Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Kent u de uitdrukking “Volgens Bartjens…”? Volgens Van Dale betekent ze: “volgens de eenvoudigste beginselen der rekenkunde; zo nauwkeurig mogelijk berekend”, vaak gebruikt in de zin van: als je logisch doorredeneert. De spreekwoordelijke Bartjens was schoolmeester Willem Bartjens (1569 – 1638), die aan het begin van de zeventiende eeuw furore maakte met zijn rekenboek De Cijfferinghe van Mr. Willem Bartjens. Tot in de negentiende eeuw verschenen nieuwe edities van dit boek, generaties kinderen leerden dus rekenen met sommen van zijn hand.

Ook nu staat het rekenen hoog op de agenda’s van de politiek en van de middelbare scholen, want het niveau van de zogenaamde basisvaardigheden (taal en rekenen) moet opgevijzeld worden. Daarom wordt vanaf 2014 een rekentoets afgenomen als verplicht onderdeel van het eindexamen.

De rekentoets is daarmee wel een vreemde eend in de bijt. In alle andere examenvakken wordt namelijk les gegeven op de middelbare school. Rekenlessen zijn er meestal (nog) niet. Toch moeten de scholen hiermee aan de slag. Ze mogen zelf weten hoe ze dat doen. Veel scholen beginnen met jaarlijkse rekentoetsen, en geven daarvoor wat rekenlessen of besteden er in de wiskundelessen extra aandacht aan.

Eigenlijk zou ook in andere vakken extra aandacht besteed moeten worden aan rekenen, juist omdat het een basisvaardigheid is. Rekenen komt natuurlijk overal voor, denk aan scores of tijdverschillen in de gymles, berekeningen met procenten bij economie of bevolkingsdichtheden bij aardrijkskunde.

Datzelfde geldt natuurlijk voor taal. Ik vind het alleen maar vanzelfsprekend dat je als wiskundedocent in proefwerken alle taalfouten aanstreept en in de les let op formuleringen en woordbetekenis. Leerlingen leren behoorlijk wat nieuwe woorden bij wiskunde, en het is belangrijk om verbanden te leggen met woorden die ze al kennen. (Al zouden er mooiere wiskundige termen bedacht moeten kunnen worden dan, om maar een gedrocht te noemen, “relatieve cumulatieve frequentiepolygoon”.)

Tussen wiskunde en taal bestaan wel meer verbanden. In onze taal komen, naast “Volgens Bartjens…”, best wat uitdrukkingen voor waarin getallen een rol spelen. Acht is meer dan duizend, bijvoorbeeld: een mooie ouderwetse uitdrukking die letterlijk natuurlijk helemaal niet klopt. Het is een woordspeling, acht slaat hier niet op het getal, maar op oplettendheid. Oftewel: het is belangrijk om je zaken goed te behartigen, belangrijker dan veel geld.

In zo’n uitdrukking waar “duizend” in voorkomt, betekent duizend meestal gewoon: heel erg veel, meer dan je je kunt voorstellen. Denk aan: ik heb het je al duizend keer gezegd, duizend angsten uitstaan. En als je wil aangeven dat het zelfs nog meer is, zeg je duizend-en-een. Maar ook honderd of een miljoen worden op deze manier gebruikt, honderd in de oudere uitdrukkingen, en een miljoen in de nieuwere. Een soort woordinflatie.

Er zijn meer uitdrukkingen met tellen of getallen. Daarvan gaan er dertien in een dozijn. Hij is een nul. Na veel vijven en zessen. Uitgeteld zijn. Op je tellen passen. Iemand op z’n nummer zetten.

Kortom: de scholen gaan dit jaar flink aan de slag met basisvaardigheden, en niet op zijn elf-en-dertigst, want anders kun je op je vingers natellen dat de boel straks in het honderd loopt.

