Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Nog eens die drie deuren


In Column, door Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Toen ik twee weken geleden over het drie-deuren-probleem schreef, was ik eigenlijk bang dat het verhaal te bekend was en dat de Volkskrant-lezers in koor zouden roepen: “Wisselen natuurlijk!” Voor wie even kwijt is wat het probleem is, een korte herhaling. Een kandidate mag kiezen uit drie deuren, achter één deur staat een auto, achter de twee andere staan geiten. Ze kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent één van de andere deuren en laat zien dat daar een geit staat. (Merk op dat hij altijd een geit kan tonen, welke deur er ook gekozen is.) Dan biedt hij de kandidate aan dat ze nog mag wisselen naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Zoals ik hier vorige keer schreef, is het verstandig om te wisselen. De kans dat de auto achter de deur van de eerste keus zit is ⅓ en de kans dat de auto achter de andere dichte deur zit is ⅔.

Veel lezers geloofden hier niets van, ik kreeg een recordaantal emails van lezers die dachten dat beide gesloten deuren een kans van ½ hadden. De krant plaatste een brief waarin zelfs werd beweerd dat de overgebleven deuren elk een kans van ⅔ hadden, wat weer een nieuwe regen van reacties opleverde. En op de twee brieven op de opiniepagina de dag daarna kwam weer een hele reeks mails binnen. Laat ik het daarom nog eens op een andere manier proberen uit te leggen.

Ook al lijken twee dingen hetzelfde, de kansen hoeven niet 50/50 zijn. Een collega van mij demonstreerde dit door me te laten raden wanneer hij jarig is. Ik gokte op 8 oktober en hij antwoordde dat hij op 8 oktober óf 18 augustus jarig is. Wilde ik dan bij mijn eerste gok blijven, of ging ik toch liever voor 18 augustus? In dit geval zal (hopelijk) niemand denken dat de beide data precies dezelfde kans hebben. Zoiets gebeurt ook bij het drie-deuren-probleem.

Eerst nog iets over de verborgen aannames. Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten. Iets subtieler is dat we aannemen dat als de presentator uit twee deuren met geiten kan kiezen, hij er willekeurig één kiest (en bijvoorbeeld niet altijd de dichtstbijzijnde). Onder deze voorwaarden geeft wisselen een twee keer zo grote winkans.


Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat.

Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat, toch?


Als de kandidate één van de drie deuren kiest, dan heeft ze ⅓ kans op de auto en die kans blijft hetzelfde als ze niet wisselt. Bij wel-wisselen zijn er drie mogelijkheden:

1. Ze kiest geit A, presentator toont geit B, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest geit B, presentator toont geit A, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest de auto, presentator toont een geit, ze wisselt naar de andere geit.

Ze heeft dus een kans van 2 op 3 om te winnen als ze wisselt.

Wie het nu nog niet gelooft (en ik weet zeker dat er weer mensen tandenknarsend van ergernis achter de krant zitten), kan het eens domweg uitproberen. Verschillende lezers suggereerden om het spel thuis honderd keer na te spelen met een huisgenoot, ondoorzichtige bekers en muntjes. Bij wisselen zul je ongeveer 67 keer winnen, bij niet-wisselen 33 keer. Hoe vaker je speelt, hoe duidelijker de kansverdeling wordt. Voor wie geen huisgenoot (of geduld) heeft: probeer de online-simulatie van de New York Times. Zien is geloven. Eén lezer zag trouwens mogelijkheden om geld te verdienen door tegen overtuigde niet-wisselaars te spelen. Als ik een casino had zou ik dat idee zeker gebruiken.

43 reacties op “Nog eens die drie deuren”

  1. neli:

    Haha! Ik lees de krant niet maar kan het me goed voorstellen. Dit ook (een tijd terug al) verteld aan mijn ouders, maar ik heb het maar opgegeven te proberen mijn vader te overtuigen, zo koppig is hij.

