Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Leuke breuken


In Algemeen, door wiskundemeisjes

Op MathTrek staat een artikel Designer Decimals over leuke breuken. Waarschijnlijk kennen jullie allemaal de reeks van Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,... waarbij elk getal gevonden wordt door de twee vorige in de reeks bij elkaar op te tellen. Deze reeks duikt op verschillende plaatsen in de natuur op, speelt een kleine rol in de Da Vinci Code en heeft allerlei interessante eigenschappen. Maar daarover een andere keer meer, al kon ik het niet laten om vast dit plaatje te laten zien...

Bloem met Fibonacci-aantal blaadjes

Wat ik vandaag voor het eerst las, is dat er breuken bestaan die de Fibonacci-reeks genereren. Neem als eerste breuk 100/89 = 1.1235955056... en je ziet de eerste vijf Fibonacci-getallen 1,1,2,3 en 5 in de decimalen tevoorschijn komen. Als je 10000/9899 = 1.0102030508132134559046368... gebruikt, dan krijg je de eerste tien Fibonacci-getallen (waarbij elk getal twee plaatsen gebruikt). In het algemeen genereert de breuk (102m)/(102m-10m-1) alle Fibonacci-getallen die uit minder dan m+1 cijfers bestaan, behalve de grootste (zie ook deze pdf-file over Fibonacci breuken). Wat een leuke breuken!
(Ionica)

3 reacties op “Leuke breuken”

  1. Albert Hendriks:

    Er wordt genoemd dat de fibonacci reeks in verschillende plaatsen in de natuur opduikt. Dat is een hardnekkige mythe. Zo zouden verhoudingen tussen bepaalde onderdelen van de mens de gulden snede zijn (welke te maken heeft met de fibonacci reeks) en zo ook verhoudingen tussen bepaalde onderdelen van tempels etc. Ik heb een keer een praatje van een wiskundige gezien die dit heeft onderzocht, en in principe kun je overal elk getal uit halen. De manier waarop de gulden snede bij mensen wordt gevonden is volstrekt willekeurig: het was zoiets als de verhouding tussen de afstand van navel tot teen en de afstand van teen tot hoofd. Bij tempels was het nog erger, de afstand van de linkerpilaar tot de tweede van rechts, en dat soort onzindingen.

  2. arjen:

    Het opduiken van de Fibonacci-rij in de natuur is niet altijd een mythe; bijvoorbeeld in de aantallen bloemblaadjes aan een bloem of op bepaalde manieren in het aantal zaden in een zonnebloem.

    In deze gevallen is kom je de Fibonacci-getallen niet alleen in de observaties tegen, er is ook een reden waarom je ze tegenkomt. Dit heeft te maken met het feit dat de gulde snede het getal is dat het slechtst te benaderen in met breuken.

  3. Rogier:

    Deze breuken zijn mooi te verklaren met "genererende reeksen". Neem F(x) = \Sum_i f_i x^i, waar f_i de fibonacci getallen zijn. Je kan nagaan dat F(x) = 1/(1-x-x^2), en als je hier x=10^(-m) invult krijg je je breuken. En je krijgt ook gelijk de decimale ontwikkeling!

    Mooie vondst!

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.