Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Vorige week moest ik weer eens heel lang wachten op tram 9. (Het begin van deze column is trouwens gelogen. Ik ben sinds kort moeder en het lukt me nauwelijks om een rondje door Leiden te lopen. Laat staan dat ik de trein naar Amsterdam neem om daar een beetje op tram 9 te wachten. Maar ik geef deze columns graag een schijn van actualiteit, daarom schrijf ik “vorige week” in plaats van “een paar maanden geleden”.) Toen eindelijk de juiste tram de hoek omkwam, zag ik dat erachteraan gelijk nóg een tram 9 kwam. Was dit na de OV-chipkaart een nieuwe manier om reizigers te pesten? Een dienstregeling met na een lange tussenpoos steeds twee trams achter elkaar? Of voelden de tramchauffeurs zich niet meer veilig na alle PVV-retorica en durfden ze alleen samen op pad?

In de tram bedacht ik echter dat het onvermijdelijk is dat trams regelmatig op deze manier samenklonteren. Stel dat de trams normaal tien minuten na elkaar rijden. Als een tram op de een of andere manier vertraging oploopt (met toeristen die moeizaam vragen of deze tram naar de Dam rijdt, een fietser die in de rails klemzit of een verhuisbusje dat op de trambaan wordt uitgeladen), dan verzamelen zich bij zijn volgende haltes iets meer passagiers. De tram komt daar immers wat later en dus hebben mensen langer de tijd om aan te komen bij de halte. Vervolgens duurt het instappen wat langer, waardoor de tram nog meer vertraging oploopt. Waardoor bij de volgende haltes weer meer mensen zullen staan te wachten. Waardoor het instappen nóg langer duurt, enzovoorts. Het is een proces dat zichzelf versterkt. De eerste tram na de vertraagde tram heeft het extra makkelijk, want daarop staan juist minder passagiers te wachten. Deze tram zal dus juist een beetje inlopen op zijn schema. En op een gegeven moment zullen de twee trams pal achter elkaar rijden. 

Het grappige is dat passagiers het verschijnsel alleen maar erger maken. Let maar eens op, bij twee trams die achter elkaar rijden, probeert iedereen in de voorste te stappen. Meestal staat het complete gangpad daar bomvol, terwijl de tweede tram vrijwel leeg is. 

Er is ook weinig aan te doen: meer trams inzetten helpt niet. Een dienstregeling waarbij de tram af en toe een paar minuten bij een halte wacht helpt wel. Dan heeft de tram een buffer en kan hij die paar minuten wachten overslaan als hij vertraging heeft opgelopen. Maar zo’n dienstregeling is waarschijnlijk irritanter voor passagiers dan af en toe een duo-tram.

Bussen hebben last van hetzelfde verschijnsel, maar bij treinen zie je er bijna nooit twee pal na elkaar rijden. Misschien doordat er meer tijd voor het instappen is ingepland, of doordat er minder haltes zijn, of doordat de dienstregeling bij een beetje vertraging als snel compleet in de soep loopt. Gelukkig heb ik dáár ook weinig last van tijdens mijn zwangerschapsverlof.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In de weersverwachting van de komende vijf dagen staat altijd per dag een neerslagkans, keurig als een percentage. “Zaterdag 60% kans op neerslag”, bijvoorbeeld. Kansen worden namelijk in percentages uitgedrukt, of in een getal tussen 0 en 1 (een kans van 25% komt overeen met een kans van 0,25).

Soms is het duidelijk wat een kans betekent. Als je met een eerlijke dobbelsteen gooit, dan zul je na heel vaak gooien in één op de zes gevallen een 4 gegooid hebben. De kans op een 4 is dus 1/6 (ongeveer 17%).

Maar ik heb me wel eens afgevraagd wat die neerslagkansen nou eigenlijk betekenen. Als richtlijn werken ze prima, en dat is natuurlijk waar ze voor zijn. Maar als wiskundige wil ik het graag preciezer weten. Betekent 60% kans op neerslag dat de kans 60% is dat het vandaag ergens in het land gaat regenen of sneeuwen? Dat lijkt me niet. Als er in Zuid-Limburg een wolkbreuk aankomt, maar in de rest van het land schijnt de zon, wil je eigenlijk niet dat de neerslagkans heel hoog is. Ik vermoed dat het betekent dat een willekeurige plek 60% kans op neerslag heeft. Of betekent het dat het in 60% van het land zal gaan regenen? Of dat in ongeveer 60% van de tijd neerslag naar beneden komt? Dat zou ook kunnen.

