Wiskundemeisjes

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Als je wil weten hoe de decimalen van het getal pi (de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, ongeveer gelijk aan 3,14159265…) er uitzien, hoef je tegenwoordig alleen maar je rekenmachine te pakken of je computer aan te zetten. Dat was in de zeventiende eeuw wel anders. Ook toen was men geïnteresseerd in pi.

Ludolph van Ceulen

Het rekenwerk in die tijd lijkt mij geen pretje, maar scherm- en rekenmeester Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) dacht daar heel anders over. Hij berekende pi tot maar liefst 35 decimalen. Zijn methode, naar een idee van Archimedes, komt neer op het volgende principe. Een cirkel met diameter 1 heeft een omtrek van lengte pi. Je kunt nooit een cirkel zó precies tekenen en meten dat je op die manier pi redelijk kunt benaderen.

Teken nu in een cirkel met diameter 1 een vierkant dat nog nèt in de cirkel past, en teken om die cirkel heen een vierkant zodat de cirkel precies aan de vier zijden raakt. Dan zit de omtrek van de cirkel tussen de omtrek van het kleine en die van het grote vierkant in. En omtrekken van vierkanten kun je makkelijk uitrekenen.

Bij een cirkel met diameter 1 vind je zo de volgende benadering van pi: 2√2 < pi < 4. Het getal 2√2 is ongeveer 2.82842712, dus dit geeft geen goede benadering. Maar als je in plaats van vierkanten regelmatige veelhoeken met veel meer hoeken in en om de cirkel past, en daar de omtrekken van uitrekent, krijg je steeds betere onder- en bovengrenzen voor pi.

Archimedes gebruikte regelmatige 96-hoeken en vond dat 3.140909654 < pi < 3,142826575. Van Ceulen ging veel verder en gebruikte regelmatige 32.212.254.720-hoeken. Daarmee vond hij 20 decimalen. Hij moet een veelhoek met nog meer hoeken gebruikt hebben voor zijn 35 decimalen, maar we weten niet welke. Een hele prestatie, als je bedenkt dat hij daarvoor talloze wortels moest trekken, met ook extreem veel decimalen om nauwkeurig genoeg verder te kunnen rekenen, en dat met de hand…

Met zijn benaderingen kon Van Ceulen en passant een aantal geleerde tijdgenoten die claimden oplossingen van de cirkelkwadratuur gevonden te hebben, op hun nummer zetten. De vraag daarbij is om, gegeven een cirkel van een bepaalde grootte, een vierkant te construeren dat dezelfde oppervlakte heeft. Dat is een onmogelijke opdracht, en de crux zit in het woord “construeren”: je mag alleen een passer en een latje (een liniaal zonder schaalverdeling) gebruiken. In 1882 werd definitief bewezen dat het probleem onoplosbaar is, maar in de zeventiende eeuw wist men dat nog niet zeker. Van Ceulen kon met zijn benaderingen van pi wel laten zien dat de geclaimde oplossingen allemaal fout waren!

Hij was erg trots op zijn prestatie, en daarom kwamen de 35 decimalen op zijn grafsteen terecht. Dat was de eerste keer dat al die decimalen gepubliceerd werden. In de Leidse Pieterskerk is een replica te zien. Dit jaar is Van Ceulen vierhonderd jaar dood, dus laten we op pi-dag (14 maart, naar 3,14) maar eens aan zijn gereken denken!

Edit: neem ook eens een kijkje op www.ludolphvanceulen.nl.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Bill Bryson beschrijft in één van zijn briljante reisverhalen hoe een typisch bezoek aan een Franse bakker verloopt. Je vraagt in je beste Frans om een klein brood. De vrouw achter de toonbank staart je koeltjes aan en legt dan een dode bever voor je neer. Als je probeert uit te leggen dat je een brood wilde en geen dode bever, kijkt de vrouw je vol ongeloof aan. Jij, die vervelende toerist, had toch duidelijk een dode bever besteld en nu wil je ineens een stuk brood.

Bryson overdrijft hier natuurlijk, maar iedereen die wel eens nietsvermoedend een bakker in Parijs is binnengestapt herkent een kern van waarheid in dit verhaal. Wiskundigen hebben een eigen (waarschijnlijk sterk aangedikte) anekdote over Franse bakkers.

