Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Verwarrende oneindigheden


In Column, door Ionica

“Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden.” Dat is zo’n beetje het motto van John Greens prachtige Een weeffout in onze sterren. In het boek concludeert de 16-jarige Hazel uit deze bewering dat er meer (reële) getallen tussen 0 en 2 liggen dan tussen 0 en 1. Maar die twee oneindigheden zijn juist precies even groot! Green liet dit zijn hoofdpersoon bewust verkeerd doen. Hij vond het een mooi idee dat pubers uit gecompliceerde wiskunde onjuiste conclusies trekken en dan toch iets aan hun eigen redenering hebben.


Goede titel voor een boek wel

Oneindig is ook één van de moeilijkste begrippen in de wiskunde. De metafoor van Hilberts Hotel (genoemd naar wiskundige David Hilbert) laat zien hoe raar oneindig zich gedraagt. Hilberts Hotel heeft een oneindig aantal kamers. Die kamers zijn zoals gebruikelijk in een hotel genummerd: 1, 2, 3, enzovoorts. Het hotel is vol, alle kamers zijn bezet. De logische conclusie lijkt dat er geen enkele gast meer bij past.

Dan meldt zich een wanhopige reiziger bij de balie, is er echt geen kamer meer vrij? De receptionist denkt even na en knikt dan enthousiast. Via de intercom vraagt hij alle gasten om één kamer op te schuiven: de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoorts. Daarna is kamer 1 vrij voor de reiziger en heeft nog steeds elke gast een kamer. Deze oplossing werkt voor elk eindig aantal gasten dat zich meldt aan de balie. Dat is behoorlijk tegenintuïtief: het hotel is vol, maar tegelijkertijd is er altijd plaats voor een willekeurig aantal nieuwe gasten.

En het wordt nog gekker! Een bus van InfinityTravels brengt een (zeer lange) bus met oneindig veel reizigers naar het hotel. Nu zal de receptionist toch zeker moeten zeggen dat er geen plaats is? Maar nee, ook hierop verzint hij een list: hij stuurt alle gasten naar de kamer met het dubbele van hun kamernummer. De gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 4, die in kamer 3 naar kamer 6, enzovoorts. Dan komen alle kamers met een oneven nummer vrij en kunnen er in een vol hotel dus toch nog oneindig veel gasten bij. (Nu maar hopen dat er ook oneindig veel kamermeisjes zijn.)

Dan komt InfinityTravels na een speciale aanbieding met oneindig veel bussen met daarin elk oneindig veel passagiers. De receptionist kan op dezelfde manier als net oneindig veel kamers leegmaken, maar als hij dan begint met bus 1 in te laden, dan komen de passagiers in de volgende bussen nooit aan de beurt. Maar ook nu verzint de receptionist iets slims: hij begint met passagier 1 van bus 1, daarna mag passagier 1 van bus 2 komen, dan passagier 2 van bus 1 en zo zigzagt hij door alle passagiers in alle bussen en krijgt iedereen een kamer.


Klik op het plaatje voor een grotere versie

Schema voor het uitladen van de buspassagiers


Het lijkt alsof er altijd plaats is in Hilberts Hotel en toch is er een ander soort oneindig die er níet inpast. Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Maar dat is iets voor een volgende column.

21 reacties op “Verwarrende oneindigheden”

  1. Bart Meijer:

    Zou ik de enige zijn die aan heel veel bedwantsen moet denken? En zouden ze daar dan ooit weer vanaf komen? Kriebels!

  2. Harm:

    Je kunt dus beter voorin in de bus zitten, want anders moet je eindeloos (nou theoretisch niet, maar praktisch wél!) wachten...

  3. Dolf:

    Ik dacht altijd dat de oplossing van het laatste probleem was om alle gasten te laten verhuizen naar hun kamernummer gelijk aan 2 tot de macht huidige kamernummer en dan de vrijgekomen kamers op te vullen volgens priemgetallen waarbij dan de 1e bus de 3-vouden neemt, 2e bus 5-vouden, enz. voor zover nog niet bezet.

  4. Count Iblis:

    Uiteindelijk kun je toch maar met eindig veel symbolen een eindig aantal manipulaties uitvoeren. Er is dus veel te zeggen voor ultrafinitism:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism

    Mijn favoriete argument is als volgt. In theorie is het mogelijk om met een supergrote computer de hele wereld inclusief wiskundigen te simuleren. Deze wiskundigen kunnen dan dan praten over oneindigheden, overaftelbare verzamelingen zoals R, en dat allemaal toepassen op hun wereld.