Zoals jullie misschien wel weten, verschijnt binnenkort ons eerste boek! Op 19 oktober ligt Ik was altijd heel slecht in wiskunde – Reken maar op de wiskundemeisjes in de winkel. Meer informatie staat op de site van Uitgeverij Nieuwezijds. Nu alvast de voorkant én de aankondiging dat we binnenkort hier een aantal exemplaren zullen weggeven aan de trouwe fans van de wiskundemeisjes!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

De afgelopen weken sneuvelde de ene autoruit na de andere. Vooral op snelwegen in de Randstad was het steeds raak. Al snel werd er gespeculeerd over een snelwegschutter, een gek die met een luchtbuks op auto’s zou schieten. Maar er is geen enkel spoor van zo’n schutter gevonden en het Korps Landelijke Politiediensten suggereerde dat de ruiten misschien uit elkaar spatten door steenslag. Op internet klagen mensen al jaren over spontaan gesprongen autoramen. Die ruiten kunnen door allerlei oorzaken kapot springen en dat gebeurt dan ook regelmatig. Op dit moment is elke gespatte autoruit nieuws en zoeken we naar een diepere reden. Terwijl het best toeval kan zijn dat er de afgelopen weken zoveel ruiten achter elkaar sneuvelden.

Om de haverklap gebeurt er namelijk wel iets dat te bijzonder lijkt om toeval te zijn. Wiskundige John Littlewood berekende eens dat je ongeveer eens per maand een wonder kunt verwachten. Hij noemde iets een wonder als het een kans van één op een miljoen had om te gebeuren. Verder nam Littlewood aan dat je per dag ongeveer 8 uur alert was en dat er in die tijd elke seconde iets kon gebeuren. Onder deze voorwaarden zou je eens per 35 dagen een wonder moeten zien. Het is pas raar als er maandenlang helemaal niets uitzonderlijks gebeurt.

Het meest toevallige dat ik ooit meemaakte, gebeurde in 1999. Ik had in die tijd verkering met een jongen die geobsedeerd was door het getal 22. Hij zag het getal overal. Als we door de stad liepen, wees hij om de haverklap een 22 aan op bordjes, kentekenplaten en t-shirts. Ik legde hem uit dat hij overal 22 zag, omdat hij daar zo op lette. Als hij van 37 zou houden, of desnoods van 54, dan zou dát getal hem steeds opvallen. Hij bleef er bij dat er iets was met 22 en dat het zeker geen toeval was dat dit getal zo vaak opdook. Het bleef een discussiepunt tussen ons en op een dag stonden we hierover te kibbelen in de supermarkt. Al mopperend liepen we naar de kassa. Daar moesten we 22,22 afrekenen. Ik zie het bedrag nog verschijnen op het schermpje (en nee, mijn vriend had dit niet uitgeteld). Heel bijzonder, maar iedereen heeft wel iets meegemaakt dat ongeveer even onwaarschijnlijk is. Ik geloofde daarna nog steeds in toeval en niet in geheime krachten van 22.

De kassabon heb ik nog steeds. Dit waren voor mij als 20-jarige de ingrediënten voor een romantische avond: kip siam, chocolademousse en breezers.

Ik heb een hypothese hoe het komt dat we zo graag een diepere reden zoeken achter min of meer toevallige gebeurtenissen. In verhalen die mensen elkaar vertellen speelt toeval geen rol, alle losse eindjes worden weggelaten. In romans en films gebeurt niets zomaar. Twee mensen die tegen elkaar opbotsen? Dat moet ware liefde zijn. En als er in de eerste akte een geladen geweer aan de muur hangt, dan kun je er op rekenen dat daarmee geschoten gaat worden. Heel anders dan in het echte leven waar allerlei dingen zomaar gebeuren.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Sommige mensen hebben de onbedwingbare neiging om een bizar record op hun naam te zetten, zoals je kunt zien in Guinness World Records (denk aan: een zo groot mogelijk ukelele-ensemble, zoveel mogelijk Big Macs eten, of de grootste smoothie brouwen). Niets mis met een beetje competitiedrang!

Eerder dit jaar verbraken leerlingen uit Massachusetts onder leiding van hun wiskundedocent ook een record: ze vouwden een vel papier dertien keer dubbel. Nou ja, een vel: vier kilometer wc-papier. Als je denkt dat dat makkelijk is, probeer dan maar eens hoe vaak je de voorpagina van de Volkskrant kunt dubbelvouwen.

Bij elke vouw wordt het resultaat twee keer zo dik. Het herhaaldelijk dubbelvouwen van een vel papier is dus een mooi voorbeeld van exponentiële groei: in elke stap wordt de dikte van het resultaat met hetzelfde getal vermenigvuldigd, in dit geval met 2.

