Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Meeste stemmen gelden


In Column, door Ionica

Deze column verscheen in de Volkskrant van 20 juni 2009.



Toen ik het glunderende gezicht van Geert Wilders zag na de Europese Verkiezingen, vroeg ik me voorzichtig af of democratie nu echt het beste systeem is. Het is namelijk helemaal niet zo makkelijk om de voorkeuren van de kiezers goed te combineren.

Vorige week mocht onze wiskundeclub nog stemmen over het jaarlijkse uitje. Iedereen kon kiezen uit optie A, B of C. Optie A was een workshop fractalkoekjes bakken, B een crypto-speurtocht en C een dagje naar het rekenlinialenmuseum. De wiskundeclub bestaat uit drie groepen: 20 wiskundemeisjes, 19 nerds en 16 professoren. Binnen elk groep waren de leden het eens over hun favoriete uitje. Alle meisjes kozen A boven B en B boven C. De nerds wilden het liefste B, daarna C en het minst graag A. De professoren hadden als volgorde C, A, B. Wat was nu het beste uitje?

Een wiskundemeisje stelde voor om domweg de meeste stemmen te laten gelden. Zo won uitje A met 20 stemmen. “Hoho”, protesteerde een van de professoren, “Er zijn 35 mensen die liever optie C dan A hebben, dit lijkt me niet zo eerlijk.” Een nerd opperde om met een puntensysteem te werken: iedereen gaf zijn eerste keus drie punten, de tweede keus twee en de derde keus één punt. Na wat snel rekenwerk concludeerde hij triomfantelijk dat optie B won. Weer begon een professor te mopperen: “Dat kan niet kloppen, zowel de wiskundemeisjes als de professoren hebben liever A dan B.” Uiteindelijk verzon deze professor nóg een ander stemsysteem, waarbij optie C won. En uiteindelijk gingen de wiskundemeisjes en nerds licht morrend mee naar het rekenlinialenmuseum.



Wiskundigen denken al lang na over stemsystemen. In 1948, tijdens de Koude Oorlog, kreeg Kenneth Arrow de opdracht om een systeem te maken dat de individuele voorkeuren in de Sovjet-Unie combineerde. Arrow begon met een aantal redelijk klinkende eisen: er mag bijvoorbeeld geen dictator zijn - er is niet één persoon die de uitkomst bepaalt. En als een kiezer van gedachten verandert en een optie hoger plaatst op zijn voorkeurslijst, dan mag die optie daardoor in de einduitslag niet lager eindigen. En zo waren er meer eisen.

Maar wat Arrow ook probeerde, het lukte hem niet om een systeem te verzinnen dat aan die paar zo vanzelfsprekend lijkende eisen voldeed. Na een paar dagen ploeteren kwam hij op het idee om het omgekeerde te bewijzen: als er minstens twee mensen en minstens drie keuze-opties zijn, dan bestaat er geen stemsysteem dat aan alle basiseisen voldoet. Leuk voor Arrow, hij promoveerde op dit werk en kreeg in 1971 de Nobelprijs voor Economie. Minder leuk voor de rest van de wereld, want hoe moeten we dan stemmen?

Er zijn een boel manieren, met kiesmannen of met rondes. En elke methode heeft zijn eigen nadelen en imperfecties. Het blijft een raar idee dat verschillende stemsystemen andere winnaars opleveren – bij precies dezelfde voorkeuren van kiezers. Voor politici geeft het wel een mooie smoes. Als hun partij zetels verliest dan kunnen ze altijd nog zeggen dat het aan het systeem ligt.

8 reacties op “Meeste stemmen gelden”

  1. Martijn:

    Leuk stukje. Ja, zulke stellingen voelen altijd vreemd aan. We zoeken altijd naar mooie elegante oplossingen maar soms kun je bewijzen dat zoiets niet bestaat. :-(

  2. suzan:

    Ik woonde een paar jaar geleden in een kleine plaats waarvan de markt verbouwd zou worden. Er werd een referendum gehouden met drie opties:

    (a) De hele markt zou omgegooid worden en anders worden ingericht.
    (b) Er zouden wat kleine wijzigingen plaatsvinden in de bestrating en beplanting.
    (c) Er zou niets veranderen.

    De uitslag was zoiets als (c) 40%, (b) 25% en (a) 35%.

