Wiskundemeisjes

Babylonisch rekenen

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Wiskunde tegenkomen in oude, verdwenen culturen is fascinerend. De wiskunde van de Babyloniërs in het oude Mesopotamië, bijvoorbeeld, is heel interessant. Mesopotamië lag ongeveer in het huidige Irak, en onder “Babyloniërs” verstaan we een hele serie volkeren in dat gebied, zo tussen 3000 en 500 voor Christus.

Het fijne aan de Babyloniërs is dat ze schreven op duurzaam materiaal: kleitabletten. Die kunnen we lezen, als we de taal en het spijkerschrift snappen, tenminste. Maar Babylonische getallen zijn zelfs voor een leek makkelijk te ontcijferen.

Op het plaatje staat een transcriptie van een kleitablet. In de middelste kolom staat een rij symbolen: één spijkertje op de eerste regel, twee spijkertjes op de tweede, enzovoorts. In die kolom staan inderdaad de getallen 1, 2, 3, 4, 5, …. Na de negen verschijnt een nieuw symbool, een soort winkelhaakje, dat blijkbaar voor de tien staat.

Wat staat er in de derde kolom? Naast de 1 staat 5, en naast de 2 staat 10. Naast de 3 staan een 10 en een 5, dat zal dan wel 15 betekenen. Deze regelmaat vervolgt zich, en het is duidelijk wat hier staat: de tafel van vijf. Dat clustertje tekens vooraan elke regel betekent “keer”.

Bij vijf keer twaalf gebeurt er iets geks: de uitkomst is 1 spijker, wat, zagen we al, één betekent. Maar vijf keer twaalf is zestig! Blijkbaar betekent een spijker behalve één ook zestig. Wat onhandig, denk u misschien. Aan de andere kant: wij gebruiken een 1 ook op verschillende manieren, in het getal 123 betekent de 1 dat er één honderdtal is.

Net als wij kenden de Babyloniërs een zogenaamd positiestelsel. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt hoeveel het cijfer waard is. De Babyloniërs gebruikten als grondtal zestig, waar wij tien gebruiken. Als zij met hun spijkerschrift 2; 15; 51 opschreven, bedoelden ze 2 keer 3600 (want 60 × 60 = 3600), 15 keer zestig en 51 keer één.

Of misschien wel 2 zestigen, 15 enen en 51 zestigsten! Want er is een belangrijk verschil: ze hadden geen komma en heel lang ook geen symbool voor een lege plaats. Wij zien door nullen, die eigenlijk lege plekken aangeven, makkelijk het verschil tussen 100 en 1. En dat we met 0,1 een tiende bedoelen, zien we aan de komma. De Babyloniërs niet. Meestal was dat niet zo’n probleem, want uit de context bleek vaak wel wat er bedoeld werd.

Een voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk in kan rekenen door getallen onder elkaar te zetten. De Babyloniërs konden overigens veel meer dan rekenen alleen, zo kenden ze de stelling van Pythagoras en losten ze bepaalde kwadratische vergelijkingen op.

Een Babylonisch kleitablet met een goede benadering van erop.

Het getalstelsel van de Babyloniërs is helaas in onbruik geraakt en er doken veel onhandigere getalstelsels op, zoals de Romeinse cijfers. Probeer die maar eens onder elkaar te vermenigvuldigen… Pas in de dertiende eeuw kwam een Indiaas positiestelsel via de Arabische wereld onze kant op, en werd het rekenen hier makkelijk. Wat we wèl overgehouden hebben aan de Babyloniërs, is onze zestigtallige tijdrekening.