Wat het weer gaat zijn, is sowieso moeilijk te berekenen. Daar zitten heel ingewikkelde modellen achter, en soms voorspellen verschillende modellen iets anders uit dezelfde gegevens. Wat bedoelt het KNMI dan met zo’n percentage?

Ik ben dus even gaan rondneuzen op de site van het KNMI, waar inderdaad extra uitleg te vinden is. Het weer voorspellen kan nooit met absolute zekerheid, maar soms zijn er dagen waarop de weerkundigen vrijwel zeker weten dat het gaat regenen of juist niet, en op andere dagen is er meer twijfel. Het KNMI schrijft: “Om die mate van onzekerheid aan te geven wordt de kans op neerslag aangegeven in een percentage.” Omdat er altijd enige onzekerheid is, is dat percentage vrijwel nooit 0 of 100.

Wat ook snel duidelijk wordt: de neerslagpercentages gelden voor een willekeurige plaats in Nederland. Als de kans op neerslag 90% is, is het vrijwel zeker dat er op de plek waar ik ben wat naar beneden komt. Als die kans maar 10% is, blijft het vrijwel zeker overal droog. Bij een kans van 50% kan het op een willekeurige plaats net zo goed droog zijn als regenen of sneeuwen, daar zijn de voorspellingen niet duidelijk over. Over hoeveelheden en tijdsduur van de regen zegt het percentage dus niets. Tegenwoordig staat de neerslaghoeveelheid daarom óók vermeld in de verwachtingen.

Op het moment dat ik dit schrijf, voorspelt het KNMI voor de week dat deze krant verschijnt: “70% kans op aanhouden van het kwakkelweer, 30% kans op vrij zacht weer”. Ik hoop dat het het laatste is geworden, want die sneeuw ben ik inmiddels behoorlijk zat. En dat weet ik wèl zeker.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren – ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ik heb een kleine obsessie voor bepaalde koppen in het wetenschapsnieuws in de krant en (vooral!) op internet. Denk aan koppen als “Drink More Diet Soda, Gain More Weight”, waarin een bepaald verband tussen twee fenomenen wordt genoemd, maar tegelijkertijd de suggestie gewekt wordt dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen het een en het ander.

De kop lijkt te zeggen dat het drinken van light-frisdranken ervoor zorgt dat je zwaarder wordt, wat natuurlijk onzin is. Er bestaat wel een correlatie tussen aankomen en light-frisdrank drinken, maar de oorzaak-gevolg-relatie ligt precies andersom: mensen die zwaarder worden, zullen eerder de neiging hebben light-frisdrank te nemen.

Denkfouten als deze liggen op de loer als je het verschil tussen correlatie en causaliteit niet genoeg in acht neemt. Als twee fenomenen vaak samen optreden (correlatie), betekent dat niet per se dat het één het ander veroorzaakt (causaliteit). Deze drogreden heeft een mooie naam: cum hoc ergo propter hoc (Latijn voor: met dit, dus vanwege dit).

Er zijn verschillende andere mogelijkheden: misschien veroorzaakt het ander juist wel het één, zoals in het voorbeeld hierboven. Soms is een correlatie gewoon toeval. En soms zijn er een heleboel onoverzichtelijke andere factoren die invloed hebben, zoals bij correlaties in de complexe wereldeconomie.

Of misschien, en dat vind ik de leukste optie: misschien is er een duidelijke derde factor die de beide fenomenen veroorzaakt. Een klassiek voorbeeld is de correlatie tussen het aantal ingezette brandweerlieden en de schade die een brand veroorzaakt. Veroorzaken veel brandweermannen de grotere schade? Nee, natuurlijk niet. Er worden meer brandweermannen ingezet omdat het een grote brand is, en een grote brand levert meer schade op. Maar in veel gevallen ligt het wat subtieler en zie je niet meteen wat er niet klopt.