Een vel papier is ongeveer 0,1 mm dik. Na één keer vouwen is het resultaat dus 0,2 mm, na twee keer 0,4 mm, en na dertien keer is het resultaat mm dik, ruim tachtig centimeter. En daarna gaat het hard, want na nog een keer vouwen heb je mijn lengte al bereikt, na twintig keer vouwen ga je over de honderd meter, en na 51 keer zijn we voorbij de afstand van de aarde tot de zon.

De groei waar we de beste intuïtie voor hebben is lineaire groei, waarbij er in elke stap (dus per uur, dag, of jaar, bijvoorbeeld) evenveel bij komt. Het verschil wordt duidelijk als we naar een hypothetisch petrischaaltje met een bacterie kijken. Als die bacterie niet deelt, maar je stopt er elk uur een bacterie bij, dan heb je na twintig uur 21 bacteriën. Dat is lineaire groei.

Maar in feite verloopt de groei van bacteriën exponentieel. Zolang er geen tekort aan ruimte of voedsel is, delen de bacteriën en verdubbelt de populatie binnen een bepaalde tijd, zeg een uur. Dus na één uur zijn er twee bacteriën, na twee uur vier, enzovoorts, en na twintig uur zijn er maar liefst bacteriën.

In beide situaties zal het schaaltje op een bepaald moment vol zijn, al duurt dat bij de lineaire groei veel langer. Als je een twee keer zo groot schaaltje hebt, kunnen de lineair groeiende bacteriën daar twee keer zo lang mee doen, maar de exponentieel groeiende bacteriën hebben daar maar één extra uur profijt van!

Ook geld op een spaarrekening groeit exponentieel, zij het veel langzamer. Als je geld op de bank zet tegen een rente van 2 procent, dan wordt het bedrag elk jaar met 1,02 vermenigvuldigd. Na 35 jaar is je geld verdubbeld. (Helaas houdt de inflatie nu bijna gelijke tred met de rente.)

En nu blijkt meteen ook hoe bizar hoog de 18,5 procent rente is die Griekenland over zijn leningen zou moeten betalen als het niet op noodleningen kon teren. Elk jaar wordt de schuld 1,185 keer zo groot, dus als de schuld niet afgelost wordt, is het bedrag na tien jaar maar liefst , dus bijna vijfeneenhalf, keer zo groot geworden!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Deze week gaf ik samen met Bas Haring een zomercursus over exacte wetenschap. De laatste dag praatte ik over speltheorie. Eigenlijk had ik weinig met dat onderwerp, maar Bas overtuigde me ervan dat studenten van speltheorie houden. Tijdens het voorbereiden werd ik steeds enthousiaster, het vakgebied bleek veel meer dan de de saaie berekeningen die ik tijdens mijn studie moest maken.

Een prachtig voorbeeld is de beste strategie voor een spel dat te goed klinkt om waar te zijn. Een superrijk iemand nodigt je uit om tegen hem te spelen. Jullie leggen tegelijk een euro op tafel. Als er een kop en een munt naar boven liggen, moet jij hem één cent betalen. Als er twee munten naar boven liggen, krijg jij één cent. Maar (en nu komt het), als er twee koppen op tafel liggen, win je een miljoen euro. Een miljoen! Jullie gaan dit spel héél erg vaak achter elkaar spelen en je ziet de miljoenen al binnen stromen.

Wat is nu je beste strategie? Om kans te maken op een miljoen moet je kop spelen, dus je overweegt gewoon altijd kop te doen. Maar als je tegenspeler steeds munt speelt (zo loopt hij geen risico om een miljoen te verliezen), dan ben jij elke keer één cent kwijt. Op den duur wordt dat toch vervelend. Daarom is het misschien beter om consequent munt te spelen en steeds één cent te winnen. Zo maak je winst, al is het bedrag wat teleurstellend vergeleken bij die miljoenen waar je op hoopte.

Speltheorie zegt dat de beste strategie voor zowel jou als je tegenspeler is om bijna altijd munt te spelen en ongeveer één op de 100 miljoen keer kop. Je zou verwachten dat het voor je tegenstander het beste is om nóóit kop te spelen, hij zet daarbij immers een miljoen op het spel. Maar als jij zeker weet dat je tegenstander altijd munt speelt, zul jij ook altijd munt spelen en zal je bij elk spel een cent winnen. Daarom gooit je tegenstander er (heel af en toe) een kop tussendoor.

