Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Eerlijk is het makkelijkst


In Column, door Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Aan het eind van het jaar wil ik altijd alles netjes maken. Eindelijk ga ik die foto’s van de stedentrip in februari inplakken, zal ik mijn kleren in nette gesorteerde stapels in de kast leggen en ga ik de chaos van bonnetjes en facturen veranderen in een nette administratie. Vooral dat laatste valt elk jaar weer tegen. Bij het maken van een overzicht van mijn uitgaven kan ik de juiste bonnetjes nooit vinden. Hoeveel kostte dat boek over statistiek ook alweer? Was het 15 of 20 euro? Het is verleidelijk om dan maar ongeveer te gokken, maar alle wiskundigen weten dat dit erg moeilijk goed te doen is.


desk-with-pile-of-papers

De cijfers die mensen zelf verzinnen kloppen namelijk zelden met de gebruikelijke patronen. We zijn bijvoorbeeld extreem slecht in het maken van willekeurige patronen. Een wiskundeleraar gaf zijn leerlingen eens een wat merkwaardige opdracht. Ze mochten kiezen: 200 keer een muntje gooien en de uitkomsten opschrijven óf doen alsof ze een muntje opgooiden en zelf 200 uitkomsten verzinnen. De leraar kon na één blik op de uitkomsten onmiddellijk zeggen welke echt waren en welke niet. De neppatronen waren veel te netjes, de echte bevatten bijvoorbeeld rijtjes van zes keer kop achter elkaar. Als mens zou je na een paar keer kop snel weer een munt opschrijven.

Of vraag maar eens aan je vrienden op een feestje om zich zo willekeurig mogelijk over de ruimte te verdelen. Dan gaat iedereen ongeveer even ver van elkaar afstaan en de hele ruimte wordt keurig gebruikt. Een echt willekeurig patroon is veel grilliger: dan zouden op de ene plek toevallig wat mensen bij elkaar staan, terwijl verderop iemand helemaal alleen in een stuk leegte staat. Eigenlijk lijkt zo’n patroon meer op dat van een echt feestje: bij de drank staat er een kluitje mensen en de wiskundige met zijn leuke experimenten over willekeur staat al snel alleen. Een Britse professor wil trouwens onderzoeken of dronken mensen beter zijn in het maken van willekeurige patronen. Ik denk van niet, mensen kunnen volgens mij alleen per ongeluk een willekeurig patroon maken.


Een niet zo willekeurig patroon

Een niet zo willekeurig patroon


Natuurlijk wil je bij het maken van je administratie helemaal geen willekeurige getallen gebruiken, je wilt dat de bedragen zo realistisch mogelijk zijn. Maar zodra je getallen op de een of andere manier gaat gokken, val je snel door de mand. Lijsten met bedragen voldoen namelijk aan allerlei tegenintuïtieve wetten. Zo is er de Wet van Benford die zegt dat niet elk cijfer even vaak voorkomt aan het begin van een getal: de één komt het meest voor (ongeveer in 30% van de gevallen) en de negen het minst (minder dan 5% van de gevallen). In Amerika worden gevallen van belastingfraude met deze Wet van Benford opgespoord en veroordeeld.

Kortom: het is zo moeilijk om de cijfers voor je administratie geloofwaardig te verzinnen, dat ik toch maar netjes alle bonnetjes bij elkaar ga zoeken. Daar gaat mijn kerstvakantie.

6 reacties op “Eerlijk is het makkelijkst”

  1. Jan Robben:

    Nog een toepassing. Volgens mij is het inderdaad onmogelijk zo maar wat in te vullen. Dus ook niet bij een vragenlijst. Je moet er wel voor zorgen dat de eerste antwoordmogelijkheid iets onschuldigs is ("weet ik niet"). Overal antwoord 1 kiezen kan namelijk wel snel en zonder nadenken. Zo gauw er meer dan 2 of 3 vragen zijn, geven zijn alle compleet ingevulde formulieren de mening van respondenten correct weer.

  2. sjappie:

    Gelijk heb ik altijd een random number generator bij mij: mijn horlogo.

  3. George:

    De Nederlandse belastingdienst gebruikt ook zulke methoden om, bijvoorbeeld, het afromen van kassa's op te sporen. Op een echte kasstaat moet de €-kolom of de 10€-kolom (hangt af van het type bedrijf), of soms de dubbeltjes-kolom, een random-patroon vertonen.

