Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Stemverdeling Europese Unie


In Nieuws, door wiskundemeisjes

Gisteren zijn de verschillende landen van de Europese Unie het uiteindelijk eens geworden over een nieuw verdrag. Polen wilde eigenlijk een andere stemverdeling, maar heeft op het laatste moment toch ingestemd met een ander voorstel. Terwijl Polen wiskundig gezien helemaal gelijk had! Polen had voorgesteld om het aantal stemmen van een land te baseren op de vierkantswortel van de bevolking. Tom Koornwinder legt in het goed leesbare De stemverhoudingen in de Europese ministerraad (pdf) uit waarom dat een eerlijk systeem is. De wet van Penrose speelt hierbij een belangrijke rol:

Je zult geneigd zijn te denken: als er in land A 10 keer zoveel kiezers zijn als in land B,
dan heeft een kiezer in land A maar 1/10 keer zoveel invloed op de uitslag van het referendum als een kiezer in land B. Verrassenderwijs zegt de wet van Penrose (dit is Lionel Penrose, vader van de bekende Engelse wis- en natuurkundige Roger Penrose) dat dit toch wat gunstiger uitpakt voor een kiezer in het grote land: de kiezer in land A heeft 1 /√10 = 0,32... zoveel invloed op de einduitslag als in land B.

Polen

Polen voerde trouwens ook een merkwaardig argument aan om meer stemmen te krijgen in de EU:
Polen had donderdag nog gepleit voor een zwaardere stem in de EU met het argument dat het in de Tweede Wereldoorlog met 6,5 miljoen doden een kwart van zijn bevolking had verloren. Was dat niet gebeurd, dan had het nu meer inwoners gehad en dus een zwaardere stem in de EU (nu.nl).
(Ionica met dank aan Scientist of the Invisible)

24 reacties op “Stemverdeling Europese Unie”

  1. Jos:

    "Terwijl Polen wiskundig gezien helemaal gelijk had!" Maar wat wiskundig gezien een eerlijk systeem is, hoeft buiten de wiskunde niet te gelden. Dat je vanuit een aantal aannames tot een bepaald systeem komt (zoals hier het aantal stemmen baseren op een vierkantswortel) dat in zekere zin optimaal is laat precies zien "dat je vanuit ... zekere zin optimaal" zien, niet meer en niet minder. Of de aannames aanvaardbaar, goed of wat dan ook zijn, dat bepaalt de buitenwereld. Een wiskundige dient dat in zijn uitspraken duidelijk te maken, zodat niet-wiskundigen dit soort uitspraken goed op waarde kunnen schatten. Dat geldt trouwens voor elke wetenschapper.

  2. Ionica:

    Daarom gebruikte ik ook precies die woorden "wiskundig gezien". Verder denk ik dat aannames als "elke burger in Europa moet evenveel invloed krijgen" nogal redelijk zijn. Het probeem met dit soort systemen ligt volgens mij minder in de aannames, dan in het feit dat veel politici en beleidsmakers al schrikken bij het woord vierkantswortel.

  3. Marco:

    Ik denk dat vooral grote landen schrikken van het woord vierkantswortel. Ieder land zal immers proberen zijn eigen macht zo groot mogelijk te maken/houden.

    Het probleem ligt volgens mij wel bij de aannames, maar niet bij het soort aannames in de reactie van Ionica. Aannames over het doel van je systeem, zoals "elke burger in Europa moet evenveel invloed krijgen" zijn het probleem niet, maar aannames over het stemgedrag van andere mensen zijn al snel dubieus. Het model dat tot vierkantswortels leidt gaat er bijvoorbeeld van uit dat alle burgers (behalve jijzelf) onafhankelijk en volstrekt willekeurig (met 50%/50% kansen) stemmen.

  4. Marco:

    Er was ooit eens een land dat letterlijk geen invloed had. Ik denk dat het Luxemburg was, maar weet niet of het over de EU ging. Wat alle andere landen ook stemden, de stem van dit land kon NOOIT de doorslag geven! Het stemresultaat was compleet onafhankelijk van wat dit land stemde. Volgens mij kwam het uit een speltheoriedictaat. Misschien kan ik het nog wel vinden als ik weer thuis ben (over drie weken)

  5. Rogier:

    Het gaat hier om een verdeling van macht, en dat is een politieke kwestie. Vandaar dat de Tweede Wereldoorlog er ook weer bijgehaald wordt. Maar als je het formuleert als een wiskundige vraag, is er een elegant wiskundig antwoord, wat bewijsbaar "eerlijk" is.