  2. johan bosmans:

    Beste Ionica,
    Ik had me voorgenomen om niet meer te reageren. Ik hou niet zo van welles-nietes spelletjes. Maar het bloed kruipt waar het niet gaan kan.
    Ik zou je graag nog even aan het denken zetten.
    Wat betreft je voorbeeld: Ook al lijken twee voorbeelden hetzelfde, daarom hoeven ze nog niet hetzelfde te zijn.
    Wat betreft je New York Times referentie: In de filosofie noemen ze dit "ad verecundiam". Bovendien heb ik begrepen dat je aan het departement "computer sciences" verbonden bent. Zelf ben ik altijd gefascineerd door de "broncode", ik vraag me altijd af waar die bron ontspringt.
    Fundamenteel zijn er meer gelijkenissen tussen ons dan verschillen, daar ben ik van overtuigd.
    Zo vind ik het zelf ook jammer dat er geen band meer is tussen filosofie en wiskunde.
    Tot slot ben ik het ook eens met je laatste advies: eerder nog dan je aan het denken te zetten zou ik je aan het spelen willen zetten: probeer het eens domweg uit.
    Wel zonder broncode, want daar zit de verborgen aanname in dat de presentator weet achter welke deur de auto zit.
    Op de doos van jouw spelletje staat "voor drie spelers".(voor het spel begint stopt de presentator een auto achter een deur)
    Op mijn doosje staat "voor vier spelers" (voor het spel begint stopt de spelleider een auto achter een deur)
    Let er wel op dat de spelleider niet vals speelt: voor de drie anderen luidt de verborgen aanname: "oogjes dicht en snaveltjes toe."

  3. Blinde Schildpad:

    Hehe, ik heb ook tijden gehad dat ik dacht dat iedereen dit nou wel eens zo'n beetje wist maar meerdere sociale windstiltes op feestjes leerden echter anders. Ik ben er alleen nog niet helemaal uit waaróm dit nou zo onacceptabel is voor veel mensen. Iets met dat ons lizard brain al te gefascineerd is door het openmaken van fysieke deurtjes, terwijl die er natuurlijk eigenlijk helemaal niet toe doen. Als je mensen meteen bij de eerste ronde nou de optie zou geven óf 1 deurtje te kiezen óf 2, zou niemand hier problemen mee zou hebben.

  4. draakhond:

    Op de doos van mijn spelletje staat "voor twee spelers" (1 presentator en 1 kandidate). Zo komt het dus dat iedereen altijd gelijk heeft; iedereen heeft het over een ander onderwerp! Is dat nou filosofie?

  5. jan van rongen:

    Het is zo simpel en toch ziet bijna niemand het. Er zijn drie deurtjes. U kiest er een en de kans dat de prijs er achter zit is 1/3. Dan zegt de quiz master voordat je daar achter kijkt -- U mag ook die twee andere deurtjes openen. Ja natuurlijk, kans 2/3. Dat doe je dus. Dat die quiz master voor jou al een deurtje van die twee heeft geopend, is niet relevant.

  6. Harm:

    Ja, maar als die presentator een rechtenstudie heeft gevolgd, zal het wel zo zijn dat je nooit kunt winnen. Want zo zijn juristen nou eenmaal...

  7. Arie:

    Als je goed eerst zat, zit na het wisselen fout. Als je eerst fout zat, zit je na het wisselen goed. Dat is feitenlijk niet te ontkennen.

    En het voorbeeld dat jij met verjaardagen noemt kun je natuurlijk omschrijven naar een "Monty Hall plus" probleem. Er zijn 100 deuren. Je kiest er eentje en de presentator opent 98 deuren waarachter een geit zit. Bijna iedereen zal direct inschatten dat in die situatie waarschijnlijk zinnig is te wisselen.

    En uiteraard zit hierin de impliciete aanname dat de presentator weet waar de auto zit. Je moet er niet aan denken dat de presentator per ongeluk de deur met de auto opent! Dan ben je als kandidaat zuur.

  8. johan bosmans:

    Beste Ionica,
    Heb je gespeeld gisterenavond?
    Of is het wiskundemeisje van weleer wiskundevrouw geworden, te oud om spelletjes te spelen?
    Als ik de spelregels verander is er niets aan natuurlijk.
    In mijn spelletje is er de verborgen aanname dat de presentator de auto niet weet zitten, terwijl jij schreef:
    "De presentator, die precies weet waar de auto staat..."
    Waarom heb ik de spelregels verandert?
    Omdat dat de enige manier is om zeker te zijn dat de presentator een willekeurige deur kiest.
    De meest subtiele verborgen aanname is de volgende: de presentator zal NIET een willekeurige deur kiezen als hij moet kiezen tussen een deur met een auto en een deur met een geit (hij zal nooit de deur met de auto kiezen).
    Rest ons de volgende vraag:
    mogen we dat aannemen als het verhaal begint met de woorden:
    "Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten."
    Mogen we trouwens aannemen dat je collega zijn verjaardag kent?
    En mogen we aannemen dat hij niet zal liegen?
    Misschien wil hij je wel versieren.
    Als tweede datum geeft hij 1 mei.
    "Oh dan ben je jarig vandaag!"
    "Klopt, zin om met mij een glas te gaan drinken?"