Een mooi voorbeeld hoorde ik een tijd geleden in een lezing van voedingswetenschapper Martijn Katan. Hij vertelde over een onderzoek dat uitwijst dat er een correlatie bestaat tussen het risico op dementie en weinig sporten, met als bijbehorende kop: “Sporten doet risico op dementie verminderen”. Maar het zou ook kunnen dat beginnende dementie ervoor zorgt dat je weinig sport. Of er zou een derde factor kunnen zijn, bijvoorbeeld ongezond leven (roken, veel alcohol drinken, vet eten), die vaak samengaat met weinig sporten en bovendien een risicofactor is voor dementie.

Als ik zo’n kop lees, vind ik het leuk er zelf mogelijke derde factoren bij te verzinnen. Gewoon als gedachte-experiment, om eens te kijken hoe waarschijnlijk zo’n verband nou eigenlijk is als je alleen je gezonde verstand gebruikt. Met als bijeffect dat je het artikel kritischer gaat lezen. En vaak blijkt dan tijdens het lezen dat het verband wat subtieler ligt dan de kop suggereert. Soms zal er natuurlijk wèl een oorzakelijk verband zijn, maar daar heb je meer argumenten voor nodig dan het optreden van een correlatie alleen.

Ik denk overigens wel dat er een causaal verband bestaat tussen mijn wiskundige achtergrond en mijn obsessie met deze denkfout. Of zou ook daar een derde factor in het spel zijn? Hmmm.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In het vrolijke boek Superslimme dieren laat Jan Paul Schutten zien hoe snugger dieren zijn. De spinkrab verkleedt zich om onzichtbaar op te gaan in zijn omgeving, franjeapen stelen houtskool van de barbecue tegen maagklachten en vuurvliegjes sturen elkaar boodschappen met knipperlichtjes. Maar het mooiste voorbeeld (voor een wiskundige) is hoe mieren de grootte van een nest schatten. De verkenners van de soort eptothorax albipennis zoeken een opening in de rotsen die geschikt is om een nest in te bouwen. Het moet precies groot genoeg zijn voor het aantal mieren in de kolonie. Hoe schatten de verkenners de grootte van het oppervlak? Ze hebben geen meetlatten en kunnen niet veel meer doen dan een beetje rondlopen.

Een voor de hand liggend idee is dat de mieren domweg langs de omtrek van de grot lopen en zo een zeer grove schatting maken van de oppervlakte. Maar toen onderzoekers in een laboratorium twee nesten bouwden met dezelfde omtrek en verschillende oppervlaktes, namen de mieren consequent het grootste nest. Dus de mieren verkozen zeer terecht een nest van 8 bij 10 centimeter boven één van 3 bij 15 centimeter, terwijl beide nesten een omtrek van 36 centimeter hebben.

Onderzoekers dachten toen dat de verkennende mier misschien kris-kras door de ruimte loopt en bijhoudt hoe ver hij kan lopen tot hij tegen een wand of obstakel opbotst. Hoe langer hij gemiddeld kan lopen, hoe groter het nest is. Maar ook dit idee werd afgeschoten in een laboratoriumopstelling toen onderzoekers een dun wandje midden in een nest plaatsten. De mieren kozen dit nest net zo vaak als een even groot nest zonder dat dunne wandje.

Wat doen mieren dan wel? Het lijkt erop dat ze iets gebruiken dat wiskundigen kennen als de naald van Buffon. De graaf van Buffon stelde in de 18de eeuw een vraag over naalden. Stel dat je een vloer van even brede planken hebt en dat je een naald op deze vloer laat vallen: Wat is de kans dat de naald over de lijn tussen twee planken valt? Als de naald even lang is als de planken breed zijn, dan is het antwoord . Dit principe kan worden uitgebreid om de oppervlakte van een vlak te schatten. Strooi twee even grote sets naalden op het vlak en tel hoe vaak een naald van de eerste set een naald uit de tweede verzameling raakt. De oppervlakte van het vlak is dan ongeveer gelijk aan 2 /( * het aantal snijpunten).

