Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Beste prins Willem-Alexander,

Over enkele dagen bent u onze koning. In navolging van de bestseller Physics for Future Presidents geef ik u in deze brief een zeer korte samenvatting van Wiskunde voor toekomstige koningen. Alles wat u nodig heeft uit het mooiste vakgebied met de W (drie vingers in de lucht!).

Om mijn republikeinse collega Jeanine te paaien, verwijs ik met de titel van deze brief naar één van haar lievelingsboeken. En voor wie dat niet begreep, doe ik er ook nog een plaatje bij.

Allereerst is het cruciaal dat u goed overweg kunt met grote getallen. Even snel uit het hoofd: hoe groot is de totale Rijksbegroting van Nederland? Is dat ongeveer 190 miljoen, miljard, biljoen of biljard? En hoeveel procent van die begroting gaat naar de post “koning”? Tip: noemt u dat laatste percentage vooral als iemand moppert dat het koningshuis te duur is. Mocht u uzelf nog willen trainen in de omgang met grote en kleine getallen, dan raad ik u het boek Ongecijferdheid van John Allen Paulos aan.

Ten tweede lijkt het me zeer belangrijk dat u leugens in statistieken herkent. Veel mensen zullen u proberen te overtuigen van hun gelijk met indrukwekkende grafieken en gemiddelde cijfers. Wantrouw te mooie driedimensionale diagrammen en controleer altijd of er niet gesjoemeld is met de assen. Bedenk dat het gemiddelde soms weinig zegt. In een klas waar de helft van de leerlingen een tien haalt en de andere helft een twee, is het gemiddelde cijfer een zes.Wilt u zich tegen bedrog wapenen, lees dan vooral Darrell Huffs klassieker How to lie with statistics of de moderne variant Goochelen met getallen van mijn collega Hans van Maanen.

Belangrijker dan behendig omgaan met getallen is misschien nog wel het talent om helder en logisch te redeneren. Hopelijk kent u het verschil tussen correlatie en causaliteit en bent u voorzichtig als u conclusies trekt over oorzaak en gevolg. Er is voor mannen bijvoorbeeld een sterke correlatie tussen een lang leven en gehuwd zijn. Voordat u begint te juichen: dit betekent niet dat een huwelijk ervoor zorgt dat u langer leeft. Het is precies andersom: mannen met een hoge levensverwachting hebben een grotere kans om een vrouw te vinden.

Een andere logische fout die u hopelijk vermijdt is het onjuist omkeren van een “als dit, dan dat”-redenering. Stel bijvoorbeeld dat ik zeg: “Als ik wakker word, dan eet ik stamppot.” Dan betekent dat níet dat ik altijd net wakker ben als ik stamppot eet. Dat doe ik immers ook wel eens ‘s avonds. Dit soort redeneringen gaat vaak precies op deze manier mis. Alle boeken die ik in deze brief noem, geven voorbeelden van deze en andere denkfouten.

Tenslotte hoop ik dat u als koning uitdraagt dat wiskunde helemaal geen eng vak is en dat u uw drie dochters aanmoedigt om hun best te doen bij de exacte vakken. Als u nog mooie verhalen, leuke raadsels of knutselideeën zoekt, dan is, al zeg ik het zelf, Ik was altijd heel slecht in wiskunde echt iets voor u (de titel is niet autobiografisch, ik schreef het boek met Jeanine Daems). En mocht u ooit behoefte hebben aan een opfriscursus voor uzelf of bijles voor de prinsesjes, dan kom ik graag een keer naar uw paleis.

Uw onderdaan,

Ionica

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Beste Ian McEwan,

Ik las zojuist uw nieuwste boek uit: Sweet Tooth (Suikertand). Net als uw hoofdpersoon Serena Frome studeerde ik wiskunde. En ik deel haar grootste hobby: lezen. Bovendien had ik op de achterflap gezien dat Serena een carrière begint bij MI5, de veiligheidsdienst van het Verenigd Koninkrijk. Ik verheugde me al op alle wiskunde die ze daar zou gebruiken om complotten en terroristen te ontmaskeren!

