Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Beste Johan Derksen...over eerlijk spelen


In Column, door Ionica

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant. Helaas zat in die column een fout, hieronder de gecorrigeerde versie.

Beste Johan Derksen,

Vorige week was natuurlijk een rare week voor u. Eerst liep u boos weg bij Voetbal International omdat uw collega Wilfred Genee weer eens iets stom zei. Maar de avond daarna zat u toch weer bij hem aan tafel, omdat u vastzit aan uw contract (en omdat u het natuurlijk heel erg leuk vindt om over voetbal te kletsen). U besprak toen de loting van de Champions League. Eerder die dag waren deze kwartfinales geloot: Malaga-Dortmund, Madrid-Galatasaray, PSG-Barcelona en Bayern-Juventus. Uw collega René van der Gijp vatte het als volgt samen: “Dit kan toch bijna niet waar zijn. De Spanjaarden ontlopen elkaar en de Duitsers ontlopen elkaar.” U voegde daar even later aan toe: “Dit riekt naar malversatie. Het is duidelijk dat Bayern en Barcelona verder moeten.”


Loting-CL-kwartfinales-468
De loting.

Er zijn verschillende dingen opmerkelijk aan deze loting: “de grote vier” (Madrid, Barcelona, Bayern en Dortmund) ontwijken elkaar en het derde Spaanse team Malaga speelt niet tegen andere Spanjaarden. Dat komt wel heel mooi uit voor een organisatie die zoveel mogelijk kijkers wil trekken. Zelfs Wilfred Genee had door dat dit merkwaardig was en noemde het oplichterij van de eerste orde. U mompelde instemmend: “Je kunt het nooit hardmaken, maar dit is te mooi voor woorden.”

Hardmaken is lastig, maar u kunt wel uitrekenen wat de kans op zo’n loting is. Voetballiefhebber en wiskundige Henk Tijms ging aan de slag (en tipte mij over dit onderwerp). De kans dat het eerste team van de grote vier geen van de andere drie treft is \(\). Voor het tweede team is die kans dan \(\) en voor het derde team \(\). Het vierde team zit dan automatisch goed. De totale kans op een loting waarbij de vier teams elkaar ontwijken is daarmee \(\). Nemen we ook nog de kans mee dat Malaga niet tegen een Spaans team uitkomt, dan is de kans op zo’n loting vier op vijfendertig, oftewel ruim elf procent. Dat is niet extreem klein. Zo’n loting is waarschijnlijker dan een tatoeage van Wilfred Genee omringd door hartjes op uw bovenarm.

Nu weet u dus wat de kans is dat de gegeven uitslag valt als de loting eerlijk was. Maar eigenlijk wilt u weten wat de kans is dat deze loting eerlijk is áls deze uitslag valt. Dat is een stuk lastiger. Om dat te berekenen moet u eigenlijk vóór de loting zeggen hoe groot u de kans acht dat er gesjoemeld wordt om te zorgen dat de wedstrijden precies zo uitkomen als hierboven. Na de uitslag kunt u dan de kans uitrekenen dat de loting eerlijk was. Zeg dat u voor de loting inschatte dat er vijfentwintig procent kans was op valsspelen. In dat geval stijgt met de gegeven lotingsuitslag de kans op doorgestoken kaart naar bijna vijfenzeventig procent- volgens u en de wiskunde. De complete berekening past helaas niet in deze brief, maar op deze manier kunt u misschien wel degelijk hardmaken dat de loting te mooi voor woorden is.

Dat de beste moge winnen,

Ionica

8 reacties op “Beste Johan Derksen...over eerlijk spelen”

  1. Casper:

    Bovenstaande Bayesiaanse kansrekening klopt als dit de enige loting van het seizoen is. De UEFA loot echter wat af: voorrondes, groepswedstrijden, achtste finales, kwartfinales, halve finales, (voor de finale hoef je niet te loten) en dat voor de Europa League èn de Champions League. Met gemak meer dan 9 lotingen per jaar dus. Dat daar een loting tussenzit die een indeling geeft die bij het toeval maar eens in de 9x voorkomt voorkomt, lijkt me dermate onopvallend dat zelfs Gijp et al. het er niet over hoeven te hebben.

    Mooi hoe deze brief aan het eind - waarschijnlijk onbedoeld - het probleem van de subjectieve Bayesiaanse methode laat zien. "Na de uitslag kunt u dan de kans uitrekenen dat de loting eerlijk was." impliceert dat de a priori inschatting van 25% ergens op sloeg. Wie weet is die kans wel veel kleiner - zeg 1% - dan komt de kans na het observeren van de huidige loting helemaal niet eens in de buurt van de 75% (mijn gok, zonder het uit te rekenen, zou tegen de 5% zijn). En wat is de juiste a priori schatting? Daar is zonder extra informatie niks over te zeggen...

