Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant. Helaas zat in die column een fout, hieronder de gecorrigeerde versie.

Beste Johan Derksen,

Vorige week was natuurlijk een rare week voor u. Eerst liep u boos weg bij Voetbal International omdat uw collega Wilfred Genee weer eens iets stom zei. Maar de avond daarna zat u toch weer bij hem aan tafel, omdat u vastzit aan uw contract (en omdat u het natuurlijk heel erg leuk vindt om over voetbal te kletsen). U besprak toen de loting van de Champions League. Eerder die dag waren deze kwartfinales geloot: Malaga-Dortmund, Madrid-Galatasaray, PSG-Barcelona en Bayern-Juventus. Uw collega René van der Gijp vatte het als volgt samen: “Dit kan toch bijna niet waar zijn. De Spanjaarden ontlopen elkaar en de Duitsers ontlopen elkaar.” U voegde daar even later aan toe: “Dit riekt naar malversatie. Het is duidelijk dat Bayern en Barcelona verder moeten.”

De loting.

Er zijn verschillende dingen opmerkelijk aan deze loting: “de grote vier” (Madrid, Barcelona, Bayern en Dortmund) ontwijken elkaar en het derde Spaanse team Malaga speelt niet tegen andere Spanjaarden. Dat komt wel heel mooi uit voor een organisatie die zoveel mogelijk kijkers wil trekken. Zelfs Wilfred Genee had door dat dit merkwaardig was en noemde het oplichterij van de eerste orde. U mompelde instemmend: “Je kunt het nooit hardmaken, maar dit is te mooi voor woorden.”

Hardmaken is lastig, maar u kunt wel uitrekenen wat de kans op zo’n loting is. Voetballiefhebber en wiskundige Henk Tijms ging aan de slag (en tipte mij over dit onderwerp). De kans dat het eerste team van de grote vier geen van de andere drie treft is . Voor het tweede team is die kans dan en voor het derde team . Het vierde team zit dan automatisch goed. De totale kans op een loting waarbij de vier teams elkaar ontwijken is daarmee . Nemen we ook nog de kans mee dat Malaga niet tegen een Spaans team uitkomt, dan is de kans op zo’n loting vier op vijfendertig, oftewel ruim elf procent. Dat is niet extreem klein. Zo’n loting is waarschijnlijker dan een tatoeage van Wilfred Genee omringd door hartjes op uw bovenarm.

Nu weet u dus wat de kans is dat de gegeven uitslag valt als de loting eerlijk was. Maar eigenlijk wilt u weten wat de kans is dat deze loting eerlijk is áls deze uitslag valt. Dat is een stuk lastiger. Om dat te berekenen moet u eigenlijk vóór de loting zeggen hoe groot u de kans acht dat er gesjoemeld wordt om te zorgen dat de wedstrijden precies zo uitkomen als hierboven. Na de uitslag kunt u dan de kans uitrekenen dat de loting eerlijk was. Zeg dat u voor de loting inschatte dat er vijfentwintig procent kans was op valsspelen. In dat geval stijgt met de gegeven lotingsuitslag de kans op doorgestoken kaart naar bijna vijfenzeventig procent- volgens u en de wiskunde. De complete berekening past helaas niet in deze brief, maar op deze manier kunt u misschien wel degelijk hardmaken dat de loting te mooi voor woorden is.

Dat de beste moge winnen,

Ionica

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Hallo meisje van de telefoonwinkel,

Vorige week stond ik aan je balie. Mijn telefoon was die dag kapot gevallen en ik wilde zo snel mogelijk een nieuw toestel. Liefst de iPhone 5 die ik al een tijdje op het oog had. Mijn abonnement kon ik opzeggen en ik wilde best naar een andere aanbieder. Dus ik vroeg aan jou wat mijn beste optie was.

Je stelde me heel gericht een aantal vragen. Hoeveel belde ik per maand? Stuurde ik veel sms-jes? Zat ik vaak op internet? Daarna kwam je met een overzicht van allerlei abonnementen van verschillende aanbieders. Het was wat lastig om ze met elkaar te vergelijken, de één had iets meer belminuten, maar bij de ander belde je na tien minuten altijd gratis.

Nog lastiger was het om de prijzen te vergelijken. De aansluitkosten, de eigen bijdrage voor het toestel en de maandprijzen varieerden. Daarnaast liepen er ook nog allerlei verschillende kortingsacties. Het duizelde me van alle bedragen. En toen, meisje van de telefoonwinkel, deed jij iets heel slims. Voor zes verschillende opties rekende jij netjes uit wat ze me alles bij elkaar zouden kosten voor twee jaar. Al die abonnementen hadden immers dezelfde looptijd van twee jaar.