Ceci n'est pas un castor mort

De Franse wiskundige Henri Poincaré werkte aan het eind van de 19de eeuw aan de Sorbonne in Parijs. Het verhaal gaat dat hij vermoedde dat de bakker in zijn straat de boel belazerde. De bakker verkocht broden van één kilo, maar Poincaré had het idee dat de broden meestal lichter waren. Een jaar lang kocht Poincaré elke dag een brood, legde dat thuis op een weegschaal en noteerde het gewicht. Aan het eind van het jaar tekende hij in een grafiek hoe vaak elk gewicht voorkwam. Het resultaat was een symmetrische grafiek met het hoogste punt bij 950 gram. De meeste broden die hij bakte waren ongeveer 950 gram, sommige wat lichter, andere iets zwaarder. In wiskundige termen: wat Poincaré zag leek sterk op de grafiek van een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram. In lekentermen: de bakker belazerde de boel, verreweg de meeste broden waren lichter dan een kilo.

Een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram

Poincaré ging met zijn bewijsmateriaal naar de politie en de bakker kreeg een waarschuwing. Het volgende jaar kocht Poincaré weer trouw elke dag een brood. Elk brood dat Poincaré in dat tweede jaar kocht was zwaarder dan een kilo.Toch ging hij terug naar de politie om te klagen dat de bakker nog steeds de boel belazerde. Hoe wist hij dat?

Als de bakker eerlijk was gaan bakken, dan zouden de meeste broden ongeveer één kilo wegen, sommige iets meer, andere iets minder. De grafiek van verdeling van de gewichten zou dan symmetrisch zijn met een piek bij één kilo. Maar de grafiek die Poincaré kreeg in dat tweede jaar was helemaal niet symmetrisch, hij begon met een hoge piek bij één kilo en liep daarna schuin af tot zo’n 1100 gram. Het was precies het stuk uit de oude grafiek dat rechts van één kilo lag.

Zo kon Poincaré concluderen dat de bakker nog steeds broden van gemiddeld 950 gram bakte, ook al had de sluwe bakker ervoor gezorgd dat Poincaré zelf altijd een brood van minstens een kilo meekreeg. De andere klanten hadden al die tijd pech en kregen meestal te weinig brood voor hun geld.

Daarom is het handig om iets van wiskunde te weten: je voorkomt dat je belazerd wordt. Aan de andere kant is het misschien beter om je mond te houden. Een brood van 950 gram is nog altijd beter dan een dode bever.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Naast wiskunde doe ik ook graag andere dingen (gelukkig maar, hoor ik jullie bijna denken). Boeken lezen, bijvoorbeeld. Ik was dan ook erg blij toen ik de Oulipo ontdekte: een losse club van schrijvers en wiskundigen in Frankrijk, opgericht in 1960. De Oulipo heeft als doel literatuur te maken die gebaseerd is op precieze beperkingen, soms van wiskundige aard. Oulipo staat voor Ouvroir de littérature potentielle, dat zoiets betekent als: werkplaats voor mogelijke literatuur.

Raymond Queneau

Een van de oprichters van de Oulipo is de schrijver Raymond Queneau (1903 – 1976). Hij heeft een boek geschreven met maar liefst honderdduizendmiljard gedichten erin (Cent Mille Milliards de Poèmes). En dat is niet de honderdduizendmiljard die een kind antwoordt als je vraagt: “en hoeveel geld wil je dan later hebben als je rijk bent?” Nee, het is een echte aanduiding voor een hoeveelheid: honderdduizendmiljard is gelijk aan , een 1 met veertien nullen.

Hoe kreeg Queneau zoveel gedichten in één boek? Nou, hij begon door tien sonnetten te schrijven. Hij zorgde ervoor dat alle tien de sonnetten hetzelfde rijmschema hebben. Maar dat is nog niet alles: de eerste regel van het eerste sonnet rijmt op de eerste regel van het tweede sonnet en op de eerste regel van het derde sonnet, enzovoort. Dus de eerste regels van alle tien de sonnetten rijmen op elkaar. Ook alle tien de tweede regels rijmen op elkaar, enzovoort.

De tien gedichten staan in een boekje, op elke rechterbladzijde één (de achterkanten blijven leeg). De lezer moet de dichtregels van elkaar los knippen, maar ze moeten vast blijven zitten in de band. Het resultaat is dus een boek waarvan elke bladzijde uit veertien horizontale losse flapjes bestaat (want een sonnet bestaat uit veertien regels), met op elk flapje een dichtregel.

Die flapjes kun je onafhankelijk van elkaar ombladeren. Dat betekent dat je bijvoorbeeld regel 1 van het vijfde sonnet, regel 2 van het derde sonnet en regel 3 van het zesde sonnet met elkaar kunt combineren. En de grap is: welke veertien flapjes je ook kiest, je krijgt altijd een sonnet waarvan het rijmschema klopt!