Het lijkt erop dat mieren deze truc toepassen door een grillig pad door het nest te lopen (de eerste set naalden) en daarna een tweede wandeling te maken en te tellen hoe vaak ze het geurspoor van hun eerste pad kruisen. Verkenners vertragen tenminste steeds even als ze hun eerdere pad kruisen. En bij experimenten waar stukjes geurspoor werden gewist vóór de tweede wandeling, maakten mieren voorspelbare fouten. Het lijkt er dus op dat mieren beter zijn in wiskunde dan veel mensen: inderdaad superslimme dieren.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Vroeger op de kleuterschool deden we wel eens een doorvertelspelletje. De juf fluisterde een zin in het oor van het meisje naast haar. Zij vertelde die zin dan weer door aan haar buurjongetje, enzovoorts. De laatste leerling moest de zin hardop zeggen, wat meestal tot hilariteit leidde, want de boodschap die aankwam was eigenlijk nooit de boodschap die was verzonden door de juf.

Dat geldt voor wel meer kanalen: er kan onderweg een boel gebeuren met gegevens. Denk aan ruis in een radiosignaal, atmosferische storingen die het signaal van een satelliet verstoren of krassen en stof op een cd. Hierdoor krijgt de ontvanger een boodschap waar hij niet alles of helemaal niets van begrijpt, of misschien zelfs eentje die iets heel anders zegt dan er bedoeld was.

Er zijn gelukkig wel manieren om ervoor te zorgen dat je er achter komt dat er iets mis is, en die manieren worden bestudeerd in de coderingstheorie.

De simpelste oplossing is het dubbel versturen van alle gegevens. In de kring met kleuters wordt de kans op een goede uitkomst groter als iedereen dezelfde boodschap twee keer doorfluistert in plaats van één. Helaas neemt de hoeveelheid data die verstuurd moet worden op deze manier danig toe.

Er zijn efficiëntere manieren om te ontdekken dat er onderweg iets mis gegaan is. Zo is een stuk tekst makkelijker te corrigeren dan een willekeurige rij cijfers: je herkent heus wel dat het woord “malkelijk” waarschijnlijk “makkelijk” moet zijn, maar als je “9789057122866” doorkrijgt, heb je geen idee of er een cijfer fout is. Dat betekent dat het handig is om af te spreken dat niet elk rijtje tekens toegestaan is in een boodschap.

Een handig middel is het toevoegen van een controlesymbool. Dat gebeurt bijvoorbeeld in het ISBN: het internationale identificatienummer van een boek. Niet elk getal van dertien cijfers komt voor als ISBN. Het boek dat nu voor mijn neus ligt heeft ISBN 978-90-5712-286-6. Daar zit redundantie in. De eerste twaalf cijfers betekenen allemaal iets: 978 betekent dat het een ISBN is, 90 staat voor het Nederlandse taalgebied, 5712 staat voor een bepaalde uitgeverij en 286 is het nummer van het boek.

(Een streepjescode van een boek met een ander ISBN.)

Dan is er nog één cijfer over, en dat wordt berekend aan de hand van de andere cijfers: de cijfers op de even plekken worden allemaal met drie vermenigvuldigd en bij elkaar opgeteld, en daar worden het eerste, derde, vijfde, zevende, negende en elfde cijfer nog bij opgeteld. In het voorbeeld: 3·7 + 3·9 + 3·5 + 3·1 + 3·2 + 3·6 + 9 + 8 + 0 + 7 + 2 + 8 = 124. Het laatste cijfer is dan, per afspraak, het verschil tussen dit getal en het volgende tiental: in dit geval, inderdaad, 6. Zo kun je direct herkennen dat 978-90-5712-296-6 geen geldig ISBN is.

Controlesymbolen komen ook voor in bankrekeningnummers, het betalingskenmerk op accept-giro’s en in burgerservicenummers. Dit soort trucs, en wat ingewikkeldere versies, zorgen ervoor dat ons dataverkeer betrouwbaar is, en dat veel foutjes die onderweg ontstaan zijn worden ontdekt, en soms zelfs verbeterd kunnen worden.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik de gordijnen voor de babykamer bestelde, vroeg de dame achter de balie wel drie keer of ik alles écht goed gemeten had. Ik begon me een beetje zorgen te maken, ik had de lengte van de rails tot op de millimeter nauwkeurig gemeten, dat zou toch genoeg moeten zijn?