  9. Peter Gooijer:

    De clou van de grotere winkans na wisselen zit in de kans van de beginkeuze. De kans dat je in eerste instantie de goede deur kiest is 1/3, de kans dat je de foute deur kiest is 2/3. Dus bij herhaling van de quiz zal 2/3 van de deelnemers statistisch eerst fout kiezen. Omdat na een foute beginkeuze wisselen van deur altijd tot de auto leidt, zal 2/3 van de deelnemers na wisselen de auto winnen.

  10. lucas tol:

    Ik zou graag antwoord willen hebben op de volgende stelling n.a.v je (2e of 3e) artikel over het 3-deuren-keuze-probleem in de VK van 1-5-2011:
    Je hebt een schema gegeven van het wel-wisselen en ik geef nu een analoog schema van wel-wisselen, maar nu bij een andere ingangskeuze [hetgeen op hetzelfde neerkomt als het NIET-wisselen bij het door u gegeven schema]:
    1. Ze kiest de auto, presentator toont geit A, ze wisselt naar geit B.
    2. Ze kiest de auto, presentator toont geit B, ze wisselt naar geit A.
    3. Ze kiest geit A (of B), presentator toont de andere geit (B of A), ze wisselt naar de auto.
    [Dit schema is het zelfde
    Kans op de auto is in deze benadering 1/3, maar anderzijds is de kans op een geit dus 2/3. Bij NIET-wisselen in uw schema is de kans op de geit overigens ook 2/3.

    Het gegeven schema door mij is net zo waarschijnlijk als het door jou gehanteerde schema. Ergo de kans op een geit óf op een auto is fifty fifty, zoals door anderen ook al is gesteld. Je suggereert een afhankelijkheid maar het zijn disjuncte kansen. Als er twee deuren overblijven is de kans op een auto óf een geit elk 2/3 ofwel de kansen zijn precies gelijk dus 50:50.

    Ir LAJ TOL

  11. Harm:

    @lucas tol:

    Volgens jou kiest de kandidate óf de auto, óf de auto, óf geit A, óf geit B. Echter, de auto staat maar achter één deur!

  12. Speicus:

    @ Lucas Tol:
    Twee, elkaar uitsluitende alternatieven met samen kans 4/3!
    Waar delen ze die Ir-titels uit?!!

    ("Als er twee deuren overblijven is de kans op een auto óf een geit elk 2/3 ofwel de kansen zijn precies gelijk dus 50:50.")

  13. Bastiaan Meelberg:

    Voor alle ongelovigen:
    Stel er zijn 1000 deuren, de kans dat je nu de juiste deur kiest is dan uiteraard 1/1000. De presentator opent nu 998 deuren waarachter een geit staat. De kans dat er een auto achter de deur zit die je in eerste instantie had gekozen is nog steeds 1/1000. Echter, de laatste dichte deur heeft nu een kans van 999/1000. Zouden jullie dan nog steeds niet wisselen?

  14. Ine:

    Grappig, met niet wisselen (New-York-Times-spelletje) had ik 6 keer de auto en 4 keer de geit!

  15. Speicus:

    Grappig?
    Ik speelde een keer en had een geit, dus...?

  16. G. Karssenberg:

    Beste Ionica Smeets,

    Het driedeurenspel is met eenvoudige kansrekening te analyseren en het klopt helemaal dat de strategie om te wisselen een dubbele winstkans oplevert, maar wel onder een belangrijke voorwaarde, namelijk mits de spelleider altijd een deur met een geit opent na je eerste keus. Is de spelleider een schurk, en opent hij alleen een geitdeur wanneer je in eerste instantie voor de deur met de auto kiest, dan levert de wisselstrategie een winstkans van nul! Hetzelfde geldt voor het verjaardagvoorbeeld. Wat zou je doen als je wist dat je collega al honderden anderen naar zijn verjaardagsdatum had gevraagd, en ze hadden allemaal fout geraden, en alleen bij jou begint hij over twee opties: de datum die jij noemde en een andere datum. Dan lijkt het er sterk op dat jij in eerste instantie wel goed zat en dat het een actie van hem is om je te verleiden een andere, foute datum te kiezen.