Hoeveel mogelijkheden zijn er om flapjes te kiezen? U voelt het al aankomen. Voor het eerste flapje, met de eerste regel erop, zijn er tien mogelijkheden, want dat kun je kiezen uit alle tien de sonnetten. Ook voor regel 2 zijn er tien mogelijkheden. Hetzelfde geldt voor de flapjes 3 tot en met 14. In totaal krijg je dus
mogelijkheden. Al die mogelijkheden geven verschillende gedichten, al zijn ze soms bijna hetzelfde.

Dat zijn er onvoorstelbaar veel. Stel dat je ruim een minuut nodig hebt voor het lezen van een sonnet. Als je 24 uur per dag zou lezen, elke dag van de week, zou het 200 miljoen jaar duren voor je alle sonnetten uit hebt!

PS: Hier kun je online de regels van de tien sonnetten combineren.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriend Peter kent overal mensen. Of je nu met hem door Usquert of Vlodrop loopt, hij komt altijd wel een bekende tegen. Zelf ontmoette ik Peter vijftien jaar geleden op Koninginnedag. Binnen vijf minuten zat hij zijn tas uit te pakken om me een single van Pulp te laten zien die hij net had gekocht. Pulp was in die tijd mijn lievelingsband en we waren vrijwel gelijk bevriend. Zo gaat het overal waar Peter komt: hij knoopt een praatje aan met een onbekende en weet meestal snel een raakvlak te vinden.

Peter maakt een praatje. Foto: Sebastiaan ter Burg

In zijn boek The tipping point (Het omslagpunt) noemt wetenschapsjournalist Malcolm Gladwell mensen als Peter verbinders. Deze verbinders spelen een belangrijke rol in sociale netwerken. Niet alleen sociologen, ook wiskundigen proberen te begrijpen hoe dat soort netwerken in elkaar zit. Eén vraag is bijvoorbeeld via hoeveel stappen twee willekeurige mensen in zo’n netwerk met elkaar verbonden zijn.

Experimenten wijzen erop dat de meeste mensen hooguit zes handdrukken van elkaar verwijderd zijn. Dat de verbindingen zo kort zijn is precies te danken aan mensen als Peter. Die verbinders hebben kennissen uit allerlei verschillende subculturen, via hen zijn een heleboel mensen in twee stappen met elkaar verbonden.

Verbinders komen ook voor in allerlei andere netwerken. Neem bijvoorbeeld luchthavens: vanaf de meeste vliegvelden vertrekken vliegtuigen naar een beperkt aantal steden. Een paar vliegvelden zijn juist verbonden met extreem veel steden. Slim, want zo zijn een heleboel steden vanaf elke luchthaven met slechts één overstap te bereiken, terwijl het totaal aantal vluchtroutes niet belachelijk groot is.

Amerikaanse vluchtroutes, zoek de verbinders

Maar terug naar mensen: Gladwell geeft in zijn boek een eenvoudige test om te zien of je zelf een verbinder bent. Hij heeft een lijst van 250 willekeurige achternamen gemaakt. Je moet bij elke naam nagaan hoeveel mensen je kent die zo heten (de test werkt waarschijnlijk niet zo goed als je slecht bent in namen). Gladwell deed de test met verschillende groepen. In elke groep zaten een paar mensen die ruim twee keer zoveel mensen kenden als de anderen: verbinders. De meeste mensen kenden ongeveer 30 of 40 mensen met namen uit de lijst persoonlijk. De verbinders haalden makkelijk 100 bekenden uit de lijst.

Een erg leuke test, maar er is een klein probleem, de lijst bestaat uit Amerikaanse namen – ook in de Nederlandse vertaling. Volgens die test zijn er waarschijnlijk maar heel weinig verbinders in Nederland, de meeste Nederlanders kennen nu eenmaal geen Butlers of Snows. Op mijn verzoek toverde Matthijs Brouwer van het Meertens Instituut een lijst van 250 willekeurige namen uit de Nederlandse Familienamendatabank. Hieronder vind je die lijst. Hoeveel mensen ken jij daarvan? Als je twee “Aaltens” kent, dan tel je die voor twee personen. Zelf kom ik tot iets minder dan 40.

Ik heb de test nog niet aan Peter kunnen geven. Hij lift op dit moment met een caravan door Duitsland (projectnaam: trekhaak gezocht). Ongetwijfeld leert hij weer een heleboel mensen kennen.