    Het is erg jammer dat politici en journalisten dichtklappen bij het horen van "vierkantswortel", maar nu hebben ze tot 2017 om er over na te denken. Volgens mij hebben ze het nog niet eens geprobeerd, en het Pools/Zweedse voorstel gezien als onderhandelingstactiek.

    De beste (speltheoretische) mate van macht is niet welk percentage van de stemmen je hebt, maar van welk deel van de mogelijke meerderheden jij een beslissende stem hebt. (We hebben het hier niet over tankdivisies). Daarvan was Luxemburg bij het Verdrag van Rome een voorbeeld: ze hadden meer stemmen/inwoner dan welk ander land, maar geen enkele invloed op de meerderheden. Voor een kiezer in een land met N inwoners is deze macht--de Banzhaf index-- evenredig met 1/Sqrt(N).

    De Penrose methode zorgt ervoor dat alle kiezers uiteindelijk evenveel invloed hebben op Europese besluiten, ook al hebben Maltezers meer invloed op hun regering dan Duitsers. Je kan bewijzen dat het werkt, maar je kan ook aanvoelen dat je die Sqrt(N) weg moet vermenigvuldigen... en dan moet het quorum (hoeveel procent je nodig hebt om een besluit te nemen) nog vaststellen.

    Zoals je ziet kan ik me er wel druk om maken. Dan heeft de wiskunde eens een elegant en heldere oplossing voor een alledaags probleem, wordt het door de politiek en de pers afgedaan als "nog een mening" of "te abstract voor de praktijk".

  6. Gieljan:

    Niet alleen Polen, ook Nederland had geprofiteerd van de vierkantswortel-variant. Er spelen natuurlijk meer zaken mee dan de zuivere speltheorie. Het VK, maar ook Frankrijk zijn sterk in voordelen uit het vuur slepen die vanuit het gelijkheidsprincipe gezien compleet onzinnig zijn. Maar ja, dat is nou politiek!
    (Even spammen: het Kennislinkartikel waarnaar ik link vertelt nog wat meer over Koornwinder's analyse.)

  7. Jos:

    Naast de hierboven genoemde aannamen viel mij het meest het gebruik van de term "invloed" op. Eerst wordt in het stuk aangetoond dat met een kans evenredig met z= 1/wortel(aantal inwoners) een stemming in (bijna) gelijk spel eindigt. Vervolgens wordt dan gezegd: "Een burger [...] heeft [...] een invloed op de uitslag die evenredig is met z [...]". Hier wordt verder mee gerekend. Maar waarom is die invloed evenredig met z? Waarom niet met bijvoorbeeld z^2? "Invloed" is wiskundig niet gedefinieerd. Laat staan dat het in wiskundige zin overeenkomt met dat in alledaagse zin (buiten de wiskunde). Wat zou moeten als de wiskunde iets onomstotelijks beweert over de alledaagse werkelijkheid. Maar misschien zie ik iets over het hoofd.

    Verder moet je denk ik uitkijken dat je niet te ver gaat afwijken van de 1 stem per inwoner. Het lijkt me een instabiele situatie als een groep van zeg 10 miljoen die voor iets is gelijk krijgt, terwijl een veel grotere groep (50 miljoen?) er tegen is.

    Wat me trouwens opviel was dat het verdrag van Nice aardig dicht in de buurt komt van het voorstel van de 2 Polen.

    Tenslotte over de schrikkende politici en beleidsmakers: dit stuk gaat verder dan een vierkantswortel. De afleiding is ingewikkelder, en het resulterende tegen-intuitieve resultaat is daardoor niet gemakkelijk te verdedigen.

  8. Marco:

    Jos, wat ze bedoelen met "invloed" is de kans dat jouw stem het verschil maakt tussen het aannemen van een wet en het afwijzen ervan, onder alle aannamen in het model. Een miniscuul getal dat ze voor alle inwoners gelijk proberen te maken.

  9. Jos:

    Marco, bedankt voor je toelichting. Je hebt gelijk, met enkele kanttekeningen. Het is niet "jouw stem" (dit wordt in het artikel gesuggereerd), maar "een enkele stem", denk ik. En de kans dat een stem een verschil maakt (uit jouw stukje) is gelijk aan de kans dat er een (bijna) gelijk spel situatie optreedt (uit het mijne). En mijn vraag waarom precies deze kans voor "invloed" gekozen is blijft staan. Dit zie ik ook als een aanname.