    Een dringend advies bij dit soort spelletjes is dus: Vraag de presentator of hij altijd een geitdeur opent en kijk haar diep in de ogen als ze met ja antwoordt. . .

    En wat te doen als het spel voor de eerste keer wordt gespeeld? En je kent de regels van het spel niet? Dat is een situatie waar de kansrekening geen antwoord op heeft. Moeten we ons wenden tot de filosofie?: Einmal ist Keinmal (Nietsche).

  17. thomas:

    Ik denk dat veel mensen verward zijn doordat ze twee keer kunnen kiezen. Men denkt dat de kansen gereset worden (en dat het dus over onafhankelijke kans gaat). En dat klopt niet.

    De vraag valt makkelijk te herformuleren tot: verf één van drie witte deuren zwart. Kies vervolgens wit of zwart.

  18. Raymond Wintershoven:

    Onderstaande verklaring had ik 1 mei 2011 naar de redactie van de Volkskrant gestuurd, maar werd niet geplaatst.
    (Ondertekend door Laura de Jong)
    Misschien snapte de reactie deze oplossing zelf niet.
    Heel toevallig geeft Bastiaan Meelberg bijna hetzelfde antwoord.

    Nogmaals die drie deuren van Ionica Smeets.

    Dit raadsel is met 1000 deuren eenvoudig te verklaren.
    De quizkandidate mag bij de 1e keuze één van de deuren aanwijzen, zij heeft dan 1/1000 kans om de auto te winnen.
    De kans om met de 999 resterende deuren de auto te winnen is 999/1000.
    De presentator is echter zo vriendelijk om 998 deuren zónder auto te elimineren.
    De kans, dat achter de enige niet geopende 999e deur een auto staat is dan nog steeds 999/1000.
    Niet wisselen zou in dit geval wel erg dom zijn.
    Hopelijk zal deze logische verklaring zelfs de juristen overtuigen.

    Raymond Wintershoven
    Lelystad

  19. Joan Manohar:

    Voor degene die het nog niet gelooft: als je deze verklaring niet begrijpt, dan weet ik het niet meer.....

    De kandidate kiest een deur (zeg maar A) met een kans op een auto als 1/3. De kans dat de auto achter de andere twee deuren (B en C) zit is 1/3+1/3=2/3.

    Dus de kans op de eerste keus (A), die al gemaakt is, vaststaat met 1/3. Nu is bekend dat achter een van de andere twee deuren (zeg maar B) geen auto is. Dat betekent dat de 2/3 kans die eerder over 2 deuren (B en C) verdeeld was, nu overgenomen wordt door de resterende deur (C).

    Dus als de kandidate nu wisselt naar C heeft ze 2/3 kans om de auto te winnen.

    Capisce?

  20. Bingo Haley:

    Ik heb dat spelletje gespeeld, de hele nacht door: 20000 keer geprobeerd, 20000 keer geswitcht na de eerste keus, en raad eens hoeveel percent ik de auto heb gewonnen? 63% DUS NIET 66%.

    Leugenaars! Ik wil mijn geld terug...

  21. Rogier:

    Ik behoor tot de mensen die het probleem kregen voorgelegd op college statistiek. Na afloop in het café aan de overkant eindeloos het probleem nagespeeld. Een flinke groep studenten bleef ondanks alles volhouden dat het onmogelijk is dat je je winstkans vergroot.

    Het is prachtig om te zien hoeveel mensen, ook in deze blog, niet bereid zijn hun oorspronkelijke stellingname te verlaten en te switchen naar de goede oplossing, zelfs tegen ieder bewijs in. Te pas en te onpas wordt er op gewezen dat de opdracht misleidend of zelfs verkeerd zou zijn, hetgeen hij toch echt niet is.

    Voor wie nog niet genezen is heb ik nog een leuke (misschien aardig voor een volgende column Ionica?)

    Neem een rode pot met rode knikkers en een blauwe pot met blauwe knikkers (de hoeveelheid doet niet ter zake)
    Neem een willekeurige hoeveelheid rode knikkers en doe die in de blauwe pot.
    Schud de blauwe pot goed door elkaar.
    Neem blind eenzelfde aantal knikkers uit de blauwe pot terug en doe die in de rode pot.

    Wat kan je nu zeggen over de verhouding in de potten?
    1) Je kunt niets zeggen over de verhoudingen.
    2) Er zitten evenveel rode knikkers in de blauwe pot als blauwe knikkers in de rode pot.
    3) Er zitten meer rode knikkers in de blauwe pot dan blauwe in de rode
    4) Er zitten meer blauwe knikkers in de rode pot dan rode in de blauwe

    Gaarne bereid tot weddenschappen over de juiste oplossing.

