Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

196 of, o 691


In Column, door Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

“Mooie zeden in Ede, zei oom.” Als kind bladerde ik uren in mijn moeders exemplaar van Battus’ Opperlandse taal&letterkunde. Hele stukken leerde ik uit mijn hoofd, waaronder die klassieke omkeerzin. Prachtig vond ik palindromen als levensnevel, moorddroom of nepmarsrampen.

Spelen met letters vind ik nog steeds leuk, maar minstens zo graag speel ik met cijfers. Ook daar heb je mooie palindromen. Een fijn voorbeeld is het priemgetal 11933316181512171330203317121518161333911 (dit getal is alleen te delen door één en zichzelf). Als je van dit getal steeds de eerste en laatste twee cijfers weghaalt, dan krijg je een rijtje met allemaal palindroompriemen. Het eindigt met 2, het enige even priemgetal. Ook aardig is 1030301, de derde macht van 101 (dat zelf een omkeerpriem is).

We weten nog een heleboel niet over symmys in de getallen. Bestaan er bijvoorbeeld oneindig veel palindroompriemen? Hoe groter de getallen, hoe schaarser de palindromen. Tussen de 100 en 999 is één op de tien getallen een palindroom, want bij elke twee begincijfers geeft één van de tien mogelijke eindcijfers een palindroom. Tussen 100.000 en 999.999 is de score nog maar één op de duizend. Bij elke twee cijfers die erbij komen, neemt het percentage palindromen met een factor tien af. Ook priemgetallen zijn steeds zeldzamer in de hogere regionen. Niemand weet of er desondanks toch oneindig veel palindroompriemen zijn.



Nog veel intrigerender is het 196-probleem. Je kunt palindromen soms maken uit gewone getallen. Neem een getal, keer het om en tel het op bij wat je had. Herhaal dit tot je een palindroom krijgt. Als je begint met 32, dan krijg je 32+23 =55 en ben je in één stap klaar. Begin je met 39, dan ga je via 39+93 = 132 naar 132+231 = 363. Als je met een getal onder de honderd begint, dan eindig je altijd bij een palindroom. Al kan het best even duren, vanaf 89 moet je maar liefst 24 stappen maken voordat je eindelijk bij 8813200023188 komt.

Kom je uiteindelijk altijd uit bij een palindroom? Wiskundigen vermoeden dat er getallen zijn waarbij het niet lukt. Het kleinste voorbeeld is 196 (vandaar dat dit het 196-probleem heet). Meer dan een biljoen stappen zijn er al doorgerekend en er verschijnt maar geen palindroom. Het is moeilijk om te bewijzen is dat er nóóit een palindroom komt, want het zou altijd kunnen dat bij een volgende stap ineens een mooie symmetrie tevoorschijn komt. De kans daarop is natuurlijk wel steeds kleiner, omdat in de grote getallen minder en minder palindromen voorkomen. Er zijn meer getallen zoals 196 waarvan we niet weten of ze op een palindroom uitkomen. De slimmeriken hebben vast al geraden dat 691 ook een probleemgeval is. Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen. En daarboven nog veel meer.

Levert een oplossing van dit 196-probleem ook maar iets op? Krijgen we er snellere computers door? Veiligere auto’s? Nog meer welvaart? Waarschijnlijk niet. Maar wie net als ik van Opperlans houdt, begrijpt dat het daar helemaal niet om gaat bij dit soort problemen.

11 reacties op “196 of, o 691”

  1. Arno van Asseldonk:

    Geweldig filmpje. Wist je trouwens dat Weird Al Yancovic alleen maar artiesten parodieert na ze eerst om hun toestemming daarvoor te hebben gevraagd?

  2. Maurice:

    'Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen': dus een oneven aantal van deze getallen is zelf een palindroom...

  3. Maurice:

    ‘Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen’: dus een oneven aantal van deze getallen is zelf een palindroom…

  4. Jos Janssen:

    Wat is een omkeerpriem? Geen priemgetal in elk geval, want 101 tot de derde macht is deelbaar door 101.

    ingevuld in google, bleek er maar 1 plek op internet te bestaan waar dit woord voorkwam. Dit artikel!