  10. Wicky:

    Het is niet zozeer een aanname als wel een operationalisering van het begrip "invloed". Je kunt het probleem ook anders formuleren. Je kunt bijvoorbeeld eisen dat alleen die voorstellen door de raad worden aangenomen die ook zouden worden aangenomen als je een referendum in de hele EU zou houden en alle stemmen voor en tegen op zou tellen. Ook dan komt er een weging uit met de wortel van het aantal inwoners.
    Overigens is de kans dat één stem de doorslag geeft weliswaar klein, maar niet zo astronomisch klein als je misschien intuitief zou verwachten. Bij tien miljoen stemmers is hij iets groter dan 1/4000.

  11. Wicky:

    Ik geloof dat ik het in mijn vorige reactie iets te sterk geformuleerd heb. De stemresultaten van de raad moeten die van een referendum zo veel mogelijk benaderen.

  12. Jos:

    Wicky, je taalgebruik, "een operationalisering" i.p.v. "de ...", verraadt al dat je hier een keuze maakt. Een aaname dus. Na je reactie op je voorbeeld begrijp ik je voorbeeld niet meer.

  13. Wicky:

    Met "operationalisering" bedoel ik een exacte definitie van "invloed", die je in een wiskundig model kunt gebruiken. Dat is wel een keuze, maar geen aanname, lijkt me. Je kunt je misschien de vraag stellen of de Penrose-definitie overeenkomt met wat je intuitief onder invloed bij een verkiezing verstaat. Mij lijkt van wel.
    Het criterium voor optimale weegfactoren in het "Poolse" model is dat je de invloed, aldus gedefinieerd, voor alle EU-burgers gelijk wilt maken. Wat ik hierboven bedoelde was dat je ook een ander criterium zou kunnen kiezen: dat de uitslag van EU-raadsbeluiten zoveel mogelijk overeenkomen met de mening van de meerderheid van alle burgers opgeteld (wat Amerikanen de "popular vote" noemen). Technisch: welke gewichten minimaliseren de verwachtingswaarde van het verschil tussen die twee. Je kunt laten zien dat er (onder een bepaalde aanname, zie onder) ook in dit geval een weging met wortel(#stemgerchtigden) uit komt.

    Overigens ben ik de afgelopen week wel enigszins van mening veranderd over dit onderwerp. Aanvankelijk ergerde ook ik mij aan die ongecijferde politici die zich (al dan niet uit machtspolitieke overwegingen) niets aantrokken van een exacte analyse van het probleem. Wat me ook erg stoorde was het feit dat de inhoudelijke discussie de (niet-wiskundige) pers in het geheel niet haalde. Misschien heb ik wat gemist, maar afgezien van Ionica's stukje in de NRC-wetenschapsbijlage heb ik er in de Nederlandse pers niets over gezien (in sommige buitenlandse bladen heeft wel wat gestaan).
    Bij nader inzien lijkt echter het statement dat "de wiskunde een elegante en heldere oplossing heeft" wel wat kort door de bocht. Er zit namelijk wel degelijk een belangrijke aanname in het model, en wel dat alle stemmen statistisch onafhankelijk zijn, en dus ongecorreleerd. Dat lijkt zeer onwaarschijnlijk: mensen met dezelfde politieke overtuiging zullen gecorreleerd stemmen. En hoe hoger de correlatie van stemmen binnen een land, hoe dichter de wegingsfactor op N moet gaan lijken ipv wortel(N), met N het aantal stemgerechtigden. Bovendien (voor mij als natuurkundige de klap op de vuurpijl): het Penrose model maakt empirisch verifieerbare voorspellingen die niet uit blijken te komen! Zo voorspelt het model dat de standaarddeviatie in het verschil tussen voor- en tegenstemmers zou moeten groeien met wortel(N). Dat is getoetst aan een groot aantal verkiezingen tussen 1960 en 2000 en blijkt niet te kloppen (zie Gelman et al: Standard Voting Power Indexes Don't Work; even googelen). Ook de kans dat jouw stem de doorslag geeft is veel kleiner dan wortel(2/N.pi). Hij leek mij al zo verrassend groot (zie reactie 10).

