubbelt dus haar winkans als ze wisselt.

Toen dit probleem voor het eerst in de krant stond, werd de redactie bedolven onder grote stapels brieven. Lezers, waaronder grappig genoeg diverse wiskundigen, beweerden op hoge toon dat er niets van het antwoord klopte. Maar het klopt echt. De kandidate heeft als ze níet wisselt een kans van 1/3 om te winnen. Ze wint dan alleen als ze gelijk aan het begin die ene deur aanwijst waar de auto achter staat. Als ze wel wisselt, dan wint ze juist als ze oorspronkelijk een deur met een geit had aangewezen. En die kans is 2/3.

Wie het niet gelooft moet het thuis maar eens een paar keer naspelen. Het helpt ook om aan een variant met duizend deuren te denken. Als de presentator na de keuze 998 deuren opent (met een hele kudde geiten erachter), is het een stuk duidelijker dat de kandidate maar beter kan wisselen.

Dit voorbeeld laat zien hoe menselijke intuïtie het mis kan hebben. Wel zo handig om te weten voor filosofen. Een hoogleraar vertelde ooit dat hij dit probleem al jaren bij zijn college statistiek behandelde. Wiskundigen, economen, artsen, juristen, ze hadden het allemaal in eerste instantie fout. Aan het eind van zijn college was altijd iedereen overtuigd van het juiste antwoord. Behalve de juristen, die bleven erover in discussie gaan. Wat dat over hen zegt, is dan weer meer iets voor filosofen dan wiskundigen.

58 reacties op “Filosofie, geiten en auto’s”

  1. johan bosmans:

    ik heb het niet zo begrepen op "de" werkelijkheid, maar voor de rest: phil tokkie for president!

  2. draakhond:

    Laten we dan een boom opzetten over "de" werkelijkheid, mijnheer Bosmans, het kan nog net, de maand van de filosofie is nog niet voorbij. Ach nee, laat maar zitten, moeten we zeker nog na gaan denken ook of zo, ik wordt er nu al moe van. Dan kunnen we maar beter achter President Tokkie aanlopen. Of nee, achter Koning Draakhond, want zijn motto is namelijk: Iedereen heeft altijd gelijk!

  3. HarryD:

    Als ik het spel zou mogen spelen, deed ik het alsvolgt. Ik wees een deur aan en schreef daar met grote letters op: "de kans dat de prijs hierachter zit is 33%". Een waarheid als een koe! Waarom? Omdat die waarschijnlijkheid van 33% is bepaald op het moment dat de prijs achter een van de drie deuren werd geplaatst zonder dat ik weet achter welke. Niets wat na het plaatsen van de "prijs" gaat gebeuren verandert die kans nog. Onthoud dat goed!

    Vervolgens zou de spelleider een andere deur openen waarachter de prijs juist NIET zit. Het plaatje dat dan ontstaat is dit: één open deur zonder prijs, één dichte deur, en één deur met daarop mijn tekst, die nog steeds een waarheid als een koe is. Aangezien het totaal aan kans 100% is, is dus de kans dat de prijs achter de enig overgebleven deur zit 66%. Als de spelleider mij dan vraagt of ik toch niet liever achter de andere deur wil kijken, ben ik er als de kippen bij. Kans op winst: 2 uit 3. Eitje!

    Probeer je intuitie met het bovenstaande eens op te voeden. Als dat niet lukt, speel het dan gewoon een paar honderd keer en ervaar het.

  4. Luuk:

    onder de foto staat:
    "Stel dat deze situatie niet hypothetisch is."
    haha

  5. Hypothethisch:

    "Stel dat deze situatie niet hypothetisch is." Dat zei de racistische taxichauffeur van Hans Teeuwen al:

    http://www.youtube.com/watch?v=W6Xq7zc0RRQ

  6. Bart Meijer:

    Op http://www.philosophyexperiments.com/montyhall/Default.aspx staat nog meer uitleg, en een simulatie.

  7. Reinhard Beskers:

    Van nature kunnen onze hersenen slecht omgaan met statistische gegevens. Woorden en logica, dat gaat allemaal vrij goed, maar in de statistiek laat onze intuïtie ons in de steek. Dat is psychologie. Kansen zijn voor mensen iets abstracts, maar als je over concrete aantallen spreekt, dan stellen mensen het zich voor. Lees hier http://wp.me/p38dkW-4P hoe je het driedeurenprobleem wèl duidelijk kunt uitleggen.

  8. Hoe win je een miljoen? Eureka! – Ionica Smeets:

    […] met drie deuren. Daar speelden we het drie-deuren-probleem. Over dit probleem schreef ik eerder deze column en toen de lezers het nóg niet geloofden ook nog deze column. Bij blijvende twijfel zou ik jullie […]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.