250 Achternamen

Aalten, Akin, Albers Arango Ramirez, Ardon, Bakker, Balasooriyan, Bastiaans, Beekhuis, Beuving, Blekkink, Blom, Boeren, Boersma, Bosten, Broere, Broerze, Buijs, Buitenhuis, Buitenrust Hettema, Bulduk, Busquet, Caspers, Çetin, Cleef, Cornuit, Correa, De Bruijn, De Bruin, De Graaf, De Jager, De Jong, de Kleuver, de la Fuente Gonzales, De Waal, de Weerd, de Wilde Granada, Demirel, den Adel, den Herder, den Otter, Dootjes, Driessen, Eijsberg, El Ayachi, El-Awadi, Elsthout, Ensink, Faber, Flach, Freijters, Funcke, Gangadin, Geraets, Gerritsen, Gielissen, Gorter, Grooten, Haag, Hansler, Hartveld, Hassan, Hegh, Heijerman, Hendrix, Hermans, Hoek, Hogenhuis, Hol, Holla, Honders, Houtman, Hovestadt, Huizer, Hulshof, Hutjens, Isbouts, Jager, Jagersma, Janosik, Janssen, Jongeneelen, Jongsma, Kamphuis, Karakus, Kariman, Ketting, Klaassens, Klein Klouwenberg, Klerks, Kloosterman, Kluth, Koene, Kolkman, Kooistra, Koopman, Koppers, Kors, Kramer, Kubbenga, Kuyck, Lachman, Lamers, Lavin Garcia, Leemhuis, Leurs, Leutscher, Ligtenberg, Lucassen, Luijten, Maniaga, Mannaerts, Maria, Markes, Marsman, Melters, Michels, Mizab, Moezelaar, Mondt, Monk, Moreno Fortunato, Muntjewerf, Musters, Nauta, Neef, Nelissen, Nieuwenweg, Nolten, Nootebos, Oldenburger, Op de Kamp, Oud, Özgültekin, Peeters, Peters, Pieterse, Pilz, Platje, Pool, Posch, Post, Postma, Reestman, Reinsma, Resoort, Romijn, Roose, Schalken, Schellen, Scheppink, Scholl, Scholten, Schoonderbeek, Schriever, Seen, Sentges, Silva Lizardo, Slabbers, Slikkerveer, Slootweg, Smale, Smeets, Smit, Snellings, Snijder, Špiritović, Steller, Stempher, Steur, Stolz, Stuiver, Swaab, Sweere, Teunisse, Tuna, Uchtmann, van Aalst, Van Alphen, Van Bakel, Van Bladel, Van Bussel, Van Buuren, van Cuijk, van de Burgt, Van De Kamp, van de Kraats, Van de Stadt, Van de Ven, Van de Voordt, Van de Weert, Van Den Brink, van den Maagdenberg, van der Bijl, van der Klip, van der Leeden, van der Maat, Van der Meer, van der Meijden, van der Noll, van der Schaaf, Van der Ven, van der Vlag, Van der Wel, van der Zijden, Van Dijk, van Dorland, van Dort, Van Eck, Van Ee, Van Empel, Van Engelshoven, Van Hees, van Herel, Van Kempen, Van Leeuwen, van Lune, Van Oort, van Orsouw, Van Pelt, van Riswick, van Spelde, van Staveren, Van Straten, Van Veldhoven, Van Vugt, van Waardenburg, Van Werkhoven, van Westerneng, van Wouw, Veldkamp, Verdoes, Verlaan, Vink, Visser, Vleeshouwers, Vos, Vugts, Weeting, Weggelaar, Westerop, Wiegeraad, Willenborg, Winsavi Francisco, Witbreuk, Wormsbecher, Wortel, Yang, Yong, Zengin.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Het nieuwe jaar is net begonnen. Hoe staat het met uw goede voornemens? De mijne hebben dit jaar vooral met werk te maken (mijn proefschrift eindelijk afmaken, bijvoorbeeld), maar een van de meest voorkomende goede voornemens is een paar kilo afvallen.

Volgens de laatste cijfers van het CBS had in 2008 maar liefst 46,9 procent van de Nederlanders van twintig jaar of ouder overgewicht. Hierbij is overgewicht gedefinieerd met behulp van de zogenaamde Body Mass Index (BMI): je BMI is je gewicht gedeeld door het kwadraat van je lengte, waarbij je je gewicht in kilogrammen en je lengte in meters moet invullen. Wie 60 kilo weegt en 1 meter 67 lang is, heeft een BMI gelijk aan 60/(1,67)² = 21,5.

Je hebt overgewicht als je een BMI hebt van 25 of meer. Met een BMI tussen de 25 en 30 heb je matig overgewicht, en bij een BMI van 30 of meer heb je ernstig overgewicht. Je hebt ondergewicht als je BMI kleiner is dan 18,5.

Maar wat betekent dat getal nou eigenlijk? Het is een heel rare grootheid: je deelt je gewicht (je massa, eigenlijk) door het kwadraat van een lengte. De bijbehorende eenheid is dus kg/m². Fysiologisch gezien betekent deze grootheid helemaal niets, de BMI meet geen echt bestaande eigenschap van je lichaam.