Dit soort strategieën waarbij je soms iets doet dat nogal dom lijkt, komen vaak voor. Een werper bij honkbal heeft een beste manier van gooien, maar als hij die altijd gebruikt, weet de slagman precies wat er gaat komen. Daarom zal hij af en toe een andere, minder goede, aangooi gebruiken. Of denk eens aan Michael Chang die bij de finale van Roland Garros in 1989 ineens een lullig boogballetje speelde. Zijn tegenstander was zo verbaasd dat hij niet goed reageerde. (Het filmpje staat hier, mag helaas niet embed worden.)

Het mooiste voorbeeld komt uit de biologie. Er is een gen dat je immuun maakt voor malaria. Tenminste, als je één zo’n gen hebt. Als je de pech hebt om twee van die genen te erven, krijg je de dodelijke ziekte sikkelcelanemie. Je zou denken dat zo’n gevaarlijk gen door natuurlijke selectie snel verdwijnt, maar het komt nog steeds voor in gebieden waar malaria heerst. Het voordeel van de bescherming tegen malaria weegt op tegen de zeldzame sikkelcelanemie. Het lijkt wel alsof zelfs de natuur van speltheorie houdt.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een van de grootste problemen in de wereld is het verdelen van dingen. Of het nou om land, olie of cake gaat: eerlijk delen is een uitdaging.

Laatst zat ik bij vrienden te eten toen hun drie-jarige dochtertje geen zin meer had in haar broodje. Haar vader zei: “Geef mij de helft maar, dan moet jij de rest opeten.” Het meisje was slim genoeg om het broodje in twee ongelijke stukjes te delen: een klein stukje voor haarzelf, een groot stuk voor haar papa.

“Als je met twee mensen iets eerlijk moet verdelen,” vertelde ik haar toen, “gaat het zo: jij verdeelt het broodje in twee stukjes, en papa mag kiezen welk stukje hij wil!” Klein als ze is snapte ze wel dat dat in dit geval in haar nadeel uit zou pakken.

Deze methode werkt ook als het om iets begeerlijks gaat, bijvoorbeeld een cake. Persoon A snijdt hem in tweeën op een manier die hij eerlijk vindt, en persoon B mag een stuk kiezen. Allebei zijn ze tevreden: A vindt de verdeling eerlijk, B vindt dat hij minstens de helft heeft (hij kiest tenslotte het – in zijn ogen – grootste stuk).

Hier blijkt al dat mensen een verschillend idee van waarde kunnen hebben. Als de een het eerlijk doorgesneden vindt, kan de ander vinden dat een van de stukken groter is. Misschien zit er ook wel een kers of een stukje marsepein op de cake. Degene die het dolst op kersen of marsepein is, zal tevreden zijn met een kleiner stukje, als het lekkere extraatje er maar op zit. En de ander krijgt dan gewoon wat meer cake. Allebei denken ze dat ze het beste af zijn.

Gaat dit ook met drie mensen? Nee: als persoon A de cake in drieën deelt, en persoon B kiest eerst, dan kan het gebeuren dat B het stukje genomen heeft dat C ook het liefst zou willen. C krijgt misschien een stuk dat hij minder dan een derde van de cake vindt. Niet eerlijk dus, en zeker niet afgunst-vrij.

Toch kan eerlijk delen wel, bijvoorbeeld zo: persoon X beweegt langzaam met een mes van links naar rechts over de cake. Op het moment dat iemand (A) vindt dat hij bij een derde gekomen is, roept hij “stop!” X snijdt precies op die plek de cake door. Persoon A krijgt het afgesneden stukje (en is tevreden). B en C vinden allebei dat A een derde of minder gekregen heeft (anders hadden ze namelijk zelf eerder “stop!” geroepen), ze geloven dus beiden dat het resterende stuk minstens twee derde is, en dat stuk verdelen ze met de al genoemde “ik snij, jij kiest”-methode.

Deze manier is eerlijk, maar niet afgunst-vrij: A kan vinden dat B en C het resterende deel oneerlijk verdeeld hebben, waardoor bijvoorbeeld C een stuk kan hebben dat volgens A groter is dan zijn eigen deel.