  14. Jos:

    Een keuze en een aanname zijn voor mij eigenlijk gelijk. Je hebt meerdere mogelijkheden (want je hebt sowieso altijd al "dit" en "niet dit"), en je kiest iets. Over de correctheid van een keuze valt altijd te dicussieren. Ik begrijp nu ook je "popular vote" voorbeeld.

    Wat mensen wel eens vergeten is dat een politicus een aantal ambtenaren achter zich heeft staan, die vast niet allemaal ongecijferd zijn. En daar krijgt hij/zij adviezen van.

    Erg goed en leuk dat je dat artikel gevonden hebt. En niet omdat ik zo graag gelijk wil hebben :^) De laatste zin van de samenvatting is duidelijk:

    "The most important political implication of their result is that proportionally weighted voting systems (that is, each jurisdiction gets a number of votes proportional to n) are basically fair. This contradicts the claim in the voting power literature that weights should be approximately proportional to sqrt(n)"

    Dat verrast me: we doen het per ongeluk (?) al eeuwen goed, zo blijkt uit echte gegevens.

    De wortel-wet begint trouwens al snel af te wijken van de werkelijkheid als de kans niet 0.5 is, zo blijkt uit een simpele simulatie.

  15. Ionica:

    Ik moet toegeven dat er inderdaad iets valt af te dingen op de aannamen - Gelman en anderen hebben een paar terechte kritiekpunten. De meeste wiskundigen die ik gesproken heb, zijn echter nog steeds enthousiast over de Penrose law. Ik hoorde ook dat op conferenties tijdens de lunch wiskundigen van verschillende nationaliteiten mopperden over hoe het Poolse voorstel werd behandeld door politici en pers.

    Mijn punt was en is vooral dat het triest is dat een voorstel met een wortel erin wordt neergezet als "moeilijk, abstract en vaag".

    Er is trouwens een later artikel dat ook verwijst naar Gelman en dat na het vergelijken van verschillende modellen tóch kiest voor de Penrose law:

    http://www.ruhr-uni-bochum.de/mathphys/publikationen/Penrose.pdf

  16. Jos:

    Ik weet niet niet wie dat "moeilijk, abstract en vaag" o.i.d. gezegd heeft. Ik kan het zo gauw op de site niet vinden. Dat er weerstand is heeft misschien niet alleen met die wortel, maar met de achterliggende gedachte te maken? Gezien de discussie is dat niet geheel en al onterecht.

    Een argument van mezelf tegen de wortelaanpak is dat het in zekere zin instabiliteit in de hand werkt. Als je een land hebt van 25 miljoen en twee van ruim 6 miljoen inwoners dan kunnen die twee over een kwestie gelijk krijgen (als er geen extra weegfactoren dan de wortelregel gebruikt worden). Maar het grootste land heeft een grote numerieke meerderheid (25> 12,5) en kan het gelijk dus desnoods fysiek afdwingen. Of dat in Europa zal gebeuren is natuurlijk de vraag, maar het is een onprettige consequentie van de wortelregel.

    Ik heb het artikel even bekeken. I.t.t. dat van Gelman gebruikt het geen empirische gegevens. Willen wiskundigen invloed op de wereld buiten de wiskunde hebben, dan zullen ze dat wel moeten doen. Anders mis je domweg de link tussen de wiskunde en de realiteit.

    De volgende uitspraak van Manfred Eigen is op de hele kwestie wel van toepassing: "A theory has only the alternative of being right or wrong. A model has a third possibility: it may be right but irrelevant." Penrose heeft een model gemaakt.

  17. Ionica:

    Ik raak er meer en meer van overtuigd dat je laatste opmerking de spijker op de kop slaat. Als ik het artikel van Gelman en de andere reacties eerder had gelezen, dan had ik dit stuk en dat in de NRC niet op deze manier geschreven. Ik onthoud het voor een volgende keer.

    Mijn promotor had trouwens een ander bezwaar tegen de wortelregel: het is voor landen gunstig om te splitsen. Als België zou splitsen in twee delen, dan hebben die samen meer macht (volgens de wortelregel). Dat zou ook niet zo goed zijn voor de stabiliteit in Europa.

  18. Rogier:

    Jos, jouw voorbeeld kan je ondervangen door het quorum te verhogen van 50% naar (zeg) 66%. Je krijgt dan de situatie dat de twee kleine landen samen een voorstel niet door kunnen drukken, maar wel tegen kunnen houden.