    Ik heb wel eens een boekhouder gesproken van een horeca-onderneming, die betrapt was, de baas dan, niet de boekhouder.

  4. Govert:

    Mijn vader vertelt altijd dat bij zijn eerste college statistiek de zaal als opdracht kreeg om een willekeurig geheel getal van 1 tot 10 op te schrijven. De briefjes werden verzameld en in het tweede college was er een staafgrafiekje gemaakt. Een keurig regelmatig patroon: geen rechte lijn, maar een sinusoide, met toppen bij 3 en 7.

    Leuke column weer!

  5. leo:

    Ionica, je voorbeeld is niet nieuw. de nederlandse belastingdinest gebruikt deze test regelmatig en al sinds lange tijd. Jammer dat je dat niet weet.
    Zie hierbij stukje uit uitspraak Hof Amsterdam, 29 april 1979: Hof: Gelet op de partage-overeenkomsten behoeft X slechts de daadwerkelijke ontvangsten te administreren. De tellerstanden behoeft hij niet bij te houden. Het ontbreken van de tellerstanden in de administratie maakt deze niet onvolledig. De chi-kwadraattoets wijst afwijkingen ten opzichte van de statistisch te verwachten verdelingen aan; deze zouden kunnen samenhangen met de afrondingen van de getelde ontvangsten. De toets is onvoldoende aanwijzing voor de door de inspecteur gestelde manipulatie met cijfers. De uitkomsten van de onderzoeken van de inspecteur bij derden, met name bij een aantal uitbaters waar X automaten heeft geplaatst, zijn door X betwist. Het hof kan in de uitkomsten geen aanwijzing vinden voor de stelling van de inspecteur dat X niet de juiste opbrengsten heeft verantwoord. Wat betreft de vergelijkingen met gemiddelden van de Belastingdienst en het Instituut Midden- en Kleinbedrijf hecht het hof geloof aan X' betwisting van de betrouwbaarheid daarvan. Het ontbreken van een automatenadministratie kan niet tot de conclusie leiden dat X' boekhouding moet worden verworpen. De inspecteur heeft door extrapolaties van tellerstanden in 1995 de opbrengsten van de automaten in 1995 en van daaruit in de jaren van het naheffingstijdvak berekend. Het hof volgt X' opvatting dat de gebruikte tellerstanden onvoldoende maatstaf zijn om te beoordelen of de opbrengsten in 1988 tot en met 1991 juist zijn verantwoord. Het uit de vermogensvergelijking blijkende onbenoemde privé is niet onaanvaardbaar laag. Volgt vernietiging.
    en ook Hof den Haag, 14 juli 1994:
    3.6. De inspecteur heeft de administratie van belanghebbende verworpen, op grond van het door belanghebbende, gebruik makend van de door F geboden gelegenheid, niet boeken van een del van zijn inkopen, de vastlegging door belanghebbende van slechts de kasontvangsten terwijl de inkopen en kosten eerst achteraf door de boekhouder werden verwerkt, zodat, volgens de inspecteur, van kascontrole geen sprake kon zijn en, tenslotte, op grond van de uitkomst van de zogenaamde chi-kwadraat toets. Uitgaande van de – niet verworpen – vastlegging van de inkopen en het bruto winst- percentage behaald uit de vastgelegde omzet, heeft de inspecteur theoretische omzetberekeningen gemaakt voor de jaren 1988 en 1989, welke voor het onderhavige jaar resulteerden in een winstcorrectie van f 73.078. Deze winstcorrectie leidde tot het opleggen van de aanslag, waarbij het belastbaar inkomen als volgt is berekend:etc.
    de belastingdienst noemt dit de chi-kwadraat toets en is een middel om kunstmatig samengestelde boekhoudingen op te sporen.
    Succes met je kollum. Leo

  6. Hoe win je een miljoen? Eureka! | Ionica Smeets:

    […] willekeurig patroon te maken. Iets wat mensen ook parten speelt bij het kiezen van een pincode of het vervalsen van hun administratie. Ik vertel ook iets over de lotto, eigenlijk wilde ik uitleggen waarom dit verhaal onzin is, maar […]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.