    De gemeenteraad concludeerde: "Ondanks dat optie c de meeste stemmen heeft gekregen waren er meer stemmen voor a en b samen dus er moet wel íets veranderd worden aan de Markt. We gaan dus optie b uitvoeren."

    (waargebeurd, de exacte getallen weet ik alleen niet meer precies)

    Kortom: leuke column en erg waar.

  3. Louis:

    Voor wie interesse heeft, post ik onderstaand een link naar een kort, eenvoudig artikel (6pagina's) dat op intuitieve wijze verschillende bewijzen geeft voor de stelling van Arrow.

    http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p1116.pdf

    De auteur hiervan is zelf wiskundige en gepromoveerd onder supervisie van Arrow.

  4. Micha:

    LOL! Irritante wiskundigen, kunnen ze geen oplossing vinden bewijzen ze het tegenovergestelde maar ;-)

    Overigens blijkt uit het eerste verhaaltje vooral dat de wiskundemeisjes zich makkelijk gewonnen geven? :-) Aangezien iedere groep precies een unieke permutatie opgeeft is er geen partiele ordening aan te brengen dus dan wint de grootste groep lijkt mij.

  5. Pieter:

    Dag Ionica,

    Een klein beetje off topic. Ik zat op de middelbare school in de overgangsperiode van rekenliniaal naar rekenmachine. 2 Havo in 1975 met liniaal, 3 Havo in 1975/76 beide en 4 Havo in 1976/77 alleen met rekenmachine.
    Toen ik zaterdag je stukje las, moest ik denken aan mijn wiskundeleraar van 3 Havo. Hij presenteerde zijn rekenmachine en zijn heel dure digitale horloge (toen ook net bereikbaar voor de consument) en noemde de rekenliniaal een "benaderlat". Wij mochten dat ding van hem niet meer vertrouwen.

  6. Martine:

    Volgens mij spreekt Vincent van der Noort hier ook over tijdens de vakantiecursus voor wiskunde van het CWI en de NVvW deze zomer. Ik heb zijn praatje op internet gezien en het is echt een aanrader! (jammer dat ik niet heen kan gaan..)

  7. Che:

    Democratie is inderdaad geen goed systeem, ( Hitler, George W. Bush, Ariel Sharon, enz.), Hoe vaak moet geschiedenis zich herhalen ?,

    Geschiedenis zal zich blijven herhalen, Het is onvermijdbaar. De mens is van nature zelfvernietigend, het klinkt raar maar dat is noodzakelijk,
    hier is een link naar winkepedia over wereld bevolking (engels)
    http://en.wikipedia.org/wiki/World_population

    De wereld bevolking kan niet oneindig door groeien, Dit zijn numers die je zorgen zou moeten maken, als je kijkt hoeveel mensen er per dag gemiddeld worden geboren, moet je realiseren dat er meer mensen per dag dood moeten gaan,

    Als ik en jullie door willen blijven leven, zullen er anderen voor moeten doodgaan,..en als een van ons kinderen zou willen,..reken zelf maar dat er doden voor zullen vallen,...

    Het is net als technology, en ik moet Ted Kazinski hierin gelijk geven,
    Prof. Kazinski zegt in zijn teory dat technology uiteindelijk zal leiden naar de vernietiging van de mens/wereld.
    Hij heeft helaas gelijk, we produceren alleen dingen die onze levens en de aarde ernstig verkorten en of verstoren.

    Het probleem is dat je technology niet kan stoppen, de mens zal altijd blijven produceren. Dus de oplossing voor elke regering is de bevolking manipuleren en opzetten tegen een ander bevolking.
    Moord is geen misdaad zolang je er maar een goede reden voor geeft.
    De oorlog in Iraq is hier een goed voorbeeld van, Meer als een miljoen Irakezen zijn dood door de oorlog, omdat George Bush het noodzakelijk vondt, Hij liet de mensen geloven dat er een gegronde reden voor was, op deze manier worden de Irakeze doden niet beschouwd als moorden,..

    let niet op de spelling fouten,..ben erg moe,..en ik ga nu een middag dutje doen,.ik maak het mischien nog wel eens een keertje af,.

    Groetjes,

  8. Jos Leys:

    Over dit onderwerp verscheen toevallig ook zopas een kort artikel in "Images des Mathématiques", de wiskunde website can het CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) in Frankrijk :
    http://images.math.cnrs.fr/A-vote.html

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.