Maar dat laatste viel een beetje tegen. Serena blijkt eigenlijk niet zo’n goede wiskundige te zijn, daar kwam ze achter toen ze begin jaren ’70 in Cambridge ging studeren. Ze had ook liever Engels gestudeerd, maar daar stak haar feministisch ingestelde moeder een stokje voor. Tijdens haar studie krijgt Serena een affaire met professor Tony Canning, die haar voor hij plotsklaps verdwijnt een baan bij MI5 bezorgt. Serena raakt verstrikt in project “Sweet Tooth”. Ze moet een veelbelovende, jonge schrijver (die nogal veel van uw eigen jonge zelf weg schijnt te hebben!) zover krijgen dat hij financieel ondersteund wil worden door een stichting, in de hoop dat zijn anti-communistische schrijfsels de publieke opinie zullen gaan beïnvloeden.

Uit uw boek blijkt dat in die tijd bij MI5 de wiskunde niet zo hoog aangeschreven stond. Het lijkt zelfs zo te zijn dat klassieke talen, Engels of geschiedenis nuttiger waren als je bij MI5 werkte. En dat kan ik me nog wel voorstellen als het gaat om wereldpolitiek, maar de veiligheidsdienst heeft ook een zeer belangrijke andere kant: de cryptografie. Het ontcijferen van gecodeerde, onderschepte boodschappen, en het bedenken van systemen waarmee informatie veilig gecommuniceerd kan worden. Dat is nou juist een van de allerspannendste toepassingen die de wiskunde heeft!

Denk maar aan RSA, een cryptosysteem gebaseerd op priemgetallen (een priemgetal is een getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door zichzelf en door 1). RSA gebruikt een publieke sleutel, een getal dat bij iedereen bekend mag zijn. Dat getal is gemaakt door twee grote priemgetallen te vermenigvuldigen. Daarmee kun je op een slimme manier de boodschap vercijferen, maar ontcijferen lukt alleen als je die twee priemgetallen kent. En daar zit de crux: het is praktisch onmogelijk om een heel groot getal in priemfactoren te ontbinden. Ook voor een computer. Dat duurt veel en veel te lang. De enige die een boodschap wel kan ontcijferen, is degene die die grote priemgetallen kent: de maker van de sleutel.

Het RSA-systeem is in 1977 gepubliceerd door de beroemd geworden Rivest, Shamir en Adleman. Een soortgelijk algoritme was echter in 1973 al ontdekt door Clifford Cocks. Maar hij is nooit echt bekend geworden om zijn ontdekking, want die moest, jawel, geheim gehouden worden! Cocks werkte namelijk bij een Britse inlichtingendienst. En als je een heel veilig cryptosysteem ontwikkeld hebt, is het voordelig als je vijanden dat systeem niet kennen. Pas in 1997 kwam zijn systeem boven water, daarvóór was het topgeheim!

Misschien een leuk onderwerp voor uw volgende boek? Maar voor ik afsluit: ik heb ondanks mijn lichte teleurstelling erg genoten van uw verhaal. Een leestip voor alle stiekeme meelezers van deze niet-gecodeerde brief!

Met topgeheime groeten,
Jeanine

Voor sommige lezers begint Sinterklaas al vroeg (al zal de verzending waarschijnlijk pas na Sinterklaas gebeuren): de winnaars van de weggeefactie van het mooie boek Vallende Kwartjes, de bloemlezing die Ionica met Bas Haring maakte van fragmenten met heel goede uitleg van allerlei wetenschappelijke wetenswaardigheden!

Met de randomgenerator heb ik weer drie willekeurige getallen getrokken en de geluksvogels zijn...
Jan Paul (die blijkbaar gisteren jarig was, dubbel gefeliciteerd!),
mathematiker (gelukkig zal Vallende Kwartjes niet eens in je broekzak passen, laat staan eruit vallen) en
jonas (voor wie de kwartjes dankzij dit mooie boek hopelijk wat sneller vallen)!

Als je een van deze drie winnaars bent: mail ons zo snel mogelijk je postadres, en geniet ervan.