  5. Jos Janssen:

    Soms is goed lezen al voldoende. Mijn vraag is beantwoord. Een omkeerpriem is dus een palingdroompriem. En het gaat niet om het getal 101 tot de derde macht, maar om het getal 101 zelf.

  6. Ionica:

    @Arno: Wist ik niet, sympathiek van hem.

    @Maurice: Dat dacht ik ook even, maar het zijn zes paren en 790. Als je op een nul eindigt, hoeft je omkering niet op de lijst te staan.

    @Jos: Goed gezien, ik wilde niet steeds dezelfde woorden gebruiken...

  7. wildplasser:

    Ik schiet altijd in een reflex als bij cijferpuzzels impliciet het decimale stelsel wordt verondersteld.

    Maar teneinde mijn woede om te buigen een nieuw probleem: zijn er getallen die in *ieder* getalstelsel een palindroom vormen? (met *ieder* := kleiner dan het getal zelf, of een andere gezonde limiet.) Volgens mij zijn die er niet.

  8. wildplasser:

    Toevoeging: nou ja, 3 dan, maar die is bijna triviaal ...

  9. Ionica:

    @Wildplasser: Ik wilde eigenlijk ook iets schrijven over andere getalstelsels, maar daar was te weinig ruimte voor (zeker omdat je voor een algemeen publiek eerst iets meer over zo'n stelsel moet uitleggen). Erg aardig is de reeks getallen die in geen enkel getalstelsel een palindroom zijn (behalve in de triviale gevallen) http://oeis.org/A016038

  10. wildplasser:

    Dat 196-probleem is trouwens heel leuk in het tweetallige stelsel. Bij het getal 35 (decimaal) 100011 (binair) ontstaat er een oscillatie in de "carry" structuur, met een cycluslengte van vier. Ik heb niet het idee dat dit ooit gaat veranderen, maar een wiskundig bewijs is dat natuurlijk niet. Onderstaande fragment is misschien wat lang, maar wel illustratief. Ik heb de vier verschillende carry patronen gelabeld met A,B,C,D.

    [CODE]
    plasser@pisbak:~/src/math$ ./paling 35 2
    Chk=4:[6] 100011
    _____Carry: 1100011
    Chk=6:[7] 1010100
    _____Carry: 0010100
    Chk=5:[7] 1101001
    _____Carry: 11010011
    Chk=7:[8] 10110100
    _____Carry: 00111100 A
    Chk=6:[8] 11100001
    _____Carry: 111000011 B
    Chk=8:[9] 101101000
    _____Carry: 000101100 C
    Chk=7:[9] 110010101
    _____Carry: 1110100011 D
    Chk=9:[10] 1011101000
    _____Carry: 0001111100 A
    Chk=8:[10] 1101000101
    _____Carry: 11110000011 B
    Chk=10:[11] 10111010000
    _____Carry: 00001011100 C
    Chk=9:[11] 11000101101
    _____Carry: 111101000011 D
    Chk=11:[12] 101111010000
    _____Carry: 000011111100 A
    Chk=10:[12] 110010001101
    _____Carry: 1111100000011 B
    Chk=12:[13] 1011110100000
    _____Carry: 0000010111100 C
    Chk=11:[13] 1100001011101
    _____Carry: 11111010000011 D
    Chk=13:[14] 10111110100000
    _____Carry: 00000111111100 A
    Chk=12:[14] 11000100011101
    _____Carry: 111111000000011 B
    Chk=14:[15] 101111101000000
    _____Carry: 000000101111100 C
    Chk=13:[15] 110000010111101
    _____Carry: 1111110100000011 D
    Chk=15:[16] 1011111101000000
    _____Carry: 0000001111111100 A
    Chk=14:[16] 1100001000111101
    _____Carry: 11111110000000011 B
    Chk=16:[17] 10111111010000000
    _____Carry: 00000001011111100 C
    Chk=15:[17] 11000000101111101
    _____Carry: 111111101000000011 D
    [/code]

  11. Jan:

    "Onderweg" (nèt voor de laatste stap) moet een getal verschijnen dat, "doormidden" geknipt en gespiegeld, per kolom alleen maar som-getallen <= 9 oplevert:
    Bijv. 320772; 320772 + 277023 = 597795
    Of: 2734616 + 6164372 = 8898988
    Of heb ik het mis?

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.