Er bestaan theoretisch wel afgunst-vrije verdelingen, voor willekeurig veel personen. Alleen: bij vijf of meer mensen weet je niet van tevoren hoe vaak je moet snijden! Voor wie van kruimels houdt…

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Volgens Shakespeare zou een roos met elke andere naam net zo lekker hebben geroken, maar wiskundigen denken toch liever twee keer na voordat ze iets een naam geven. Vooral bij notatie die veel gebruikt gaat worden is het fijn als hij slim gekozen is. Anders zit je daarna jaren vast aan iets onhandigs. Iedereen die wel eens heeft geworsteld met driedubbele subscripts weet wat ik bedoel. Een ander voorbeeld van een ongelukkige notatie is het uitroepteken om het begrip faculteit aan te geven, 5! staat bijvoorbeeld voor 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Deze notatie wordt al sinds 1808 gebruikt, maar leidt nog steeds tot verwarring. Mijn moeder vroeg eens na het lezen van een artikel waarin ik 5! gebruikte waarom ik die 5 uitschreeuwde. Al in 1842 klaagde wiskundige Augustus De Morgan dat het barbaars was om in de wiskunde symbolen te introduceren die in onze gewone taal een duidelijke betekenis hebben. Hij snapte dan ook niet niet waarom schrijvers het uitroepteken op deze manier gebruikten, “[it] gives their pages the appearance of expressing surprise and admiration that 2, 3, 4, etc., should be found in mathematical results.”

Gelukkig zijn er ook voorbeelden van notatie die juist heel goed gekozen is. Neem het =-teken, de twee streepjes die aangeven dat het één gelijk is het ander, bijvoorbeeld x =1729. Over dit alledaagse teken is ontroerend goed nagedacht. In 1557 (toen Shakespeare nog niet eens geboren was) introduceerde Robert Recorde het teken om niet tot vervelens toe de woorden “is gelijk aan” te hoeven herhalen. Hij koos voor twee parallelle lijnen van lengte één “bicause noe 2 thynges, can be moare equalle” (omdat geen twee dingen meer gelijk aan elkaar kunnen zijn). Prachtig toch?

Het fragment uit het boek The Whetstone of Witte waarin Recorde het =-teken (of eigenlijk het ===-teken) introduceert.

Het duurde nog een hele tijd voor het =-teken echt algemeen geaccepteerd was. Er waren allerlei notaties in omloop. Sommige mensen gebruikten twee verticale strepen || (waar Recorde weinig bezwaar tegen zou kunnen hebben, want ook twee staande strepen lijken zeer op elkaar) of ae van het Latijnse aequalis (gelijk). Pas toen grote namen als Newton en Leibniz rond 1700 de twee liggende streepjes gebruikten, raakte het =-teken echt in zwang.

Robert Recorde introduceerde trouwens ook het woord zenzizenzizenzic om achtste machten te noteren. Dat is minder krankzinnig dan het lijkt. In die tijd was er nog geen makkelijke manier om machten te noteren, alles ging met woorden. Fibonacci gebruikte in 1202 al censo di censo voor de vierde macht, censo is Italiaans voor kwadraat. Zenzic is de Duitse versie censo en een achtste macht is te schrijven als het kwadraat van een kwadraat van een kwadraat. Vandaar dus zenzi-zenzi-zenzic. Helaas is zenzizenzizenzic nooit een succes geworden. Misschien kan een rozenkweker een roos deze naam geven, iets zegt me dat zo’n roos nog lekkerder zou ruiken.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

De fascinatie voor voorouders is groot, zoals te zien is aan het grote aantal websites over stamboomonderzoek, en in het tv-programma “Verborgen Verleden”. Daarin gaan bekende Nederlanders op zoek naar voorouders waar een interessant verhaal over te vertellen is. En dat lukt meestal wel, want iedereen heeft een heleboel voorouders, dus vaak ook wel een interessante.

De voorouders van van één persoon kun je schematisch in een zogenaamde “kwartierstaat” zetten. De persoon in kwestie komt helemaal in z’n eentje onderaan. Er gaan twee lijntjes naar boven, naar zijn ouders, en van elke ouder gaan ook weer twee lijntjes naar boven, enzovoort. Op elke horizontale lijn staan dan de voorouders uit een generatie.

Kwartierstaat (plaatje van wikipedia).

Elke generatie verdubbelt het aantal voorouders: iedereen heeft twee ouders, die hebben elk ook twee ouders, enzovoorts. Iedereen heeft vier grootouders, acht overgrootouders, zestien betovergrootouders, 32 betbetovergrootouders, ….

De aantallen voorouders worden snel heel groot. In de tiende generatie boven u zitten al 2¹⁰ = 1024 mensen, in de twintigste 2²⁰ =1.048.576, meer dan een miljoen dus, en in de dertigste generatie maar liefst 2³⁰ = 1.073.741.824, meer dan een miljard.