Een ander probleem is dat de index geen rekening houdt met lichaamsbouw en vetpercentages. Een atletisch persoon met veel spieren en weinig vet is relatief zwaar en heeft een hoge BMI, want spieren hebben een hogere dichtheid dan vet. Toch wil je eigenlijk niet zeggen dat zo iemand overgewicht heeft. Ook hoe het vet over je lichaam verdeeld is, wat wel uitmaakt voor de gezondheidsrisico’s, wordt niet meegenomen in de BMI.

Waar komt die BMI dan eigenlijk vandaan?

De BMI wordt ook wel queteletindex genoemd, naar de wiskundige en sterrenkundige Adolphe Jacques Quételet (1796 – 1874). Hij was een van de eersten die statistische methoden gebruikte voor sociale fenomenen zoals criminaliteit en sterftecijfers. Daarvóór werd statistiek eigenlijk alleen maar in de sterrenkunde gebruikt.

Adolphe Quételet

Quételet probeerde aan de hand van metingen gegevens over “de gemiddelde mens” te verkrijgen. Hij verzamelde gegevens van een heleboel mensen en stelde een relatie vast tussen lengte en gewicht. In de Engelse versie van zijn boek staat: “the weight is in proportion to the square of the stature”, in andere woorden: over de hele populatie genomen staat het gewicht zo’n beetje in een vaste verhouding tot het kwadraat van de lengte.

In 1972 werd de queteletindex door Ancel Keys, die de invloed van voeding op gezondheid onderzocht, omgedoopt tot de Body Mass Index. Hij linkte de formule wel aan overgewicht, maar stelde ook dat de BMI alleen geschikt is voor populatiestudies en niet als diagnostisch instrument voor individuen.

Toch wordt de index daar veel voor gebruikt, vooral omdat hij zo gemakkelijk te berekenen is. Maar of je nu een officieel gezonde BMI hebt of niet: als je broeken sinds de Kerst wat strakker zitten, kan goede voornemens maken geen kwaad.

Deze column staat in de kerstbijlage van de Volkskrant.

Nog maar een paar nachtjes slapen en dan is het 2010. Eindelijk zijn we verlost van die onbestemde jaren nul. Een nieuw decennium, een nieuw geluid! Hoewel, waren er niet van die wijsneuzen die in 2000 beweerden dat het nieuwe millennium pas op 1 januari 2001 begon? Begint het nieuwe decennium dan soms ook pas volgend jaar?

Helaas hebben de wijsneuzen in dit geval gelijk: onze jaartelling loopt vanaf het jaar één en niet vanaf het jaar nul. Dus als je netjes telt, dan begint het nieuwe decennium inderdaad pas over iets meer dan een jaar. Zo is het vastgelegd en daar valt niets meer aan te veranderen. Op nieuwjaarsborrels kun je de wijsneuzen dus gelijk geven en snel over iets anders beginnen.

Bijvoorbeeld over dat het wel heel raar is dat er geen jaar nul is. Blijkbaar was het eerst één voor Christus (al waren daarvan op dat moment nogal weinig mensen op de hoogte) en daarna ineens één na Christus. Dat levert merkwaardige dingen op. Neem bijvoorbeeld een Romein die geboren werd in 10 voor Christus. In het jaar 30 na Christus werd deze man dan 39. Dat is toch een beetje vreemd. De Romein in kwestie merkte daar weinig van, want onze huidige jaartelling werd pas eeuwen later vastgelegd.

Een Romein die al genoeg aan zijn hoofd heeft

In 525 gebruikte Dionysius Exiguus voor het eerst de term Anno Domini, oftewel Het jaar des Heeren, wat wij nu aanduiden met na Christus. Exiguus bedacht het jaartelsysteem om de juiste data van Pasen te kunnen bepalen, een belangrijke zaak voor de kerk en middenstand. Hij gebruikte de telling niet voor historische gebeurtenissen en verklaarde trouwens ook niet hoe hij nou wist dat het op dat moment het jaar 525 was.

Ruim 200 jaar later gebruikte de monnik Bede als eerste een jaar vóór Christus. Hij legde toen het begin van onze jaartelling vast als het jaar één. Het lijkt een bewuste keuze te zijn geweest om de jaartelling te laten beginnen bij één en niet bij nul. Vaak wordt geopperd dat Bede domweg nooit had gehoord van het getal nul, maar dat is niet waar. Hij gebruikte regelmatig het Latijnse woord nulla (niets) waar wij nu een nul zouden schrijven.