Voor de verliezers: zet het snel nog op je verlanglijstje voor Sinterklaas of Kerst!

Aanvulling: Jan Paul blijkt het boek inmiddels al te hebben en biedt zijn exemplaar aan een andere winnaar aan. De randomgenerator heeft Paul (die met de hoofdletter, niet die zonder hoofdletter) aangewezen als gelukkige!

Ja, beste lezers, we zijn echt gestopt. Heel incidenteel, bij hoge uitzondering, komt er echter iets zo bijzonders langs dat we het toch even onder de aandacht moeten brengen (zeker als het over onszelf gaat, natuurlijk).

Vandaag komt een bijzonder boek uit: Ionica heeft samen met Bas Haring een bloemlezing gemaakt met een heleboel fragmenten waarin wetenschappelijke ideeën op een uitzonderlijk heldere manier worden uitgelegd. De titel is dan ook "Vallende kwartjes". Een must voor iedere liefhebber van wetenschap. Hier kun je een interview met Ionica lezen over het boek.

En het goede nieuws is: we mogen van de uitgever drie exemplaren verloten onder onze lezers! De procedure werkt als vanouds: laat een reactie achter bij dit bericht waarin je omschrijft waarom je dit boek graag zou willen hebben. Noem bijvoorbeeld een kwartje dat op een bepaald moment eindelijk viel, of juist een wetenschappelijk idee waar je nog steeds helemaal niets van begrijpt, omdat niemand het goed kan uitleggen. Je kunt reageren tot 30 november en dan zwengel ik de randomgenerator aan om de drie geluksvogels te selecteren. En als je niet gewonnen hebt, is er nog net genoeg tijd om het alsnog op je verlanglijstje voor sinterklaas te zetten!

Wiskundige en comedian Tom Henderson doet zijn best wiskunde over te brengen op zijn studenten, en eigenlijk verder ook op iedereen. Samen met Nick Horton brengt hij op www.mathforprimates.com podcasts uit, over alles dat maar een beetje met wiskunde te maken heeft.

Maar nu heeft Henderson een nieuw project: hij ziet een link tussen wiskunde en punk. Punk is goed in het identificeren van problemen, wiskunde lost problemen op. Uit die combinatie moet dus wel iets moois tevoorschijn komen! Hij is op www.kickstarter.com gestart met het zoeken van steun voor zijn project: het maken van een boek dat wiskunde leren leuker maakt, en daarvoor online dingen bedenken met andere mensen. Zie het filmpje hieronder! Je kunt nog een paar dagen geld doneren, maar hij heeft al heel veel opgehaald.

Henderson is er ervan overtuigd dat mensen geïnteresseerd zijn in wiskunde, en dat het helpt om wiskunde te brengen in een context waar mensen van nature in geïnteresseerd zijn: sociale conflicten, seks, schoonheid.

Lees hier een interview met Henderson. Een mooie quote:

So, the concept I pitched to Nick was, “Let’s talk about math from the platform of ‘Math that humans are likely to want to know, because it’s about other humans’”

Social conflict. Sex. Beauty.

It gives us an excuse to talk extensively about game theory. And, game theory is a key place to teach humans mathematics, because we seem to have some optimized “cheat detection” in our brains.

Let me give you an example, it’s something like, uh…

There are four face-down cards on a table. There is a rule: “If the number showing is even, then the back of the card MUST have a vowel.”

Now, given an E, 3, 8, D, what is the smallest number of cards you need to flip over to verify that the rule is being followed?

Maybe I fucked up the puzzle. But, anyway, the answer as I’ve phrased it is NOT E and 3.

You need to make sure that 8 has a vowel on the back, and you need to make sure that D does NOT have an even number on the back.

Everyone gets this wrong, basically. Well, non-mathematicians always do, and I’m pretty sure I got it wrong because I get every answer wrong on the first try. Punk as fuck.

Now, if you ask the same people a logically equivalent question: “You see four people. Two are drinking beer and two are drinking coke. Whose IDs do you have to check?”

No one says you have to check the ID of the coke drinker. Because who cares how old they are? If it’s the same puzzle, but phrased as a problem of possible social cheating, we nail it.

