Wiskundemeisjes

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant.

In onze wiskundekantine zei een professor van een niet nader te noemen ander vakgebied eens verbaasd: “Wat zijn de mensen hier aardig tegen elkaar!” Dat klopt: wiskundigen maken niet zo vaak ruzie met elkaar. Niet om inhoudelijke kwesties, in ieder geval. Als iemand iets beweert wat niet klopt, kan een ander daar namelijk een sluitend argument tegen inbrengen. En de een accepteert dat dan, neemt zijn verlies, en is in het beste geval zelfs blij dat hij iets geleerd heeft. Er is geen richtingenstrijd, de onenigheden gaan hoogstens over welke soorten vragen en argumenten het mooist of interessantst zijn.

Maar over erkenning en prioriteit zijn in de geschiedenis van de wiskunde wel ruzies uitgevochten. Een mooi verhaal is dat van de ontdekking van de formule voor de oplossingen van de derdegraads vergelijking in het Italië van de zestiende eeuw.

U kent de abc-formule wel: de oplossingen van de algemene kwadratische vergelijking worden gegeven door . Het is een voor de hand liggende vraag of zo’n formule ook bestaat voor de derdegraads vergelijking , en het antwoord is ja. Wat die formule precies is, is nu niet belangrijk, hij ziet er nogal ingewikkeld uit.

De eerste die één type derdegraads vergelijking algemeen kon oplossen was Scipione del Ferro, rond 1515. Zo’n ontdekking ga je natuurlijk van de daken schreeuwen! Nee. Ook toen speelden economische motieven een rol: je moest geld verdienen, bijvoorbeeld door een mecenas te vinden. Dat lukte beter als jij iets kon dat niemand anders kon, en dat wilde je dan graag zo houden. Om te bewijzen dat je iets bijzonders kon, daagde je iemand uit met een set problemen die je zelf had opgelost, in de hoop dat de ander dat niet zou kunnen. En als tegenactie gaf die persoon jou ook problemen op. Een wiskundeduel, zeg maar.

Del Ferro deed dat niet, maar hij gaf de oplossing voor zijn dood wel door aan onder andere zijn leerling Fiore. Die hoorde op een bepaald moment dat Niccolò Tartaglia (dit was zijn bijnaam, “tartaglia” betekent “stotteraar”) opschepte dat hij derdegraads vergelijkingen kon oplossen. Fiore daagde hem natuurlijk uit. Fiore kon echter maar één type vergelijking oplossen, en Tartaglia slaagde erin dat type ook te kraken. Hij kon Fiore vervolgens uitdagingen terugsturen die die niet kon oplossen. Dus Tartaglia won.

Ronde twee. Gerolamo Cardano hoorde van deze wedstrijd en probeerde Tartaglia over te halen zijn oplossing te delen. Tartaglia weigerde natuurlijk. Maar nadat Cardano eeuwige geheimhouding beloofd had, naast verleidelijke uitnodigingen voor introducties bij het Milanese hof, ging hij overstag!

Cardano breidde de oplossing uit, en zijn leerling Ferrari vond zelfs de formule voor de vierdegraads vergelijking. En Tartaglia publiceerde maar niets. Toen Cardano er achter kwam dat Del Ferro ook al een gedeeltelijke oplossing had gehad, voelde hij zich niet meer verplicht tot geheimhouding en in 1545 publiceerde hij de oplossing (waarbij hij Tartaglia wel noemde). Tartaglia was woedend en een strijd vol beledigingen en uitdagingen volgde. Hij daagde Ferrari uit, en… verloor. De formule staat nu bekend als de “formule van Cardano”. Dus zijn eedbreuk heeft hem wel mooi eeuwige roem bezorgd.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Twee weken geleden schreef Jeanine hier hoe ze op haar vakantie in Barcelona allerlei wiskunde zag. Bij mij gaat het net zo. En zelfs als er nergens wiskunde te zien is, dan denk ik er nog aan. Vorige week was ik in New York en terwijl ik wachtte op de metro naar Brooklyn, herinnerde ik me bijvoorbeeld ineens dit oude raadsel van Martin Gardner.

Een jongen die vlak naast een metrostation in Manhattan woont, heeft twee vriendinnen: één in Brooklyn en één in de Bronx. Vanaf het metrostation gaat er een downtown-metro naar Brooklyn en een uptown-verbinding naar de Bronx. De vertreksporen liggen tegenover elkaar aan hetzelfde perron. De jongen ziet allebei zijn vriendinnen even graag en laat het lot beslissen wie hij bezoekt. Elke zaterdagmiddag gaat hij op een willekeurig tijdstip naar het perron en springt in de eerste metro die het station inrijdt. Zowel naar Brooklyn als naar de Bronx vertrekt er elke tien minuten een trein. Maar op de een of andere manier, eindigt de jongen veel vaker bij zijn vriendin in Brooklyn. Hij is zelfs negen van de tien keer bij haar. Hoe komt het dat Brooklyn zoveel betere kansen heeft dan de Bronx? (Los van het feit dat tegenwoordig alle hipsters daar liever naartoe willen, maar dat terzijde.)

Zometeen het antwoord, maar eerst iets meer over Martin Gardner. Deze puzzel verscheen in één van zijn eerste columns in Scientific American. Vanaf 1957 vulde Gardner vijfentwintig jaar lang elke maand een rubriek met wiskundige raadsels, spelen en andere eigenaardigheden. Zijn column was ongekend populair.

Cartoon over Martin Gardner uit 1996, hij was dus zeer terecht ook columnist voor Skeptical Inquirer.

Gardner was zelf geen wiskundige, hij studeerde filosofie en had na zijn middelbare school geen wiskundevak meer gevolgd. Het schrijven van zijn maandelijkse column in Scientific American was voor hem vrijwel een full-time baan. Hij las boeken en wetenschappelijke tijdschriften, bezocht conferenties en correspondeerde met vooraanstaande wiskundigen. Dankzij hem vonden onderwerpen als fractals, Hex, Penrose-betegelingen en Game of life hun weg naar een groot publiek. Zelf zei hij bescheiden dat hij niet meer deed dan het werk van anderen zo helder mogelijk opschrijven. Hij was tot zijn dood in 2010 actief en schreef naast zijn columns ook tientallen boeken. Hij schreef natuurlijk over wiskunde, maar ook over pseudowetenschap, goochelen en het werk van Lewis Carroll. Hij is nog steeds een groot voorbeeld voor iedereen die over wiskunde schrijft, en zijn werk is nauwelijks gedateerd.

De oplossing van het metro-raadsel is een voorbeeld van iets dat heel eenvoudig is zodra je er op de juiste manier naar kijkt. Het antwoord zit in de vertrektijden. De metro naar de Bronx komt altijd één minuut na die van de Brooklyn. Dus alleen als de jongen net in die minuut aankomt, pakt hij de metro naar de Bronx. In alle andere gevallen gaat hij naar Brooklyn. Omdat hij op een willekeurig moment het station inloopt, is de kans negen op tien dat hij in Brooklyn eindigt.

Lees het verzameld werk van Martin Gardner en dan zul je ook overal wiskunde zien.

ps Hieronder nog een filmpje met meer van mijn wiskundige gedachten uit New York