  22. Xaverius:

    Ene Richard Feynman of was het Albert Einstein, heeft ooit gezegd dat je werkelijk iets begrijpt als je het kunt uitleggen in de woorden van een 8 jarige. Feynman ging zelfs nog een stapje verder door te beweren, dat we kunnen nabouwen wat we begrijpen.

    Maakt het iets uit of de quizmaster weet achter welke deur de auto staat ALS niet hij maar de winnaar van de quiz zelf de deur(en) mag openen?

    Het geiten-auto-raadseltje is niets anders dan een taal probleem, waarbij de schijn gewekt wordt dat er twee maal een keuze gemaakt kan worden. Bovendien gaat achter de taal een logica schuil, die door velen niet herkend wordt. Dit taalprobleem verdwijnt als sneeuw voor de zon als het raadsel anders wordt omschreven:

    De winnaar van de quiz mag: a) één deur openen OF b) alle deuren min één?

    Zo omschreven en zonder de logica geweld aan te doen, kan zelfs een kind van 3 de juiste keuze maken.

  23. Sjappie:

    Voor het probleem is het zeker wel belangrijk of de quizmaster weet waar de auto zit of niet. Als hij dit niet weet is het niet noodzakelijk altijd te wisselen. Als hij dan een deur met de geit opent is de kans dat achter jouw eerder gekozen een auto zit 50%.

    De strategie wordt dan:
    -Wissel als de quizmaster de deur met de auto opent
    -Blijf bij je eerste keus als de quizmaster een deur met een geit opent

    Je wisselt dus in 1/3de van de gevallen en je winstverwachting is 1/3 (je kiest meteen de goede) + 2/3 * 1/2 (de quizmaster opent de goede deur) = 2/3.

    Echter, als je niet of de quizmaster weet achter welke deur de auto zit kun je beter wel altijd wisselen. Dan heb je altijd een winstverwachting van 2/3 (tenminste, als de geiten niet beginnen te mekkeren).

  24. Antoni:

    @Sjappie:
    je argumentatie klopt niet, maar de uitkomst van je berekening wel. Volgens jou is de winstverwachting 2/3 als je weet dat de Quizmaster het niet weet maar ook 2/3 als je normaal speelt. Als beide dus 2/3 is, dan snap ik niet precies waarom je een andere strategie adviseert die hetzelfde oplevert.

    Over jouw eerste alinea: Dat klopt niet. Als je een deur kiest met 1/3 kans dan blijft dat 1/3 kans (tenzij de auto wordt getoond) , zoals in heel veel bovenstaande emails is uitgelegd. Je kan het ook met 1000 deuren nogmaals doen. Je kiest er 1 (kans 1/1000), als er dan een willekeurig aantal willekeurig gekozen deuren opengaat, dat blijft jouw kans 1/1000 tenzij je de auto ergens ziet.

    Kortom: ook als de Quizmaster het zelf niet weet blijft de kans 2/3 als je wisselt.

    Groetjes vanuit een zonovergoten Deventer.

  25. Sjappie:

    @Antoni
    Ik zeg niet dat mijn strategie beter is, ik zeg dat de strategieën even goed zijn. Mijn advies is dus de 'wissel altijd'-strategie of mijn strategie te gebruiken als de quizmaster geen voorkennis heeft.

    Dat staat nergens uitgelegd in bovenstaande berichten, die gaan immers allemaal over het geval dat de quizmaster alwetend is en altijd een deur met een geit zal openen. Als de quizmaster niet weet waar de auto zit zal hij in 50% van de gevallen de deur met de auto openen als jij voor een deur met de geit koos en altijd een deur met een geit openen als jij voor de deur met auto koos. Dus de kans dat de auto achter jouw deur zit gegeven dat de quizmaster niet weet waar de auto zit en hij een deur met de geit opent is 1/3 / (1/3 + 2/3 * 1/2) = 1/2.

    Ook bij 1000 deuren neemt de kans dat de auto achter jouw deur zit toe als de quizmaster niet weet waar de auto zit en hij een deur met een geit opent.

    Kortom: Als de quizmaster het niet weet is de kans 2/3, het maakt niet uit of je wisselt na het openen van een deur met een geit erachter.