Sindsdien gebruiken historici nooit meer het jaar nul, maar sterrenkundigen, Boeddhisten en Hindoes doen dat wel. Vaak worden de verschillende keuzes uitgelegd als het verschil tussen meten en tellen. Bij tellen begin je vanaf één, denk aan de pagina’s van een krant. Bij meten begin je vanaf nul: zoals bij een liniaal. Onze eigen leeftijd meten we dus in jaren, we beginnen te tellen vanaf nul jaar.

Het telargument bij de jaartelling snap ik zelf nooit zo goed: voordat je één iets hebt, heb je er toch nul? En geen min één? Ik kan eigenlijk geen enkel goed argument verzinnen om de jaartelling te laten beginnen bij het jaar één. Wat zie ik over het hoofd? Waarschijnlijk kan een vriendelijke wijsneus dat me haarfijn vertellen op een nieuwjaarsborrel.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Aan het eind van het jaar wil ik altijd alles netjes maken. Eindelijk ga ik die foto’s van de stedentrip in februari inplakken, zal ik mijn kleren in nette gesorteerde stapels in de kast leggen en ga ik de chaos van bonnetjes en facturen veranderen in een nette administratie. Vooral dat laatste valt elk jaar weer tegen. Bij het maken van een overzicht van mijn uitgaven kan ik de juiste bonnetjes nooit vinden. Hoeveel kostte dat boek over statistiek ook alweer? Was het 15 of 20 euro? Het is verleidelijk om dan maar ongeveer te gokken, maar alle wiskundigen weten dat dit erg moeilijk goed te doen is.

De cijfers die mensen zelf verzinnen kloppen namelijk zelden met de gebruikelijke patronen. We zijn bijvoorbeeld extreem slecht in het maken van willekeurige patronen. Een wiskundeleraar gaf zijn leerlingen eens een wat merkwaardige opdracht. Ze mochten kiezen: 200 keer een muntje gooien en de uitkomsten opschrijven óf doen alsof ze een muntje opgooiden en zelf 200 uitkomsten verzinnen. De leraar kon na één blik op de uitkomsten onmiddellijk zeggen welke echt waren en welke niet. De neppatronen waren veel te netjes, de echte bevatten bijvoorbeeld rijtjes van zes keer kop achter elkaar. Als mens zou je na een paar keer kop snel weer een munt opschrijven.

Of vraag maar eens aan je vrienden op een feestje om zich zo willekeurig mogelijk over de ruimte te verdelen. Dan gaat iedereen ongeveer even ver van elkaar afstaan en de hele ruimte wordt keurig gebruikt. Een echt willekeurig patroon is veel grilliger: dan zouden op de ene plek toevallig wat mensen bij elkaar staan, terwijl verderop iemand helemaal alleen in een stuk leegte staat. Eigenlijk lijkt zo’n patroon meer op dat van een echt feestje: bij de drank staat er een kluitje mensen en de wiskundige met zijn leuke experimenten over willekeur staat al snel alleen. Een Britse professor wil trouwens onderzoeken of dronken mensen beter zijn in het maken van willekeurige patronen. Ik denk van niet, mensen kunnen volgens mij alleen per ongeluk een willekeurig patroon maken.

Een niet zo willekeurig patroon

Natuurlijk wil je bij het maken van je administratie helemaal geen willekeurige getallen gebruiken, je wilt dat de bedragen zo realistisch mogelijk zijn. Maar zodra je getallen op de een of andere manier gaat gokken, val je snel door de mand. Lijsten met bedragen voldoen namelijk aan allerlei tegenintuïtieve wetten. Zo is er de Wet van Benford die zegt dat niet elk cijfer even vaak voorkomt aan het begin van een getal: de één komt het meest voor (ongeveer in 30% van de gevallen) en de negen het minst (minder dan 5% van de gevallen). In Amerika worden gevallen van belastingfraude met deze Wet van Benford opgespoord en veroordeeld.

Kortom: het is zo moeilijk om de cijfers voor je administratie geloofwaardig te verzinnen, dat ik toch maar netjes alle bonnetjes bij elkaar ga zoeken. Daar gaat mijn kerstvakantie.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Je kent ze vast wel. De getallenrijtjes, een vast onderdeel van iedere IQ-test. Wat is het volgende getal in het rijtje 2, 4, 6, 8? En in het rijtje 1, 3, 6, 10? Dit tweede rijtje komt voor in de thuistest van hoogbegaafdenvereniging Mensa. En de rijtjes kunnen natuurlijk ook nog veel moeilijker zijn.