  2. Theo Bakker:

    Gelukkig heb je je fout eruitgehaald. Wat de UEFA (en de FIFA) vaak doen zijn 'gestuurde' lotingen om bepaalde wedstrijden te voorkomen, of geplaatste ploegen niet aan elkaar te koppelen. In dit geval zou dit ook gebeurd kunnen zijn, maar volgens mij was dit een eerlijke loting. Een kans van 8 op 35 is best wel groot, dus de opmerkingen van Derksen en Genee lijken mij gelul op voetbalniveau.

  3. Ed van Berkum:

    Maar wat te zeggen van de volgende redenering. Nummeren we de grote vier met 1,2,3 en 4 en de rest 5 t/m 8 dan zijn er dus 6 "verkeerde" wedstrijden: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4 en 3-4.

    Op een totaal 7 x 4 mogelijke duels is dat dus 6/28 verkeerd. Maar dan zijn we er nog niet. Want die "fouten" zijn ongelijk verdeeld over de 7 mogelijke kwartfinale-lotingen. Ik schrijf ze even uit (ontleend aan de denksporten)

    A 1 - 8 2 - 7 3 - 6 4 - 5
    B 8 - 6 7 - 5 1 - 4 2 - 3
    C 4 - 8 5 - 3 6 - 2 7 - 1
    D 8 - 5 6 - 4 7 - 3 1 - 2
    E 3 - 8 4 - 2 5 - 1 6 - 7
    F 2 - 8 3 - 1 4 - 7 5 - 6
    G 8 - 7 1 - 6 2 - 5 3 - 4

    Je ziet dat de enige "goede" lotingen A en C zijn. Dat is 2/7 = 10/35.

    Zit ook wat in, toch?

  4. Hendrik:

    Wat goed dit. Ik ga het gelijk doorsturen aan mijn voetbalvrienden!

  5. H de Labije:

    Andere redenering voor vraagstuk van de voetbalpoule zou kunnen zijn:

    Er zitten 8 ploegen in de pot. De eerste ploeg die wordt getrokken maakt niet uit. De tweede ploeg moet 1 van de 4 “andere teams” zijn, met een kans van 4/7. De derde ploeg die wordt getrokken maakt weer niet uit, de vierde moet van de andere soort zijn, kans daar is 3/5. Vijfde ploeg die wordt getrokken maakt weer niet uit, de zesde moet weer van de andere soort zijn: kans daarop is 2/3. Totaal 4/7 x 3/5 x 2/3 = 24/105 = 8/35.

  6. Ed van Berkum:

    Ik moet toegeven dat bovenstaand verhaal logisch in elkaar zit.
    Dan zijn er vermoedelijk meer mogelijkheden dan de 7 door mij beschreven (waarbij ik overigens 1-8 als hetzelfde beschouw als 8-1). Wat ik in feite weergeef is een halve competitie tusen 8 clubs, waarbij elke speelronde als een kwartfinale kan worden beschouwd. Maar als je een beetje handig bent met faculteiten, dan komen er waarschijnlijk meer mogelijkheden uitrollen.

  7. Casper:

    @Theo:

    De UEFA doet inderdaad aan twee soorten gestuurde loting.

    In de vroege (voor)rondes van de competitie wordt gewerkt met "geplaatste" en "ongeplaatste" teams. Elk team krijgt een bepaalde score op basis van prestaties van het team (en andere teams uit dat land) gedurende de afgelopen vijf jaar. De beste teams kunnen elkaar zo niet loten: je wilt een wedstrijd als Barcelona - Chelsea niet al in de voorrondes hebben, maar pas wanneer er veel kijker zijn.

    De tweede soort loting is dat, ook alleen in de eerdere rondes, teams uit hetzelfde land niet tegen elkaar mogen spelen. Vanaf de kwartfinales (en daar ging de column) over, is de loting helemaal "eerlijk" (al zijn de andere lotingen ook eerlijk: de spelregels van de loting zijn vantevoren bekend).

  8. Ed:

    Het is me eindelijk gelukt de 105 mogelijke kwartfinales uit te schrijven. Hiervan zijn er 24 waarin de 4 favorieten elkaar ontlopen (is inderdaad 8/35). Mogen de Spaanse clubs ook niet tegen elkaar, dan vallen er van de 24 nog eens 13 af. Blijven er over 11. De 2 Duitse teams mochten elkaar als favorieten toch al niet ontmoeten.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.