Laten we aannemen dat een nieuwe generatie voortbrengen zo’n 25 jaar duurt, dan leefde de tiende generatie voor ons ongeveer 250 jaar geleden, de twintigste 500 en de dertigste zo’n 750 jaar. Dat betekent dus dat er in de middeleeuwen ongeveer tegelijkertijd meer dan een miljard voorouders van onszelf moeten hebben rondgelopen. En een generatie eerder zelfs nog twee keer zoveel, enzovoorts. Maar er waren in die tijd helemaal niet zoveel mensen! Dus dat is onmogelijk. Hoe zit dat?

De enige verklaring is dat er in iedere kwartierstaat overlap zit. Uiteindelijk, over vele generaties bekeken, komt het in elke kwartierstaat herhaaldelijk voor dat één en dezelfde persoon (en daarmee natuurlijk meteen al zijn voorouders ook) optreedt als voorouder van twee verschillende latere voorouders. Dat fenomeen heet “kwartierherhaling”. Het gebeurt als mensen getrouwd zijn met familieleden. Denk aan neef-nicht-huwelijken om de bezittingen in de familie te houden, maar ook zonder het zelf te weten kunnen mensen trouwen met (verre) familieleden. Zeker als je voorouders zich in een beperkt gebied ophielden, is de kans op kwartierherhaling groot. En niet alleen groot, het is zelfs onvermijdelijk, zoals we net zonder ook maar enig stamboomonderzoek te doen hebben aangetoond.

En is dat gek, die kwartierherhaling? Helemaal niet, eigenlijk. Bedenk maar eens hoe moeilijk het is om erachter te komen dat iemand verre familie van je is. Nou ken ik toevallig een aantal van mijn achterneven en –nichten, want die woonden in het dorp waar ik ook opgroeide. Maar een stap verder? Dan gaat het over de achterkleinkinderen van broers of zussen van overgrootouders… Laat staan als het om gezamenlijke voorouders in nog veel meer generaties terug gaat! Daar zul je niet snel achter komen. Alleen misschien als iemand dezelfde achternaam heeft. En aangezien in iedere generatie meestal maar één mannelijke voorouder deze achternaam draagt, zul je het overgrote deel van je heel verre familieleden nooit als familie herkennen als je ze tegenkomt. Of als je met ze trouwt.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik laatst jarig was, trakteerde ik in de koffiepauze op koekjes. Naast mijn schaal stond nóg een traktatie: er was dus een collega op dezelfde dag jarig als ik. Wat is de kans dat dat gebeurt?

Eerst nog even een andere vraag: hoe groot moet een groep zijn om zeker te weten dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn? Pas in een groep van 366 mensen weten we dat echt zeker: er zijn 365 mogelijke verjaardagen (we vergeten schrikkeldagen voor het gemak even voor de rest van deze column) en meer mensen dan dat, dus er zijn minstens twee mensen die een verjaardag delen.

Maar ook in veel kleinere groepen zijn vaak twee mensen op dezelfde dag jarig. Al vanaf 23 mensen is de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben meer dan 50%. Om een gevoel te krijgen of die orde van grootte klopt: denk maar eens aan een klas waar u in gezeten heeft, waren daarin twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn basisschoolklas wel (en nee, dat was geen tweeling). Zijn er in uw familie twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn familie is dat zo: mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn tante.

Hoe kunnen we die kans uitrekenen? We beginnen eenvoudig met een groepje van twee mensen, Alice en Bob. De kans dat in dat groepje twee mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/365. Het maakt namelijk niet uit wanneer Alice jarig is, de kans dat Bob dezelfde verjaardag heeft is 1/365.

Voor drie personen (Alice, Bob en Claire) is een andere manier handiger. De kans dat alle drie de verjaardagen verschillend zijn is eenvoudiger uit te rekenen dan de kans dat twee of drie verjaardagen op dezelfde datum vallen. Voor Alice zijn alle 365 verjaardagen toegestaan. De kans dat Alice en Bob op verschillende dagen jarig zijn, is 364/365, want voor Bob mag alleen de verjaardag van Alice niet. De kans dat Claire’s verjaardag ook nog verschilt van die twee gegeven dagen is dan gelijk aan 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben is dus gelijk aan: , ruim 99%. De kans dat minstens twee van de drie dezelfde verjaardag hebben, is dus maar klein, minder dan 1%.