    Er blijven altijd paradoxen: volgens mij (en ik weet er niet veel van) is de stemtheorie ermee bezaaid. Kijk maar naar Arrow's Paradox--ook wel Arrow's Theorem--die zoiets zegt dat als je een systeem democratisch genoeg maakt, je een dictatuur overhoudt. En deze kom je ook steeds tegen: groot land is 55% voor, 45% tegen, en stemt voor; klein land is 100% tegen ... de meerderheid van de bevolking is tegen maar de meerderheid van de vertegenwoordigers voor (Al Gore had in 2000 ook de meeste stemmen).

    Eerlijk gezegd begrijp ik de plaatjes van Gelman et.al. niet. Maar een argument tegen het Penrose systeem is nog niet een argument voor een ander systeem.

    Ionica, ik vind niet dat je artikel anders had gemoeten. Het was een leuk stuk en het centrale punt, dat er geen inhoudelijke media-aandacht voor het voorstel was, is niet veranderd. De Penrose-regel mag dan niet "de" oplossing zijn, het is nog steeds "een" oplossing waar serieus naar gekeken had mogen worden.

    Overigens, de "usual suspects" hadden deze brief opgesteld:
    http://www.ruhr-uni-bochum.de/mathphys/politik/eu/open-letter.htm
    maar ik kan niet vinden wanneer hij geschreven is.

  19. Jos:

    Ionica, nu trek je je eigen bijdrage teveel in twijfel. Kijk wat er in gang is gezet, een leuke discussie. Ik heb er wat van geleerd. Als je pas iets schrijft als je het zeker weet, als je alles erover gelezen hebt, dan zou je wel eens weinig kunnen schrijven. Misschien iets om in je achterhoofd te houden voor je proefschrift :^) ? Overigens ben ik niet gepromoveerd - maar laten we geen conclusies trekken.

    Dat mijn laatste opmerking een spijker bovenop raakte zal te maken hebben met het feit dat Nobelprijswinnaar Eigen de hamer hanteerde.

    Ik ben natuurkundige. Moeilijk omdat je altijd aannames moet doen van "dit is klein", of "we gaan langzaam", of "we hebben er heel veel van", of ... Dat is de echte wereld - niet zo elegant soms. De (vooral zuivere) wiskunde is mooier omdat je je eigen "wereld" kunt definieren middels axioma's e.d. Het is een bedachte wereld, zo mooi als je maar wenst! Menigeen heeft zich erover verwonderd dat deze bedachte wereld (wiskunde) zo toepasbaar blijkt op de echte wereld (natuurkunde), zonder dat dat maar de bedoeling is (zie bijv. het bekende "The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences vasn Wigner, op het WWW te vinden). Ik constateer zelf dat blijkbaar wat wij bedenken van toepassing is op de natuur. Wij denken volgens de natuur, volgens de natuurwetten, en zouden onze verzinsels daarom automatisch met de natuur van doen hebben? Eh... Gemiddeld kan ik niet dieper denken dan dit :^)

  20. Jos:

    Rogier, ik weet er denk ik minder van dan jij, maar ik ken inderdaad wel het feit dat je stemsystemen nooit sluitend kunt krijgen (er is dacht ik een Epsilin-boekje voor VWO-ers over). Net als de belastingen: altijd is er wel iemand die een gat weet te vinden, en dan moet het systeem bijgesteld worden. Heel stiekum pas ik Godel's stelling totaal informeel en incorrect maar wel leuk toe: systemen van regeltjes zijn niet sluitend te krijgen volgens Godel, en daarom evolueren ze voortdurend.

    Het quorum verhogen is inderdaad een oplossing, maar daarmee kun je vast weer niet alles oplossen.

    De brief ga ik lezen, bedankt, maar niet nu. Ik ga namelijk over een kwartier op vakantie, met De Telduivel :^)

  21. Ionica:

    Ionica, nu trek je je eigen bijdrage teveel in twijfel. Kijk wat er in gang is gezet, een leuke discussie. Ik heb er wat van geleerd. Als je pas iets schrijft als je het zeker weet, als je alles erover gelezen hebt, dan zou je wel eens weinig kunnen schrijven.
    Natuurlijk. Wat ik bedoelde was dat ik er een zin over Gelman zou hebben bijgezet - niet dat ik helemaal niets zou hebben geschreven.