We zijn gewend dat kleine meetfouten nauwelijks een effect hebben. Een millimeter meer of minder maakt voor gordijnen echt niet uit. En als je in een recept 301 gram rijst gebruikt in plaats van 300 gram, dan zal de risotto heus niet ineens mislukken. Maar in sommige situaties kunnen heel kleine meetfouten grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel, oftewel chaos, is door verschillende mensen herontdekt. Het mooiste vind ik het verhaal van Edward Lorenz.

Rond 1961 maakte Lorenz modellen om het weer te voorspellen. Met een (nogal primitieve) computer tekende hij (nog primitievere) grafiekjes van hoe variabelen als luchtdruk of luchtstromen in de loop der tijd veranderden. Op een gegeven moment wilde hij een bepaalde simulatie eens wat verder doorrekenen. Om tijd te besparen liet Lorenz de computer niet weer alles vanaf het begin uitrekenen. Hij nam de uitdraai van de vorige simulatie en gebruikte de gegevens die hij daar halverwege had gekregen als beginwaarden, dan kon de computer vanaf daar verder gaan.

Tot zijn grote verbazing zag hij (nadat de computer een uur flink had staan rekenen) dat er na enkele stappen een compleet ander patroon ontstond dan in de vorige simulatie. Lorenz had verwacht dat zijn programma vanaf dezelfde invoergegevens precies hetzelfde resultaat zou geven. Hij snapte er niets van: was zijn computer soms stuk?

Edward Lorenz net voordat hij chaostheorie ontdekte

Na een tijdje besefte hij dat de invoergegevens de tweede keer níet precies hetzelfde waren als tijdens de eerste simulatie. De computer rekende met zes cijfers achter de komma, maar op de uitdraai stonden alleen de eerste drie cijfers na de komma afgedrukt. Lorenz had bij de tweede simulatie daardoor in plaats van 0,506127 de waarde 0,506 ingevoerd. Een verschil zo klein dat je niet verwacht dat het iets uitmaakt.

Maar in de vergelijkingen die het weer beschrijven speelt zo’n verschil wél een belangrijke rol: een heel kleine verstoring aan het begin kan grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel heet chaos en het komt voor bij allerlei systemen, met het weer als bekendste voorbeeld. Het gedrag van dit soort systemen is compleet vastgelegd door een aantal vergelijkingen en tóch zijn ze onvoorspelbaar, doordat ze zo gevoelig zijn voor kleine veranderingen in de beginwaarden. Lorenz suggereerde de metafoor van het vlindereffect (the butterfly effect): een vlinder in Stadskanaal die zijn met zijn vleugel slaat, kan een orkaan veroorzaken in Brazilië. Chaos verklaart waarom we het weer niet verder dan een week vooruit kunnen voorspellen: zelfs de meest nauwkeurige meetapparatuur zal afrondfouten maken.

De gordijnen hangen er zoals te zien keurig bij.

Gelukkig treedt er geen chaos-effect op bij het meten van gordijnen.  Ondanks eventuele meetfouten ziet de babykamer er nu prachtig uit. Nu maar rustig wachten op de chaos die de baby zelf straks gaat veroorzaken.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Wiskunde is toepasbaar op vele gebieden van het leven, ook waar je het misschien niet direct verwacht. De liefde, bijvoorbeeld. Er zitten wiskundige ideeën achter de koppelalgoritmes van datingsites, en je kunt wiskundig modelleren wat voor cadeau je iemand moet geven die je zou willen versieren: iets dat jou veel moeite kost, maar waardeloos is voor de ander als hij of zij niet in jou, maar wel in materiële zaken geïnteresseerd is. Zoals een ingewikkeld, zelfgekookt diner voor twee.

Maar als je de liefde van je leven eenmaal gevonden hebt, kan de wiskunde dan nog wat toevoegen aan dit geluk?

Ik was vorige week op een feestje van een vriend en zijn vriendin, die tijdens het feest stralend vertelden dat ze stiekem getrouwd waren. Deze vriend is een wiskundige, en hij liet me zien dat het getal 220 in zijn trouwring stond. In de ring van zijn kersverse echtgenote stond ook een getal, voegde hij eraan toe, en ik kon natuurlijk zelf wel bedenken welk getal dat was!

