Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Verjaardagen


In Column, door Jeanine

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik laatst jarig was, trakteerde ik in de koffiepauze op koekjes. Naast mijn schaal stond nóg een traktatie: er was dus een collega op dezelfde dag jarig als ik. Wat is de kans dat dat gebeurt?

jarig

Eerst nog even een andere vraag: hoe groot moet een groep zijn om zeker te weten dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn? Pas in een groep van 366 mensen weten we dat echt zeker: er zijn 365 mogelijke verjaardagen (we vergeten schrikkeldagen voor het gemak even voor de rest van deze column) en meer mensen dan dat, dus er zijn minstens twee mensen die een verjaardag delen.

Maar ook in veel kleinere groepen zijn vaak twee mensen op dezelfde dag jarig. Al vanaf 23 mensen is de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben meer dan 50%. Om een gevoel te krijgen of die orde van grootte klopt: denk maar eens aan een klas waar u in gezeten heeft, waren daarin twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn basisschoolklas wel (en nee, dat was geen tweeling). Zijn er in uw familie twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn familie is dat zo: mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn tante.

Hoe kunnen we die kans uitrekenen? We beginnen eenvoudig met een groepje van twee mensen, Alice en Bob. De kans dat in dat groepje twee mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/365. Het maakt namelijk niet uit wanneer Alice jarig is, de kans dat Bob dezelfde verjaardag heeft is 1/365.

Voor drie personen (Alice, Bob en Claire) is een andere manier handiger. De kans dat alle drie de verjaardagen verschillend zijn is eenvoudiger uit te rekenen dan de kans dat twee of drie verjaardagen op dezelfde datum vallen. Voor Alice zijn alle 365 verjaardagen toegestaan. De kans dat Alice en Bob op verschillende dagen jarig zijn, is 364/365, want voor Bob mag alleen de verjaardag van Alice niet. De kans dat Claire’s verjaardag ook nog verschilt van die twee gegeven dagen is dan gelijk aan 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben is dus gelijk aan: \(\), ruim 99%. De kans dat minstens twee van de drie dezelfde verjaardag hebben, is dus maar klein, minder dan 1%.

Die kans wordt snel groter wanneer de groep groter wordt. Bij 23 personen is de kans dat alle verjaardagen verschillen volgens bovenstaande redenering gelijk aan \(\), dus dan is de kans dat minstens twee van hen dezelfde verjaardag hebben inderdaad iets meer dan 50%.

En wat is de kans dat een collega specifiek mijn verjaardag deelt? Ik heb ongeveer 140 collega’s. De kans dat ze allemaal niet op mijn verjaardag jarig zijn is: \(\). De kans op nog een jarige is dus ongeveer 32%.

Wie graag onverdeelde aandacht krijgt, kan zijn verjaardag dus maar beter in relatief kleine kring vieren, anders is de kans aanwezig dat er gezongen wordt: “Er zijn er twee jarig, hoera, hoera!”

13 reacties op “Verjaardagen”

  1. Jurjen:

    Je kan gerust veel mensen op je verjaardag uitnodigen, hoor. De kans dat er iemand op dezelfde dag jarig is als jij is vele malen kleiner dan de kans dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn!

  2. Rene:

    @1: en bovendien komt die ander toch niet want die heeft zelf al een feestje...

  3. Walter Vos:

    Mis ik iets? Hoe kan het nou dat bij een groep van 23 personen de kans op twee dezelfde verjaardagen ongeveer 50% is en bij een groep van 140 personen slechts 32%?

  4. Zaaikort:

    Walter Vos heeft goed opgelet!
    De laatste berekening klopt niet.
    Weet iemand een slimme manier om het produkt van de 23 of 140 verschillende(!) faktoren in een klap uit te rekenen?

  5. Jeanine:

    @ Walter Vos: er is een verschil tussen die twee vragen: in een groep van 23 mensen is de kans op twee dezelfde verjaardagen ongeveer 50%. In een groep van 140 mensen is de kans dat een van die mensen op DEZELFDE DAG ALS IK, dus 1 heel specifieke dag, jarig is, 32%. Dat is dus niet hetzelfde als vragen of er in die groep twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, die kans is veel groter dan 50%, maar dan ben ik niet per se een van die twee!

  6. Zaaikort:

    Oeps, overheen gelezen...