  22. Wicky:

    Ook ik vind dat Ionica zich geen zorgen over dat artikel moet maken. Het was informatief en heeft in elk geval mensen aan het denken kunnen zetten. Vanmiddag zag ik dat er ook was gereageerd via een ingezonden brief (waarin ook Gelman genoemd werd) door ene Thomas Colignatus. (Nooit van gehoord, maar lijkt een nogal kleurrijk figuur. Hij verwees naar een warrig verhaal op het web.) Het aardige van dit soort modellen is, ook als ze niet (helemaal) correct zijn, dat je gedwongen wordt om precies na te denken en te formuleren wat je bedoelt met begrippen als "invloed" en "eerlijk".
    Het commentaar van Ionica's promotor is interessant. Het uitgangspunt van Penrose is nu juist dat je voor een eerlijk systeem niet moet kijken naar de macht/invloed van landen, maar van individuen, en die laatste verandert niet bij een splitsing (bij ongecorreleerd stemmen met wortelweging). Blijkbaar vindt de promotor dat er voor een eerlijk systeem ook iets op het land-niveau geregeld moet zijn. Iets dergelijks vind je terug bij Kirsch aan het slot van zijn conclusies: "In addition to this it might be more important to protect small countries against a domination of the big ones than the other way round. This motivates us to choose a square root law (...)". Deze conclusie volgt in het geheel niet uit zijn verder zeer behartigenswaardige analyse. Dit alles deed me ook denken aan een discussie met Amerikaanse vrienden, die het volkomen vanzelfsprekend en eerlijk vonden dat Californie of Texas evenveel senatoren (2) leveren als Montana of Wyoming, ondanks grote verschillen in stemgerechtigden.
    Rogier heeft natuurlijk gelijk dat een argument tegen Penrose nog geen argument voor iets anders is. Maar de data van Gelman geven toch aan dat n een betere wegingsfactor is dan wortel(n). Als je echt een purist ben zou je misschien de correlaties kunnen meten en die uitkomsten kunnen gebruiken. Kirsch suggereert dat ze in de tijd kunnen veranderen. Dat is ook zo, maar dat geldt voor aantallen stemgerechtigden ook. De kiesdistricten voor het US Huis van Afgevaardigden worden daarom elke 10 jaar aangepast.

  23. Rogier:

    Het leuke van het commentaar van Ionica's promotor is dat we weer terug kunnen naar "De Republiek der Zeven Verenigde Nederlanden" van wijlen mathemaat Johan de Witt.

    En, als de splitsingen zichzelf voortzetten, uiteindelijk ieder "land" maar een inwoner heeft en we in de gebruikelijke situatie terechtkomen en het hele gedoe met vertegenwoordiging door staten niet meer nodig hebben.

    Ik bedacht me nog dat je in Jos' voorbeeld (25 + 6+ 6) ook niet met factor N wil wegen, in ieder geval de kleine landen niet! Alle macht komt dan bij het grote land terecht (tenzij je het quorum weer verhoogt...)

    Wat Wicky zegt over Amerika: elke staat krijgt 2 senatoren (in het hogerhuis), en f(N) afgevaardigden in het House of Representatives (lagerhuis) ... als voor allebei een meerderheid (of 60%?) nodig is heb je weer een ingewikkeld mengsysteem. Maar Amerika is een federale staat, politici zijn minder gehouden aan de belangen van de staat waar ze vandaan komen dan in Europa, dat (nog altijd) een samenwerking van staten is.

    En wat Colignatus zegt over dobbelen in het stemhokje is onzinnig: we zijn het toch eens dat de aanname is dat mensen onafhankelijk van elkaar stemmen, niet dat ze dat willekeurig doen.

    Dat we zelfs dat niet blijken te doen is jammer voor het model...

    Ik ben ook gaan geloven dat in de discussie tussen experts over kiessystemen, "niet-wiskundigen" belangen (prestige, gelijk krijgen) een rol spelen--ik merk het ook al aan mezelf. Je ziet het aan de laatste opmerking van Kirsch: hij komt met een ongefundeerd politiek/moreel oordeel ... het blijft altijd een politieke keuze hoe de macht te verdelen, en dat gaat nogal rommelig.

    (Jos, fijne vakantie!)

  24. Jos:

    Rogier, bedankt, de vakantie was prima. Ik verwonderde me ook over Kirsch' laatste opmerking. Misschien was die een drijfveer voor zijn onderzoek.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.