Eerlijk gezegd houd ik niet zo van wiskundige uitdagingen op feestjes, maar een pas getrouwde vriend laat je natuurlijk niet in de steek. En een poosje later wist ik het: natuurlijk, de bruid heeft het getal 284 in haar ring staan! Nou moet ik toegeven dat ik dat niet ter plekke berekend had; blijkbaar ken ik meer getallenfeitjes dan ik dacht.

Want wat is er zo bijzonder aan de getallen 220 en 284? Het zijn bevriende getallen. Dat ze zo heten is niet een nieuwerwetse poging om getallen menselijker en hipper te maken dan men ze doorgaans vindt, de Pythagoreeërs kenden dit koppel al en spraken erover in termen van vriendschap. Een uitspraak die aan Pythagoras is toegeschreven luidt: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284.”

Juist… Maar waarom deze getallen? De delers van 220 zijn: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 en 220. Als je het getal 220 zelf niet meetelt en alle andere delers bij elkaar optelt, vind je het getal 284. Dat op zich is nog niet zo bijzonder. Maar als je hetzelfde doet voor 284, dan vind je 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220! Daarom zijn de getallen 220 en 284 bevriend. Dit is het kleinste koppel bevriende getallen dat er bestaat. Andere voorbeelden zijn 1184 en 1210; 2620 en 2924; 5020 en 5564. Wiskundigen vermoeden dat er oneindig veel van dit soort paren bestaan, maar dat is niet bewezen.

In verscheidene oude Arabische manuscripten duikt een magische toepassing van deze getallenfeitjes op. Als je een goede relatie met iemand wil aanknopen, moet je de getallen 220 en 284 op een briefje schrijven. Dat briefje scheur je doormidden, het deel met 220 eet je op en het deel met 284 meng je ongemerkt door het eten van de ander. Succes gegarandeerd, zeker als je ook nog rekening houdt met een gunstige positie van Venus! En goed te combineren met het aanbieden van een zelfgekookt diner.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Hoe lang zal de kabinetsformatie nog duren? Ik besef dat ik een risico loop door hierover te schrijven. Er zitten een paar dagen tussen het schrijven van deze column en het verschijnen ervan, dus er is een kleine kans dat Rutte, Verhagen en Wilders precies daartussen in tot een akkoord komen. Het is altijd lastig om dit soort dingen te voorspellen. Mark Rutte zelf was rond de verkiezingen in juni nog ronduit optimistisch en hoopte voor 1 juli een kabinet gevormd te hebben. Inmiddels sleept de formatie alweer zo’n 100 dagen voort met een reeks mislukte pogingen, uitgelekte brieven en een stoet informateurs. Wanneer zal er eindelijk een nieuwe regering bij de koningin op het bordes staan?

In 1977 duurde de formatie maar liefst 208 dagen. Hier staat dan eindelijk het eerste Kabinet-Van Agt op het bordes bij Koningin Juliana.

Wiskundigen hebben een heel algemene truc om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Het achterliggende idee is vrij eenvoudig. Als je iets op een willekeurig moment ziet, dan is er 95% kans dat je datgene tegenkomt in de middelste 95% van zijn totale levensduur. Helemaal aan het begin van dat interval van 95% neem het verleden 2,5 % in en de toekomst 97,5%. De toekomst is dan dus 39 keer zo lang als het verleden. Aan het einde van het interval is het precies omgekeerd en is de toekomst nog maar 1/39ste deel van het verleden.

John Richard Gott III stelde voor om dit principe te gebruiken om te voorspellen hoe lang iets nog zal duren. Als je iets ziet dat al X jaar bestaat, dan is volgens het bovenstaande de kans 95% dat het nog tussen de X/39 en X*39 jaren zal blijven bestaan. Snel twee voorbeelden voor wie de draad helemaal kwijt is.

De Universiteit Leiden bestaat 435 jaar en de regel van Gott voorspelt dat er 95% kans is dat de oudste universiteit van Nederland er nog tussen de 11 en 16965 jaar zal zijn. De kans dat de universiteit voor 2021 haar poorten sluit is dus maar 2,5%.

De Volkskrant werd in 1919 opgericht, en de regel voorspelt dat de krant zeer waarschijnlijk nog tussen de 2 en 3549 jaren zal doorgaan.