  7. marije:

    Onze familie spant de kroon, ik ben op dezelfde dag jarig als mijn vader. Mijn broer is op dezelfde dag jarig als zijn vrouw. Mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn vaders vriendin en dan is haar dochter tegelijkertijd jarig met de vriendin van haar broer!
    Hoe groot is die kans!

  8. Zaaikort:

    (Terug naar de column...)

    Het geval met 3 personen is nog met de hand uit te rekenen. Voor 23 personen wordt het al lastiger, maar nog te doen op de calculator, met wat repeterende handelingen. Bij 140 personen is de lol daar snel vanaf, dan kun je beter een eenvoudig programmaregeltje maken (een lus, bijvoorbeeld in javascript). Maar is er een direkte formule zonder repeteren? Ja:

    P = A! /[ (A-N)! * A^N ]
    met
    P = kans dat niemand tegelijk jarig is
    N = aantal personen
    A = 365

    Helaas: mijn rekentuig kan veel, maar 265-fakulteit is voor hem 'oneindig'. Gelukkig bestaan er benaderingsformules voor fakulteiten. Die van Stirling is alleen goed voor hele grote, maar er blijkt ook nog een verbeterde te bestaan, van Gosper. Daarmee heb ik de volgende toverformule gemaakt:

    P =~ e^{ G + A [ ln A - 1 ] - (A-N) [ ln (A-N) - 1 ] - N ln A }
    met
    G = (1/2) ln[ (6A+1)/(6(A-N)+1) ]

    Deze formule is natuurlijk belachelijk ingewikkeld vergeleken met het simpele programmaatje, dus het gaat meer om de sport.

    Proefkonijn 23:
    P =~ 0,492 volgens Wiskundemeisjes
    P =~ 0,492702765676 met repeterend calculeren (Hee, afrondingsfoutje bij WM?)
    P =~ 0,49270277 met de formule, die werkt dus ruimschoots nauwkeurig genoeg.

    Nu kunnen we geval 141 aan, de kans dat er niemand tegelijk jarig is als je 140 collega's hebt. De formule geeft:
    P =~ 2,336E-14 oftewel zo goed als nul. (Het programmaatje geeft dezelfde uitkomst.)
    Dat is dus inderdaad, zoals Jeanine zegt, heel anders dan de kans dat niemand tegelijk met haar jarig is, [ (A-1)/A ]^N = 0,681... met N=140

  9. Zaaikort:

    Hier is het programmaatje. Plak de onderstaande tekst in een nieuw tekstbestand, vervang de rechte haken door schuine, geef het bestand de extensie .html en open het (met een browser).

    [html] [head] [/head] [body] [script type="text/javascript"]
    function test() {
    var p=1.0;
    for (var i=365;i]0;i--) {
    p = p * i / 365;
    document.writeln( (366-i) + " " + p );
    } }
    test();
    [/script] [/body] [/html]

  10. Aad:

    Een ander leuk fenomeen: als je precies 365 (random) kennissen hebt, en je vult die allemaal in op je verjaarskalender, dan is het aantal lege cellen op die kalender circa 365 * 1/e. Het aantal cellen met precies een persoon erin ook. (1/e is ongeveer 0.3679)

    Dit gaat ook op indien het aantal kalender-hokjes (en het aantal personen) anders dan 365 is.

  11. Doelan:

    Aaaawh wolla ik zeg toch jullie zeggen dingen die niet zo zijn tog.
    Je moet gewoon logisch denken, de kans is 50%, altijd! Het is zweer namelijk gewoon altijd wel of niet toch?

  12. Arno van Asseldonk:

    @Doelan: Als ik een vaas heb waarin zich 99 zwarte knikkers en 1 witte knikker bevinden, dan is de kans dat ik een witte knikker trek 1/100 omdat er van de 100 knikkers precies 1 knikker wit is. De kans om geen witte knikker (dus een zwarte knikker) te terekken is 1-1/100 = 99/100. Jouw argument gaat dus niet op, tenzij je de vaas met evenveel witte als zwarte knikkers zou vullen.

  13. Vingheur:

    Zou iemand mij een trucje kunnen uitleggen voor de tafel van 7? Ik blijf er moeite mee hebben. En ik hoorde een vriend zeggen dat er een trucje voor moet zijn. Dus vandaar mijn vraag, wie weet het trucje?
    met vriendelijke groetjes,

    Vingheur

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.