Die kans wordt snel groter wanneer de groep groter wordt. Bij 23 personen is de kans dat alle verjaardagen verschillen volgens bovenstaande redenering gelijk aan , dus dan is de kans dat minstens twee van hen dezelfde verjaardag hebben inderdaad iets meer dan 50%.

En wat is de kans dat een collega specifiek mijn verjaardag deelt? Ik heb ongeveer 140 collega’s. De kans dat ze allemaal niet op mijn verjaardag jarig zijn is: . De kans op nog een jarige is dus ongeveer 32%.

Wie graag onverdeelde aandacht krijgt, kan zijn verjaardag dus maar beter in relatief kleine kring vieren, anders is de kans aanwezig dat er gezongen wordt: “Er zijn er twee jarig, hoera, hoera!”

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Toen ik twee weken geleden over het drie-deuren-probleem schreef, was ik eigenlijk bang dat het verhaal te bekend was en dat de Volkskrant-lezers in koor zouden roepen: “Wisselen natuurlijk!” Voor wie even kwijt is wat het probleem is, een korte herhaling. Een kandidate mag kiezen uit drie deuren, achter één deur staat een auto, achter de twee andere staan geiten. Ze kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent één van de andere deuren en laat zien dat daar een geit staat. (Merk op dat hij altijd een geit kan tonen, welke deur er ook gekozen is.) Dan biedt hij de kandidate aan dat ze nog mag wisselen naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Zoals ik hier vorige keer schreef, is het verstandig om te wisselen. De kans dat de auto achter de deur van de eerste keus zit is ⅓ en de kans dat de auto achter de andere dichte deur zit is ⅔.

Veel lezers geloofden hier niets van, ik kreeg een recordaantal emails van lezers die dachten dat beide gesloten deuren een kans van ½ hadden. De krant plaatste een brief waarin zelfs werd beweerd dat de overgebleven deuren elk een kans van ⅔ hadden, wat weer een nieuwe regen van reacties opleverde. En op de twee brieven op de opiniepagina de dag daarna kwam weer een hele reeks mails binnen. Laat ik het daarom nog eens op een andere manier proberen uit te leggen.

Ook al lijken twee dingen hetzelfde, de kansen hoeven niet 50/50 zijn. Een collega van mij demonstreerde dit door me te laten raden wanneer hij jarig is. Ik gokte op 8 oktober en hij antwoordde dat hij op 8 oktober óf 18 augustus jarig is. Wilde ik dan bij mijn eerste gok blijven, of ging ik toch liever voor 18 augustus? In dit geval zal (hopelijk) niemand denken dat de beide data precies dezelfde kans hebben. Zoiets gebeurt ook bij het drie-deuren-probleem.

Eerst nog iets over de verborgen aannames. Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten. Iets subtieler is dat we aannemen dat als de presentator uit twee deuren met geiten kan kiezen, hij er willekeurig één kiest (en bijvoorbeeld niet altijd de dichtstbijzijnde). Onder deze voorwaarden geeft wisselen een twee keer zo grote winkans.

Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat, toch?

Als de kandidate één van de drie deuren kiest, dan heeft ze ⅓ kans op de auto en die kans blijft hetzelfde als ze niet wisselt. Bij wel-wisselen zijn er drie mogelijkheden:

1. Ze kiest geit A, presentator toont geit B, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest geit B, presentator toont geit A, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest de auto, presentator toont een geit, ze wisselt naar de andere geit.

Ze heeft dus een kans van 2 op 3 om te winnen als ze wisselt.

Wie het nu nog niet gelooft (en ik weet zeker dat er weer mensen tandenknarsend van ergernis achter de krant zitten), kan het eens domweg uitproberen. Verschillende lezers suggereerden om het spel thuis honderd keer na te spelen met een huisgenoot, ondoorzichtige bekers en muntjes. Bij wisselen zul je ongeveer 67 keer winnen, bij niet-wisselen 33 keer. Hoe vaker je speelt, hoe duidelijker de kansverdeling wordt. Voor wie geen huisgenoot (of geduld) heeft: probeer de online-simulatie van de New York Times. Zien is geloven. Eén lezer zag trouwens mogelijkheden om geld te verdienen door tegen overtuigde niet-wisselaars te spelen. Als ik een casino had zou ik dat idee zeker gebruiken.