Gotts regel lijkt een wonder: bijna vanuit het niets geeft hij heel sterke voorspellingen. Maar de regel is onder wiskundigen net zo omstreden als samenwerken met de PVV binnen het CDA. Het is duidelijk dat je de regel niet overal kunt toepassen. Mijn oma van 84 zou bijvoorbeeld 95% kans hebben om nog tussen de 2 en 3276 jaar te leven. In werkelijkheid is de kans dat ze nog meer dan 50 jaar zal leven precies 0%. Bij dingen met een (biologische) bovengrens aan de levensduur werkt de regel dus niet. En het is niet duidelijk voor welke processen hij wel goed is.

Laten we de regel toch eens toepassen op de formatie. Hij voorspelt hier dat er 95% kans is dat die nog tussen de 2 en 3900 dagen zal duren. Er is dus maar een kleine kans dat de formatie rond is voor deze column gedrukt wordt en een net zo kleine kans dat we over tien jaar nog steeds een demissionair kabinet onder Balkenende hebben.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Vorige week was het zover. Honderden brugklassers liepen totaal verregend hun nieuwe school in, de docenten praatten met een kop koffie en een gebakje bij over de vakantie, de nieuwe collega’s werden voorgesteld, iedereen bracht zijn kasten en mappen op orde en probeerde zo snel mogelijk alle namen te leren. Mijn eerste begin van een schooljaar in een nieuwe rol: die van docent.

Ik gaf voor de zomervakantie al een paar maanden les, maar toen begon ik midden in het schooljaar, in twee klassen die al gewend waren aan de manier van werken van mijn voorgangers. “Ja, maar bij mevrouw X deden we altijd…” en “Ja, maar meneer Y zei altijd…”, dat idee. “En we kregen helemaal nooit huiswerk, en we mochten altijd alles!” Tuurlijk.

De reacties uit de universitaire wereld, waar ik ook nog steeds werk, zijn divers. Iedereen vindt dat er meer academici voor de klas moeten, want om leerlingen te motiveren voor een academische studie is het goed om een rolmodel te hebben, een docent die weet hoe het eraan toe gaat op de universiteit. Sommige professoren reageren dan ook met: “Wat goed dat je het onderwijs in gaat!” Maar er zijn er ook die eigenlijk stiekem (of minder stiekem) vinden dat het carrière-technisch een niet zo slimme keuze is om voor het onderwijs te kiezen en dat ik me beter zou kunnen concentreren op het vinden van een uitdagende onderzoeksbaan (lees: tijdelijk, in het buitenland, en zonder perspectief op wat voor vaste aanstelling dan ook als je weer terugkomt).

Om voor de klas te staan, moet je natuurlijk een lesbevoegdheid halen. Ook dat wordt vanuit de onderzoekswereld soms wat sceptisch bekeken: we geven toch allemaal colleges aan studenten, zonder enige didactische opleiding, en dat gaat prima! Meestal wel, inderdaad. Maar niet bij iedereen. Daarom is ook voor beginnende docenten aan de universiteit het behalen van een basiskwalificatie onderwijs tegenwoordig verplicht. Bovendien is er, zoals ik inmiddels gemerkt heb, een behoorlijk verschil tussen het onderwijs aan leerlingen van een jaar of veertien en dat aan gemotiveerde wiskundestudenten van achttien of ouder (die je bovendien, als ze een keertje niet gemotiveerd zijn, lekker naar huis kunt sturen).

Ik vind de colleges vakdidactiek op de lerarenopleiding dan ook leuk en nuttig. We bespreken hoe je de juiste vragen kunt stellen, zodat een leerling zelf bedenkt hoe hij iets kan oplossen en waarom dat werkt. Ook misconcepties komen aan de orde: wat voor onverwachts kan er gebeuren in het hoofd van een leerling? Een voorbeeld: als je x=3 moet invullen in de formule 2x²+6, moet je onthouden hebben dat tussen de 2 en de x eigenlijk een vermenigvuldigingspunt stond, en dat je dus 2·3²+6 = 2·9+6 = 24 krijgt, en niet 23²+6 = 535.

Zoveel mogelijk anticiperen, altijd creatief blijven, je proberen in te leven in de gedachtewereld van de leerling en de juiste vraag stellen. En dan, af en toe: een blik van verheldering. “O, maar eigenlijk is het dus helemaal niet zo moeilijk!” Daar doe je het voor, als docent.