Een leuk stripje van Savage Chickens

Maar voor wiskundigen die zo’n test doen is er een complicerende factor: ze weten namelijk dat eigenlijk elk antwoord goed is! Hoe zit dat dan? In het rijtje 2, 4, 6, 8, … ligt 10 toch wel erg voor de hand als volgend antwoord! Waarom zou ook een ander getal goed kunnen zijn?

Nou, ik weet nog wel een oplossing: 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2 zou ook een logisch vervolg kunnen zijn. Of 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, …: dan kijk je steeds naar het eindcijfer van het getal dat je krijgt door 2 op te tellen bij het vorige getal.

Nou kun je terecht zeggen: dat zijn flauwe voorbeelden. Maar er ligt een fundamenteel probleem aan ten grondslag. Je moet uit een paar getallen een patroon herkennen, en uit dat patroon weer afleiden wat de volgende getallen zijn. Het probleem is dat zo’n patroon nooit eenduidig kan worden vastgelegd door het geven van een eindig rijtje getallen.

Laten we eens naar het rijtje 1, 3, 6, 10 kijken. Het vervolg dat waarschijnlijk bedoeld wordt is: 15, 21, 28, 36. De verschillen tussen de getallen in het rijtje zijn dan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maar dat is niet de enige mogelijkheid. Als je in de uitdrukking achtereenvolgens 1, 2, 3 en 4 invult voor x, krijg je ook 1, 3, 6 en 10. Verder gaan door het invullen van 5, 6, 7 en 8 levert op: 1, 3, 6, 10, 12, 6, -17, -69. Dus 12 is net als 15 een goed antwoord. Sterker nog: voor elk getal dat je na 10 zou willen invullen bestaat zo’n formule!

Een andere leuke manier om ditzelfde rijtje af te maken, heeft te maken met het gooien van drie dobbelstenen. Als je met drie dobbelstenen gooit, gooi je altijd minstens drie ogen. Hoeveel manieren zijn er om drie te gooien? Dat lukt alleen door 1 met de eerste, 1 met de tweede en 1 met de derde dobbelsteen te gooien, dus dat geeft één (1) mogelijkheid. Om vier te gooien kun je 1, 1, 2 gooien, of 1, 2, 1, of 2, 1, 1. Dat zijn dus drie (3) mogelijkheden. Om vijf te gooien zijn er, jawel, zes (6) mogelijkheden. En voor zes gooien zijn er tien (10) mogelijkheden. Dus op deze manier krijgen we alweer het rijtje 1, 3, 6, 10, met als logisch vervolg het aantal mogelijkheden om zeven, acht, negen of tien te gooien, en dan ziet het rijtje er zo uit: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27.

Dit alles betekent dat zo’n IQ-test ook verwacht dat je het “eenvoudigste” patroon kunt kiezen als je er meer dan één ziet. En geef toe: kunnen inschatten wat andere mensen verwachten is natuurlijk ook een teken van intelligentie.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriend is superleuk en ik ben al jaren erg gelukkig met hem. Maar soms kom ik op een feestje een ontzettend knappe man tegen die lacht om al mijn grapjes. En dan twijfel ik even, loopt er niet een nóg leukere partner voor me rond? Hoe weet ik dat ik de juiste geliefde heb gekozen?

Voorbeeld van een ontzettend knappe man

Een partner zoeken is (met wat goede wil) te zien als een wiskundig probleem. Je moet daarbij een aantal aannames maken. Zo moeten de mogelijke partners te ordenen zijn van goed naar slecht, gelijke scores zijn niet toegestaan. Daarnaast neem je aan dat de mogelijke geliefden in willekeurige volgorde één voor één voorbij komen en dat je er maar één kunt kiezen. Nog een belangrijke (en in de praktijk niet geheel realistische) aanname is
dat je afgewezen kandidaten niet meer kunt terugnemen.

Wiskundigen noemen dit het secretaresse-probleem, waarschijnlijk omdat ze vaker secretaresses uitzoeken dan geliefden. Dit soort keuze-problemen komt voor in allerlei situaties. Denk aan het kopen van een huis: je bekijkt één voor één een aantal huizen en hoopt het beste huis te kiezen.

Met welke strategie heb je de grootste kans om de beste optie te nemen? Je kunt eigenlijk maar één ding doen: eerst een aantal kandidaten voorbij laten gaan om een beeld te krijgen van het aanbod. Daarna kies je de eerste die beter is dan alle vorigen. De grote vraag is: hoeveel kandidaten moet je proberen?