  26. Antoni:

    @Sjappie

    Je hebt gelijk natuurlijk. Kansrekening (en goed lezen) blijft lastig. Het uitschrijven leerde me dat jouw stelling "Dus de kans dat de auto achter jouw deur zit gegeven dat de quizmaster niet weet waar de auto zit en hij een deur met de geit opent is 1/2" klopt.

    Nu denk ik: hoe zit dat met 100 deuren en een onwetende QM ?
    Stel dat door stom toeval de QM 98 willerkeurige deuren opent en dat zijn toevallig allemaal geiten? Ik weet niet precies hoe dat uit te rekenen, maar het meest waarschijnlijke senario voor 98 geiten is dat je al de auto had gekozen natuurlijk. In het geval dat je de geit koos is het heel onwaarschijnlijk dat er 98 geiten opengedaan worden door een onwetende QM. Wie kan dit berekenen? Mijn gevoel zegt dat ook dan 1/2 is ..

    Groetjes,
    Antoni

  27. Hans Verlouw:

    Ik heb er in mijn vakantie eens rustig over nagedacht en heb een duidelijk diagram getekend. Aanname hierbij is dat de quiz-master wel weet achter welke deur de auto staat.
    In dat geval verdubbelt wisselen de kans op winnen.

    Op de website van Wiskundemeisjes wordt verwezen naar een uitleg op de website
    http://www.wisfaq.nl/top.htm?url=http://www.cut-the-knot.org/peter.shtml
    maar deze uitleg klopt niet.
    In het daar weergegeven diagram wordt er namelijk van uitgegaan dat de kandidaat altijd van deur wisselt, maar dat is natuurlijk niet waar.
    Ondanks de foute redenatie klopt het antwoord wel, zoals is af te lezen uit het complete diagram op de website
    http://members.home.nl/hans.verlouw/3doors.jpg
    Hierin is te zien dat de wissel-strategie beter is; de kans om te winnen is twee maal zo groot als de kans om te verliezen.
    Wanneer de kandidaat bij zijn eerste keus blijft is de kans om te verliezen twee maal zo groot als de kans om te winnen.

    Het is nu makkelijk een korte verklaring te geven.
    In het begin is de kans op verliezen: 2/3.
    Doordat de quiz-master een deur opent, wordt de kans op verliezen: 1/3.

  28. Eduard:

    Voor de niet-gelovers en zij die van broncode houden, hier is even een stukje wat het gauw simuleert op de computer. Het enige caveat is dat de computer altijd deur 0 (1e deur) kiest, omdat ik zelf een 100.000 keer 0 of een willekeurige deur intypen iets te vervelend vind. Het onderstaande kan je op in ieder geval Linux en Mac machines aan de praat krijgen dmv de code op te slaan in 3doors.cc en vervolgens te compileren met "g++ -W -Wall 3doors.cc -o 3doors" (geen quotes). De hoeveelheid deuren is zelfs te veranderen.

    Wat ik mijzelf bedacht is dat het antwoord op het probleem hetzelfde is als het antwoord op de vraag: "Wat is de kans dat als de auto een willekeurige deur kiest, de auto niet achter de deur staat die de kandidaat heeft gekozen?" En daar is geen Quizmaster voor nodig :).

    #include
    #include
    #include

    #define NO_DOORS 3
    #define NO_TRIES 100000

    int main() {
    unsigned long wins_switch = 0;
    unsigned long wins_stay = 0;

    //Initialise random number generator
    srand ( time(NULL) );

    for (unsigned long i = 0; i < NO_TRIES; ++i) {
    std::vector hasCar (NO_DOORS, false);
    std::vector isOpened (NO_DOORS, false);
    //Let the computer decide behind which door we find the car
    unsigned long carDoor = (rand() % NO_DOORS);
    hasCar[carDoor] = true;

    //Picking door number 0 (doors are numbered 0 to (NO_DOORS - 1))
    //all the time doesn't change anything to the problem...
    unsigned pickedDoor = 0;
    //Because it will be opened later...
    isOpened[pickedDoor] = true;

    //Showmaster opens (NO_DOORS - 2) doors without car
    unsigned long noOpenedDoors = 0;
    while (noOpenedDoors < (NO_DOORS - 2)) {
    unsigned long tDoor = (rand() % NO_DOORS);
    if (tDoor == carDoor || tDoor == pickedDoor || isOpened[tDoor] == true) {
    //Not allowed to open this door, because it's the candidates
    //choice or it has the car or has already been opened...