Wow. That’s interesting.

This is interesting to us. We think it’s fascinating that, given just a change of context, people can do logic puzzles more effectively.

Jullie hebben nog een week om mee te loten voor één van de tien boeken die de wiskundemeisjes mogen weggeven van Kosmos Uitgevers en Uitgeverij Nieuwezijds.

Dus loot snel mee voor Getallen ontraadseld en/of De dronkemanswandeling.

Reageren kan tot 1 september zodat alle vakantiegangers ruim de tijd hebben om te reageren. Daarna zwengelen Jeanine en ik random.org aan om vijf winnaars te kiezen. Lezers vroegen wat we doen als de random generator twee keer dezelfde winnaar aanwijst. Dat is eenvoudig: dan trekken we net zo lang willekeurige getallen tot we per boek vijf verschillende winnaars hebben.

Vorige week kondigden we het al aan: nog een weggeefactie! We mogen van Kosmos Uitgevers maar liefst vijf exemplaren weggeven van Getallen Ontraadseld, geschreven door Alex Bellos.

Ik heb het nog niet gelezen, maar Ionica wel en ze vond het heel leuk! (Haar recensie ligt nog even op de plank tot hij gepubliceerd is.) Al bladerend zag het er inderdaad heel aantrekkelijk uit!

Jean-Paul Keulen schreef in een recensie voor Kijk:

(...) Ook de flaptekst doet vermoeden dat het hier een soort stoomcursus wiskunde betreft, waar je je plichtsmatig doorheen ploegt omdat de in dit boek samengebalde kennis nu eenmaal bij je algemene ontwikkeling hoort. Maar als je Getallen ontraadseld eenmaal gaat lezen, blijkt het een vlot geschreven, razend interessant boek dat alle hoeken van de wereld verkent en door de hele geschiedenis springt. Uiteraard is wiskunde daarbij de rode draad, maar Bellos weet als geen ander wat leuk is voor de geïnteresseerde leek en wat niet.

Als je het boek graag wil hebben, schrijf dan in de comments dat je het graag wil hebben en waarom. (Bijvoorbeeld: "Ja, ik wil het hebben! Ik houd namelijk heel erg van ontraadselen!") Maar eigenlijk maakt het niet uit wat je schrijft: we zwengelen als vanouds de randomgenerator aan om vijf winnaars te kiezen! Reageren moet voor 1 september.

We mogen van Uitgeverij Nieuwezijds maar liefst vijf exemplaren weggeven van De dronkemanswandeling - hoe toeval ons leven bepaalt!

Jeanine en ik hebben het boek tot onze schande nog niet gelezen, maar de beschrijving maakt ons nu al enthousiast.

Toeval en onzekerheid beheersen ons bestaan. Maar waarom begrijpen wij daar dan zo weinig van?

Door de ware aard van het toeval te tonen ontrafelt Leonard Mlodinow psychologische illusies en maakt hij het schijnbaar ondoorzichtige duidelijk: Waaraan danken sommige mensen, van sporthelden en filmsterren tot ondernemers, hun succes? Hoe moet je politieke peilingen of de uitslag van een bloedonderzoek interpreteren? Welke aandelen moet je nemen? Waarvan hangen schoolprestaties af?

Het leven verloopt grilliger en minder voorspelbaar dan we willen geloven. Het is als een ‘dronkemanswandeling’ – een wetenschappelijke term voor de willekeurige beweging van moleculen die al botsend een onvoorspelbare weg afleggen. De dronkemanswandeling is een stimulerende en verrassende gids voor wie onze bedrieglijke wereld beter wil begrijpen.

Natuurwetenschap & Techniek schreef:

Iedere onderzoeker, student of scholier die wel eens met kansberekening in de knoop heeft gezeten, moet dit gewoon lezen. [...] Mlodinow begrijpt hoe hij complexe materie kan omzetten tot begrijpelijke stof. Een leesbare, interessante en zelfs leuke stoomcursus kansberekening is het resultaat. [...] Door spanning op te bouwen in een vraagstuk houdt hij de aandacht vast. En door de getallentoverij te beperken, doorloopt hij een probleem zo helder dat afhaken geen optie is.