Je nam alle kosten mee: bellen, internet, toestel, nummerbehoud en wat er al niet meer bij hoorde. Na een kwartiertje rekenen concludeerde je welk abonnement voor mij het voordeligste was. Blij met jouw goede service sloot ik dat onmiddellijk af.

Daarna probeerde je me wel nog een verzekering aan te smeren. Je legde uit dat toestellen vaak vallen of gestolen worden. Voor slechts zestien euro per maand kon je me een verzekering aanbieden. Ik bedankte, die verzekering had ik niet nodig. Jij wees vriendelijk naar het kapotte toestel waarmee ik de winkel was binnengekomen. Ik wierp tegen dat ik dat toestel al meer dan drie jaar had; en dat de totale verzekeringspremie in drie jaar hoger was dan de kostprijs van het toestel. Jij gaf je gewonnen.

Tevreden verliet ik de winkel. Wat was ik toch slim, wat had ik een mooi nieuw toestel en dat met zo’n lekker voordelig abonnement. Tot ik ‘s avonds bedacht dat er nog een optie was die je helemaal niet genoemd had Want meisje van de telefoonwinkel, wat zou het kosten als ik het toestel los had gekocht en een sim-only abonnement nam voor bellen en internet? Ik sloeg aan het rekenen en ontdekte dat dit honderden euro’s goedkoper was. Waarom heb je me dat niet verteld? Krijg je soms minder commissie op dit soort abonnementen?

Ach meisje, het is natuurlijk niet jouw schuld. Jij deed gewoon je werk. En ik had niet zo dom moeten zijn om onvoorbereid naar je winkel te komen. Achteraf gezien had ik beter een dagje kunnen wachten en eerst zelf rustig op internet wat abonnementen vergelijken. Ik zit mijn abonnement tandenknarsend uit en over twee jaar zal ik mijn voorwerk beter doen. Reken er maar niet op dat ik nog aan je balie kom.

Tuut, tuut, tuut,

Ionica

Deze column verscheen zaterdag in de Volkskrant.

Beste wethouders van onderwijs van de Nederlandse gemeenten,

Er gaat iets niet helemaal goed met het onderwijsaanbod. In bepaalde regio’s zijn er op meerdere middelbare scholen veel meer aanmeldingen dan plaatsen. Dat probleem speelt breder dan de gewilde gymnasia in Amsterdam: ook op vmbo- en havo-afdelingen, ook in andere regio’s. En dan moet er geloot worden.

Ik was niet echt bekend met het lotingssysteem, maar een collega vertelde me laatst over de schoolkeuze van zijn dochter, en dat verbaasde me nogal.

Hij gaat zijn dochter namelijk niet aanmelden voor de school van haar eerste keus. Het werkt in regio Utrecht als volgt: bij je eerste keus loot je mee. Wie dan wordt uitgeloot, kan bij zijn tweede keus alleen nog terecht als die school niet inmiddels vol zit met kinderen die die school als eerste keus hadden. Daarna zijn er dus al twee plaatsingsrondes voorbij en bestaat de kans dat alle andere leuke scholen ook vol zijn. Dat is erg zuur als je volop open dagen hebt bezocht, doordacht hebt gekozen en je vriendinnen wel ingeloot zijn.

Daarom schrijft mijn collega zijn dochter meteen in voor haar tweede keus: ze heeft daar nu veel kans, maar als ze zich voor haar eerste keus inschrijft en uitgeloot wordt (die kans is groot), kan ze er waarschijnlijk niet meer terecht.

Een systeem waarbij mensen expres hun eerste keus verzwijgen, vindt u dat niet gek? Een lotingssysteem zou toch moeten voldoen aan de eis dat als je eerlijk zegt wat je het liefste wilt, dat je er dan in ieder geval niet op achteruit gaat? Waarom kiest u niet voor een beter systeem?

Ik las deze week in het Parool dat daar nu wel onderzoek naar gedaan wordt. Op de UvA en de VU proberen economen algoritmes van Nobelprijswinnaars Alvin Roth en Lloyd Shapley toe te passen op het Nederlandse lotingsprobleem.