    //Basically, do nothing...
    } else {
    //Allowed to open this door
    noOpenedDoors++;
    isOpened[tDoor] = true;
    }
    }
    unsigned long remainingClosedDoor = 0;
    for (unsigned long int j = 0; j < NO_DOORS; ++j) {
    if ((isOpened[j] == false) && (pickedDoor != j)) {
    remainingClosedDoor = j;
    break;
    }
    }
    wins_stay += hasCar[pickedDoor];
    wins_switch += hasCar[remainingClosedDoor];
    }
    std::cout << "Of the " << NO_TRIES << " tries, you would have won " << wins_switch << " times if you would have switched, " << wins_stay << " times if you would have stayed." << std::endl;

    return 0;
    }

  29. Fons Zuidema:

    Rogier,

    Leuk probleempje.
    Natuurlijk snel te zien dat het antwoord 2 is.
    Wat krijg ik nu: een pot met 4 knikkers (want als je met 4 knikkers in elke pot begint gaat je puzzeltje natuurlijk niet op)

    Fons

  30. Paul Beurskens:

    Dag Ionica, de drie deuren, wel wat laat...
    Ik ben overtuigd nadat ik alle mogelijkheden in tabel heb gezet.. Bedankt.
    -----------------------------
    keuze presentator-toont wissel-niet-uitkomst wissel-wel uitkomst

    1. auto, geit-A-of-geit-B geluk naar-andere-geit pech

    2. geit-A geit-B pech naar-auto geluk

    3. geit-B geit-A pech naar-auto geluk

    Kans op auto: wissel-niet 1/3 wissel-wel 2/3
    ----------------

  31. Iemand:

    Hallo wiskundemeisjes!

    Ik vond dit onderwerp erg grappig. Laatst werd het aan me gevraagd. Ik mocht het opzoeken. Nu ik het hier zo lees, snap ik het precies! Zelf ben ik niet zo'n wiskunde freak, ik ben er ook niet zo goed in, maar ik houd wel veel van nadenken. Ik ben het met jullie eens, hoor!
    Bedankt,

    Iemand.

  32. Jorgen:

    Ik vroeg me af wat er zou gebeuren als drie kandidaten mogen kiezen.
    Uitgangspunt: ze kiezen alle drie een verschillende deur.
    De eerste rond valt degene met de foute deur af.

    Beide overgebleven kandidaten zouden moeten wisselen volgens de theorie. Maar levert dat geen paradox op omdat beiden nu een kans van 2/3 hebben, zo het totaal >1 zijn...

    Paradox of een blinde vlek in mijn redenering?

  33. Polbeer91:

    @Jorgen, mijn broertje had de oplossing.

    De 'blinde vlek' zit in het feit dat, in tegenstelling tot het orginele probleem er ook een optie is dat de presentator jouw deur had gekozen en je eruit lag. De presentator is niet zoals in het origineel verplicht om uit 2 deuren te kiezen die niet gekozen zijn. De kans is dus voor beide overgebleven deelnemers gewoon 50%.

  34. Martijn Grooten:

    Er zijn twee foute deuren hè, dus "degene met de foute deur" is niet eenduidig gedefinieerd. Maar goed, je zou in principe één de 'foute' deuren kunnen openen en de betreffende kandidaat valt dan af.

    Het is niet lastig te zien dat dit a priori een kans van 1/3 op winst oplevert (overigens ongeacht je "tactiek") en, nadat een deur die niet de jouwe is geopend is, de kans nog 1/2 is (wederom, ongeacht de tactiek). Dat is gewoon na te rekenen.

    Wat het verschil is met de één-kandidaat-variant is dat er hier ook een mogelijkheid is (met kans 1/3) dat jouw deur geopend wordt en jij dus afvalt.

  35. Casper:

    Jorgen:
    Bij jou bestaat de kans dat een kandidaat direct weggestuurd wordt (en dus niet eens mag kiezen tussen blijven en wisselen). Dit scenario zit er in het originele probleem niet bij. Omdat iedereen het risico heeft om die onfortuinlijke kandidaat te zijn, 'drukt' dat de kans van 2/3e naar 1/2. En dat beide kandidaten een kans van 50% hebben, is best logisch.

  36. Nanne:

    misschien ligt het aan mij, maar waarom zou je die twee kansen bij elkaar optellen? Als ze beide wisselen, kiezen ze uiteindelijk dezelfde deur, right? Maar waarom dan optellen?