Meedoen aan deze verloting is (als altijd) reuzemakkelijk: laat bij dit bericht een reactie achter met je naam en een verzoek om het boek te winnen (bijvoorbeeld: "Lieve wiskundemeisjes, geef mij dit boek!"). Vergeet niet om je email-adres correct in te vullen. Reageren kan tot 1 september zodat alle vakantiegangers ruim de tijd hebben om te reageren. Daarna zwengelen Jeanine en ik random.org aan om vijf winnaars te kiezen.

En off the record...volgende week begint hier nóg een weggeefactie! Houd de site dus goed in de gaten.

Op zoek naar teksten die wetenschap op de een of andere manier goed uitleggen, stuitte ik op het curieuze The First Six Books of Euclid with coloured diagrams uit 1847 (via het zeker aan te raden Envisioning Information van Edward Tufte).

Wiskundige Olivier Byrne dacht dat de bewijzen van Euclides voor veel mensen duidelijker waren als je plaatjes gebruikte en zo min mogelijk tekst. Opvallend is hoe modern zijn platen eruit zien. De onderstaande plaat geeft Byrnes bewijs van Propositie I.15

Als twee rechte lijnen elkaar snijden, dan zijn de overstaande hoeken daarbij gelijk aan elkaar.

Het oorspronkelijke bewijs van Euclides gaat ongeveer zo.

Laat de rechte lijnen AB en CD elkaar snijden in het punt E. Ik zeg dat de hoek CEA gelijk is aan de hoek DEB, en dat de hoek BEC gelijk is aan de hoek AED. Omdat de rechte lijn AE met de rechte lijn CD de hoeken CEA en AED maakt, moet de som van de hoeken CEA en AED gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Ook moet de som van de hoeken AED en DEB gelijk zijn aan twee rechte hoeken, omdat de rechte lijn DE bij het snijden van de rechte lijn AB deze twee hoeken maakt. Maar de som van de hoeken CEA en AED is ook gelijk aan twee rechte hoeken, dus de som van de hoeken CEA en AED is gelijk aan de som van de hoeken AED en DEB. Trek van allebei de hoek AED af. Dan is de overgebleven hoek CEA gelijk aan de overgebleven hoek DEB. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat de hoeken BEC en AED ook gelijk zijn.

De boeken van Byrne zijn dankzij de University of British Colombia compleet online te bewonderen. Vergelijk de plaatjesbewijzen vooral met de oorspronkelijke bewijzen. Wat vinden jullie ervan?

Een hele poos geleden kregen we van Björn Carreyn een mooie wiskundekalender, die hij samen met Filip Geeurickx had samengesteld. Inmiddels is er zelfs al een tweede, hoog tijd dus om er eens aandacht aan te besteden!

De wiskundekalender is bedoeld voor in de klas. Elke maand zijn er drie puzzels ("uitdagingen") op te lossen. Verder wordt elke maand een woord uit de wiskunde taalkundig belicht. Dat is slim gedaan: de achtergrond met de taaltip is een hele maand gelijk, maar een kleiner vel kun je omslaan, zodat de puzzel wel af en toe verandert. De kalender ziet er erg vrolijk uit door de leuke tekeningen van striptekenaar Erwin van Pottelberghe.

Er zijn nu twee kalenders: voor het eerste en tweede jaar van de (Vlaamse) middelbare school. Maar ook zeer geschikt voor Nederland, natuurlijk!

De kalender is te bestellen op internet: hier voor het eerste jaar en hier voor het tweede. De kalender is elk jaar opnieuw bruikbaar: er staan alleen data vermeld en geen dagen. Eigenlijk is de kalender niet bedoeld om als kalender te gebruiken, maar om elke maand wat nieuws in de klas te hangen, zodat de leerlingen niet uitgekeken raken op de muurversiering en steeds wat nieuws hebben om over na te denken.

In de Vector stond een uitgebreider stukje over de eerste kalender die uitkwam, en dat kun je hier lezen (als pdf).