Deze algoritmes zijn koppelprocedures die verschillende aanbod- en afwijsrondes doorlopen. Bijvoorbeeld: stagiairs moeten aan instituten gekoppeld worden, een-op-een. Zowel de instituten als de stagiairs hebben een top-zoveel gemaakt van acceptabele kandidaten dan wel instituten. Vervolgens doet elk instituut een stagiair een aanbod. De crux zit hem hierin: de stagiairs nemen het beste aanbod nog niet definitief aan, maar ze wijzen de slechtere wel af. Die doen vervolgens opnieuw een aanbod aan de volgende stagiair op hun lijst. Enzovoorts. Op het moment dat geen enkel instituut meer afgewezen wordt of geen enkel afgewezen instituut een nieuw aanbod wil doen, accepteren de stagiairs tegelijk elk hun beste aanbod. De instituten die nog geen stagiair hebben, gaan een volgende ronde in.

Roth heeft een soortgelijk maar ingewikkelder koppelalgoritme toegepast op schoolkeuze in New York (wat natuurlijk geen een-op-een-koppeling is). Voordelen: minder leerlingen komen op een school terecht die niet op hun lijstje stond, en strategisch lijstjes maken, zoals mijn collega doet, heeft geen zin.

Of zo’n algoritme inderdaad ook in uw geval werkt, is nog even afwachten, maar houd het in de gaten! Want een betere procedure bedenken dan nu, dat bent u aan uw jeugd verplicht.

Met verwachtingsvolle groeten,
Jeanine

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Beste Tooske, Valerio, Britt en al die andere BN-ers die nog niet meededen aan Wie is de mol,

Na de bloedstollende finale van afgelopen donderdag hopen jullie natuurlijk dat jullie volgend seizoen gevraagd worden voor Wie is de mol. Terecht hoor! Daarom schrijf ik jullie nu maar vast. Het valt me namelijk op dat de kandidaten elk jaar dingen doen die niet zo slim zijn. En dan bedoel ik niet de onhandige acties waardoor een opdracht mislukt, zodat iedereen zich afvraagt of diegene misschien de mol is. Nee, ik bedoel acties die nogal onhandig zijn voor de kandidaat zelf. Daarom hierbij een tip voor een opdracht die vrijwel elk seizoen in één of andere vorm voorbij komt.

Eén kandidaat staat bovenop een enorme toren, wankele brug of ander doodeng hoog bouwwerk. De vraag is of de waaghals naar beneden durft te springen, abseilen, of wat de programmamakers dat jaar weer verzonnen. Een andere kandidaat staat lekker beneden en moet voorspellen of degene bovenaan het durft. Als de gokker het fout heeft, dan wint de ander jokers of iets anders gaafs.

Als jij op die toren staat, moet je bedenken wat de ander denkt dat jij doet. En dát moet je dan niet doen. Tenzij je bedenkt dat de ander bedenkt dat jij bedenkt wat hij bedenkt en dan stiekem de andere optie kiest. Het gevaar van zover doordenken is alleen dat je al snel in een oneindige spiraal belandt en helemaal geen tijd meer hebt om te springen. Hiervoor is er wiskundig gezien een prima oplossing. Gooi een muntje op. Kop is springen. Munt is niet springen. Zo ben je volkomen onvoorspelbaar en heb je zonder zenuwslopend denkwerk vijftig procent kans op de jokers. Een nadeel van deze strategie is trouwens dat hij iets minder goed werkt voor mensen met hoogtevrees.

Dan nog een voorbeeld van een onhandige actie uit een eerder seizoen. Bij deze opdracht stond je als kandidaat tegenover een tegenstander. Je kreeg vragen die je eerder in het programma ook al had beantwoord. Nu moest je kiezen of de ander jouw antwoorden mocht horen. Je kon bij elke vraag liegen, maar dan zei de presentator wel dat je een verkeerd antwoord gaf. Bij drie foute antwoorden mocht je tegenstander lezen in jouw geheime aantekeningenboekje. Je moest je leugens dus strategisch inzetten. Bij een vraag als “Wie is volgens jou de mol?” kon je mooi een verkeerde naam noemen. Daarna wist de ander alleen wie je níet verdacht. Maar de presentator stelde ook vragen waarop maar twee antwoorden mogelijk waren, bijvoorbeeld “Spreekt de mol Spaans?”. Liegen daarop had natuurlijk geen enkele zin. Zodra de ander wist dat je loog, begreep hij ook wat je echte antwoord was. Toch loog destijds een groot deel van de kandidaten bij dit soort tweekeuzevragen. Waren ze hun eigen antwoorden vergeten? Of wilden ze zo de indruk wekken dat ze het spel niet goed begrepen, zodat de tegenstander hen zou onderschatten? Of wilden ze soms de indruk wekken dat ze de indruk wilden wekken enzovoorts?

Verwarde groet,

Ionica