    Maar uiteidelijk is de wereld waarin zij leven digitaal en kan helemaal in termen van eindige bitstrings die de toestand van de computer definieert, worden beschreven.

  5. Ionica:

    @dolf: Er is meer dan een oplossing! Bij jouw voorstel kun je alle bussen tegelijk uitladen, maar is het minder makkelijk om in één keer te zeggen welke passagier welke kamer krijgt.

    @count iblis: hoe weten we dat we niet nu al in zo'n simulatie zitten? ;-)

  6. bjorn claes:

    Ik reken mezelf ook eerder tot het kamp van het strikt finitisme. Volgens mij heeft het wiskundige begrip oneindigheid meer te maken met tijd dan met hoeveelheid.

    Ik zou ook denken dat een verzameling pas een verzameling is als alle elementen verzameld zijn. Het bergip 'oneindig' maakt dat de verzameling nog niet af is (je kan er oneindig lang mee doorgaan om ze uit te breiden). Alleen het einde van de tijd voltooit ze. Alleen dan kan er niet meer 'nog eentje bij'. Ik zie oneindigheid liever als eindigheid in een aan tijd gebonden uitbreiding.

    Klinkt dat eigenlijk onnozel?

  7. Nico:

    Het schema met de oneindige rij bussen houdt geen rekening met de gasten die zich al in het hotel bevinden. Dat is eenvoudig op te lossen door boven "bus 1" het hotel (ofwel "bus 0") te plaatsen, en deze zo in de procedure op te nemen.

    Je kunt ook aan het schema zien, dat er in het hotel eerst 1 plaats moet worden vrijgemaakt, vervolgens 2 plaatsen, dan 3, 4, 5, enz. Gast 1 moet dus verhuizen naar kamer 2, gast 2 naar kamer 5, 3 naar 9, 4 naar 14, 5 naar 20, enz.
    Dat voldoet aan de formule k(n) = (n+1)(n+2)/2-1.

  8. Arno van Asseldonk:

    @bjorn claes: Het wiskundige begrip oneindigheid staat volkomen los van het tijdsbegrip. Als we het oneindige als iets voltooids beschouwen, dus bijvoorbeeld een oneindige verzameling (bijvoorbeeld de natuurlijke, gehele, rationale of reële getallen), spreken we van het actueel oneindige. Als we het oneindige als een proces beschouwen, dus bijvoorbeeld het naar believen voortzetten van een rij getallen, spreken we van het potentieel oneindige. Aristoteles beschouwde het potentieel oneindige als het einig mogelijke oneindigheidsbegrip.
    Een verzameling V is oneindig als er een 1-op-1 relatie tussen V en een deelverzameling van V bestaat. Nemen we voor V de verzameling natuurlijke getallen en nemen we voor W de verzameling natuurlijke getallen die kwadraten zijn, dan blijkt dat bij ieder kwadraat een natuurlijk getal hoort en dat omgekeerd bij ieder natuurlijk getal een kwadraat hoort, dus er is een 1-op-1 relatie tussen de verzameling natuurlijke getallen en de verzameling natuurlijke getallen die kwadraten zijn. Beide verzamelingen hebben hetzelfde (oneindige) aantal elementen, dus ze zijn gelijkmachtig.
    Omdat er een 1-op-1 relatie tussen de verzameling natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen en de rationale getallen mogelijk is, zijn de verzameling van de gehele getallen en de rationale getallen gelijkmachtig met de verzameling natuurlijke getallen. De verzameling van de gehele getallen en de rationale getallen worden daarom aftelbaar oneindige verzamelingen genoemd. De verzameling reële getallen is overaftelbaar oneindig omdat er geen 1-op-1 relatie tussen de verzameling natuurlijke getallen en de verzameling van de reële getallen mogelijk is. De verzameling van de reële getallen is een oneindige verzameling die nog meer elementen bevat dan de verzameling natuurlijke getallen. Er bestaan dus oneindige verzamelingen die een verschillend aantal elementen kunnen hebben.

  9. Lieven:

    @Count Iblis

    Dat is in zekere zin een variante van de Löwenheim–Skolem stelling. Elke theorie in first order logic heeft een aftelbaar model.

    http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem

  10. Lisette:

    Hoi Ionica,

    Ik was bij de lezing met John, dat was zelfs voor iemand die absoluut geen wiskundeknobbel heeft super interessant! Verder laat ik de discussie die hierboven losbarst, met termen waar ik niks mee kan, omdat ik niks weet over wiskunde, maar lekker zijn gang gaan. Wilde je in ieder geval een vet compliment geven voor je leuke presentatie en deze leuke column! :)

  11. bjorn claes:

    @Arno van Asseldonk: Een oprecht dankjewel voor je heldere toelichting. Toch blijf ik met een aantal vragen zitten. Ik begrijp met jouw uitleg de manier waarop wiskundigen met oneindig omspringen. Maar dat zegt volgens mij weinig over de definitie ervan.