Stel bijvoorbeeld dat je uit honderd mogelijke geliefden mag kiezen. Als je er zomaar één kiest, dan heb je een kans van 1% om de beste te nemen. Als je eerst twintig kandidaten bekijkt en dan de eerste neemt die beter is dan alle vorigen, dan groeit je kans om de beste te kiezen naar 32%. Te lang wachten is niet goed, dan mis je de beste waarschijnlijk. Na tachtig kandidaten is de kans om de juiste te kiezen nog maar 18%. Een algemene vuistregel is dat je ongeveer 37% van de kandidaten moet bekijken. In dit geval heb je dan 37% kans om de beste geliefde te vinden.

Psycholoog Peter Todd paste de algemene strategie wat aan door het ideaal van één beste liefde overboord te gooien. Hij nam aan dat je gelukkig bent met een partner die bij de beste 10% zit, maar dat je wel minstens 75% kans wilt hebben om zo’n goede partner te vinden. Todd rekende uit dat je om dat te bereiken twaalf partners moet proberen. Daarna kun je de eerste die beter is dan alle vorigen met een gerust hart houden.

Hoe je die geliefden precies moet tellen, vertelt het model trouwens niet. Preutse types tellen hun afspraakjes, wildebrassen alles wat langer duurde dan een one-night-stand. Zelf tel ik iedereen waarmee ik verliefd hand in hand heb gelopen. Mijn vriend is nummer veertien en veel leuker dan mijn vorige geliefden. Kortom: ik houd hem! Nu maar hopen dat hij mij ook wil houden.

En ze leefden nog lang en gelukkig...

Deze column verscheen in de Volkskrant van 7 november.

Over vier weken is het zover: pakjesavond! Dat betekent dat er lootjes getrokken moeten worden. Ik woon een heel eind bij mijn ouders vandaan; het is al moeilijk om iedereen bij elkaar te krijgen op pakjesavond, maar het lukt ons maar zelden om ook nog eens bij elkaar te komen om lootjes te trekken.

Nou zijn er voor de hand liggende oplossingen als lootjes trekken op internet, maar de romantiek is er dan toch een beetje af. Zo’n lootje hoort een snippertje papier te zijn dat een maand lang rondzwerft in je broekzak of portemonnee, en niet een e-mail in je inbox.

Mijn moeder stuurt dit jaar de lootjes met de post rond. Ze slaagt erin om iedereen een lootje te sturen waar zeker niet zijn eigen naam op staat, ze weet buiten zichzelf van niemand wie hij heeft, en er is geen hulp van buitenaf nodig. Hoe doet ze dat?

We willen met z’n zessen sinterklaas vieren. Mijn moeder neemt zes identieke enveloppen en schrijft op de voorkant van elke envelop één naam. Daarna schrijft ze elke naam ook op een velletje papier. Ze stopt elk briefje (opgevouwen) in de envelop waar dezelfde naam op staat als op het briefje, maar ze plakt de enveloppen natuurlijk nog niet dicht.

Ze legt alle enveloppen op de kop op een stapeltje, zodat ze de namen niet meer kan zien, en ze schudt het stapeltje goed. Vervolgens legt ze de enveloppen (nog steeds op de kop) in een cirkel op tafel. Ze haalt de velletjes uit de enveloppen (zonder te kijken wie erop staat!) en ze schuift alle velletjes één envelop door. Dan stopt ze elk velletje in de envelop waar het nu bij ligt, ze plakt de enveloppen dicht, ze husselt ze nog even door elkaar, en klaar! Nu heeft zeker niemand zichzelf, en mijn moeder weet van niemand anders wie hij heeft.

Ze had de papiertjes in plaats van één envelop ook twee, drie, vier of vijf enveloppen kunnen doorschuiven. Gaat het dan nog steeds goed? Onthoud dat mijn moeder wéét hoeveel ze alles doorgeschoven heeft.

Stel dat de enveloppen in de cirkel in de volgorde A, B, C, D, E, F lagen en ze schuift alle briefjes één envelop naar rechts. Dan ontstaat er een kringetje van lengte zes (F heeft E, E heeft D, enzovoorts). Ook als ze alles vijf enveloppen doorschuift, ontstaat er een kring van zes. Als ze alles twee of vier enveloppen doorschuift, ontstaan er twee kringetjes van lengte drie. Als alles drie enveloppen doorgeschoven wordt, dan worden alle kringetjes twee lang: A en D hebben elkaar, B en E ook, en C en F ook.

Kortom: mijn moeder weet wat voor kringetjes er ontstaan. En als ze alles drie enveloppen opschuift, weet ze dus dat de persoon die zij getrokken heeft ook háár lootje getrokken heeft! Dat mag niet.

En voor andere families? Met hoeveel personen je ook bent (mits meer dan drie): alle briefjes één envelop doorschuiven werkt altijd. Een aanrader voor alle families met ver weg wonende kinderen!