    Stel je voor dat de deuren doorzichtig zijn, en iedereen ziet dat het deur 1 is. Dan kiest iedereen de juiste deur met een kans van 1 en is de som van de individuele kansen 3.
    Maar ik zie niet helemaal in waarom je die kansen op moet tellen, of wat dat dat zou betekenen?

    Hetzelfde met jouw voorbeeld. Beide mensen hebben 2/3 kans dat de deur die ze uiteindelijk kiezen de juiste is. Maar waarom zou je dat optellen?

  37. Bart:

    De kans dat je een auto wint is 2/3 als je van deur wisselt en 1/3 als je niet wisselt. En als je oneindig vaak dit spel zal spelen en telkens van deur wisselt, zal je in ongeveer 67% van de spelletjes een auto winnen. Ben ik het helemaal mee eens.

    Echter, ik denk dat je slechts een keer de kans krijgt dit spel te spelen. Hoe zuur is het dan als je de auto niet wint, omdat je van deur gewisseld hebt (en in eerste instantie dus de goede deur gekozen had)?

  38. Casper:

    Bart: dat is zuur.
    Maar hoe zuur is het om de foute deur te kiezen, niet te wisselen uit angst voor zuurheid en dan geen auto te winnen? Dan heb je èn geen auto èn krijg je de rest van je leven steeds maar weer te horen "He, daar heb je Bart, die snapt het driedeurenprobleem niet".
    Bij de quiz is er bij elke strategie een aanzienlijke kans dat je zonder auto naar huis gaat. Op zo'n moment slaat de quizmaster vriendelijk een arm om je heen en zegt hij "ach, het is maar een spelletje he".

    (Daarnaast is het maar goed dat men niet dit spelletje vaak mag spelen. Dan worden er veel te veel auto's gewonnen en da's niet goed voor het milieu enzo.)

  39. Quantumraadsels, deel 3, Het experiment met de dubbele spleet | Jan's Filosofie:

    [...] Ik zet mijn redenering van chaos uit deel 2 voort. De golf is een beschrijving van waarschijnlijkheden. Wat we zien is dus de uitkomst van statistiek. We vuren één deeltje af en kunnen de waarschijnlijkheid voorspellen van waar het terecht komt. Nogal wiedes dat je de kansen van de ene en de andere spleet bij elkaar op moet tellen. Als een bepaald punt een grote kans heeft getroffen te worden in het geval het deeltje door spleet 1 komt en datzelfde punt heeft een kleine kans in het geval het deeltje door spleet 2 komt, dan is de totale kans natuurlijk een gemiddelde daarvan. Uitdoving. Maar als je al weet dat het deeltje door een van beide spleten gaat, dan liggen die kansen natuurlijk volkomen anders. Het lijkt een beetje op het driedeurenprobleem. nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem http://www.wiskundemeisjes.nl/20110430/nog-eens-die-drie-deuren [...]

  40. Quantumraadsels, deel 3, Het experiment met de dubbele spleet | Reinhard Beskers:

    [...] anders. Het lijkt een beetje op het driedeurenprobleem. nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem http://www.wiskundemeisjes.nl/20110430/nog-eens-die-drie-deuren Moet de kandidaat wisselen, nadat de presentator één deur geopend heeft? Voor veel mensen is het [...]

  41. Hoe win je een miljoen? Eureka! | Ionica Smeets:

    […] Over dit probleem schreef ik eerder deze column en toen de lezers het nóg niet geloofden ook nog deze column. Bij blijvende twijfel zou ik jullie aanraden om het met honderdtwintig emmers in een weiland na te […]

  42. Quantumraadsels, deel 3, Het experiment met de dubbele spleet | Reinhard Beskers:

    […] anders. Het lijkt een beetje op het driedeurenprobleem. nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem http://www.wiskundemeisjes.nl/20110430/nog-eens-die-drie-deuren Moet de kandidaat wisselen, nadat de presentator één deur geopend heeft? Voor veel mensen is het […]

  43. Reinhard Beskers:

    Van nature kunnen onze hersenen slecht omgaan met statistische gegevens. Woorden en logica, dat gaat allemaal vrij goed, maar in de statistiek laat onze intuïtie ons in de steek. Dat is psychologie. Kansen zijn voor mensen iets abstracts, maar als je over concrete aantallen spreekt, dan stellen mensen het zich voor. Lees hier http://wp.me/p38dkW-4P hoe je het driedeurenprobleem wèl duidelijk kunt uitleggen.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.