    Ik begrijp dat je met met de "grotere oneindige" verzameling van reële getallen t.o.v. de "minder grote oneindige" verzameling van de gehele getallen verwijst naar de transfiniete kardinaalgetallen, die op zichzelf ook weer leiden naar een oneindigheid... Schijnbaar begint het daar allemaal wat te ontsporen, want op een bepaald moment (wanneer niemand er zich nog een voorstelling bij kan vormen?) spijkert men de theorie aan de achterkant dicht met een axioma (begrenzing van grootte).

    Het lijkt me op 't eerste zicht weinig elegant om iets dat bij aanvang aanwezig was – het 'probleem' van oneindigheid (?) – na het indexeren van de verschillende groottes van oneindigheden, waarbij die index zelf oneindig dreigt te worden, te zeggen dat die volledige index de grootst mogelijke is. Die grootst mogelijke verzameling – de oneindig grote verzameling van alle oneindige verzamelingen – is dan geen verzameling meer. Men zegt: "laten we nu maar aannemen dat het hier stopt".

    Soms heb ik de indruk dat het begrip oneindigheid bij wiskundigen haast religieuze proporties aanneemt; als een handigheid om niet over bepaalde grenzen te moeten nadenken, maar tegelijk als een probleem dat op zichzelf steunt om zich te kunnen bewijzen.

    Ik ben niet wiskundig genoeg aangelegd om zelf de denkfouten in mijn reactie te zien; en ik neem aan dat die er wel zullen zijn. Wat dat betreft ben ik gewoon, zoals Ionica het zegt, een puber. Overjaars, maar toch een puber in de wiskunde. Ik hoop dat iemand me hier op weg helpt naar een beter begrijpen.

  12. Ionica:

    @Lisette: wat ontzettend tof om te horen!

    @Bjorn: dat van die puber zei John Green, ik citeerde hem alleen! Ik denk eigenlijk dat iedereen die diep nadenkt over oneindigheid moet concluderen dat hij het niet echt begrijpt. Ik kan prima leven met oneindigheid, zolang ik niet aan de echte wereld denk.

  13. ikke:

    ik kan eigenlijk niet begrijpen, waarom de reële getallen overaftelbaar oneindig zijn, want als je de reële getallen tussen 0 en 1 als een decimale voorstelling ziet, waarbij ieder getal het omgekeerde van een natuurlijk getal is, gedeeld door het aantal decimalen van het desbetreffende natuurlijke getal, dan kun je toch de reële getallen 1-op-1 met de natuurlijke getallen plaatsen? bijvoorbeeld:
    1-0,1
    2-0,2
    3-0,3 en
    103845644- 0,446548301
    hiermee heb je toch alle reële getallen tussen 0 en 1 in 1-op-1 gezet met de natuurlijke getallen, zelfs de 'oneindige' getallen zoals pi-3 e.d. komen hierin voor, alleen word3en de bijbehorende natuurlijke getallen dan weer 'oneindig' groot. en als je dit dan in het wikipediaanse (niet gegeneraliseerde) diagonaalbewijs zet, kom je toch op een soort hotel uit, waar je bij het diagonaalgetal met N decimalen je een getal groter dan N nodig hebt die toch wel in het hotel past?
    zou iemand me kunnen zeggen wat hier niet aan klopt, en als het wel klopt ervoor kunnen zorgen dat ik ook nog iets te doen heb als ik ga studeren (waarvan ik geen idee heb hoe dat is)

  14. Arno van Asseldonk:

    @ikke: Er zijn verschillende manieren om met behulp van het zogenaamde diagonaalargument van Cantor aan te tonen dat de verzameling reële getallen overaftelbaar oneindig is. Hieronder geef ik zo'n mogelijkheid.
    Te bewijzen: de verzameling reële getallen is overaftelbaar oneindig
    Bewijs (uit het ongerijmde): stel de verzameling reële getallen is aftelbaar oneindig, waarbij een 1-op-1 relatie tussen de reële getallen tussen 0 en 1 en de verzameling natuurlijke getallen mogelijk is. Stel dat we de reële getallen tussen 0 en 1 onder elkaar zetten. We construeren nu een getal tussen 0 en 1 waarbij de n-de decimaal gelijk is aan de n-de decimaal van het n-de getal uit de lijst. Vervolgens wordt een decimaal met de waarde 9 gewijzigd in 0, en een decimaal met de waarde 0 t/m 8 gewijzigd in de daaropvolgende waarde. Van het getal wat we nu hebben wijkt de n-de decimaal af van de n-de decimaal van het n-de getal uit de lijst. Omdat n alle natuurlijke getallen doorloopt hebben we dus een getal tussen 0 en 1 gekregen waaraan we geen natuurlijk getal kunnen toekennen. Er is dus geen 1-op-1 relatie tussen de reële getallen tussen 0 en 1 en de verzameling natuurlijke getallen mogelijk, dus de verzameling reële getallen is overaftelbaar oneindig, wat te bewijzen was.

  15. Count Iblis:

    @Ionica, haha, in zekere zin zitten we in een simulatie, want wat we kunnen ervaren is bepaald door wat de hersenen doen, maar dat is altijd equivalent met de output van een computerprogramma wat de processen in de hersenen uitrekent.

    @Lieven: Inderdaad, er is een minder technische uitleg hier:

    http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/low-skol.htm

    Er bestaan ook "computable numbers", dat is de deelverzameling van alle reeële getallen die willekeurig dicht benadert kunnen worden door een algoritme, en die verzameling is wel aftelbaar, zie hier:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

  16. Matthijs:

    @Ionica: wat voor mij altijd moeilijk te accepteren is geweest, is dat het intuitieve begrip 'even groot' met het wiskundige begrip 'gelijke kardinaliteit' overeenkomt. Waarom vind jij dat die twee begrippen overeenkomen?

    @ikke: wat je over het hoofd ziet, is dat er reele getallen met oneindig veel decimalen zijn. Bijvoorbeeld 1/3=0,33333... Dat getal kun je niet volgens jouw methode

    Je hebt wel gelijk dat wat jij zegt een bewijs is dat de reele getallen met *eindig* veel decimalen 1-op-1 op de natuurlijke getallen te plaatsen zijn.

  17. ikke:

    @Matthijs: ik had dat dus niet over het hoofd gezien, maar ik dacht alleen, dat als je een ONEINDIGE lijst van getallen maakt, je ook de getallen met Oneindig veel decimalen krijgt, en dat als je op mijn manier een lijst maakt, je op eenzelfde manier kunt bewijzen dat je niet alle natuurlijke getallen in een lijst kunt plaatsen, ervan uitgaande dat de oneindige gehele getallen groter dan nul ook natuurlijk waren. dus als dat niet zo is, heb je inderdaad gelijk dat het onmogelijk is.
    maar als de oneindige getallen groter dan nul geen natuurlijke getallen zijn, hoe heten deze dan wel, en waarom zijn deze niet natuurlijk?

  18. ikke:

    wat ik eigenlijk wilde zeggen was dat het gela 0,3333333..... wel voorkomt in mijn lijst, en wel op de ........333333333e plaats. en mijn vraag was of .......33333333 een natuurlijk getal was of iets anders

  19. Count Iblis:

    ikke,

    om dat soort getallen goed te definieren moet je wat werk doen. Een voorbeeld van zulke getallen zijn P-adische getallen:

    http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number

    "10-adic numbers use a similar non-terminating expansion, but with a different concept of "closeness" called a metric. Whereas two decimal expansions are close to one another if their difference is a large negative power of 10, two 10-adic expansions are close if their difference is a large positive power of 10. Thus 3333 and 4333, which differ by 10^3, are close in the 10-adic metric, and 33333333 and 43333333 are even closer, differing by 10^7."

  20. Simon:

    Wiskunde heb ik alleen op de HBS gehad en dat is al heel lang geleden, maar misschien kan iemand mij helpen met het volgende:
    1. Ik kies een willekeurig punt op een tijdslijn. Ik ga uit van jaren en niet van getallen op zich, want dan kun je altijd kleinere getallen bedenken tussen twee punten.
    2. Wat zit er rechts van de lijn? Ik neem aan een oneindig aantal jaren. Wat zit er links van de lijn? De afstand van nul tot aan dit punt. Hoeveel jaren zitten daar in? Als ik een willekeurig punt heb gekozen zal de kans oneindig groot zijn dat dit aantal een grootte heeft die door geen enkele notatiewijze weer te geven is, maar het blijft gewoon een getal, dus het lijkt of er na een pseudo oneindigheid geeindigd wordt met een vast getal.
    Dit lijkt me een vreemd soort oneindigheid, die feitelijk geen oneindigheid is, maar ook niet benoemd kan worden.

    Gaarne commentaar.

  21. ireland landscape:

    ireland landscape

    Wiskundemeisjes » Blog Archive » Verwarrende oneindigheden

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.