Wiskundemeisjes

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Vroeger op de kleuterschool deden we wel eens een doorvertelspelletje. De juf fluisterde een zin in het oor van het meisje naast haar. Zij vertelde die zin dan weer door aan haar buurjongetje, enzovoorts. De laatste leerling moest de zin hardop zeggen, wat meestal tot hilariteit leidde, want de boodschap die aankwam was eigenlijk nooit de boodschap die was verzonden door de juf.

Dat geldt voor wel meer kanalen: er kan onderweg een boel gebeuren met gegevens. Denk aan ruis in een radiosignaal, atmosferische storingen die het signaal van een satelliet verstoren of krassen en stof op een cd. Hierdoor krijgt de ontvanger een boodschap waar hij niet alles of helemaal niets van begrijpt, of misschien zelfs eentje die iets heel anders zegt dan er bedoeld was.

Er zijn gelukkig wel manieren om ervoor te zorgen dat je er achter komt dat er iets mis is, en die manieren worden bestudeerd in de coderingstheorie.

De simpelste oplossing is het dubbel versturen van alle gegevens. In de kring met kleuters wordt de kans op een goede uitkomst groter als iedereen dezelfde boodschap twee keer doorfluistert in plaats van één. Helaas neemt de hoeveelheid data die verstuurd moet worden op deze manier danig toe.

Er zijn efficiëntere manieren om te ontdekken dat er onderweg iets mis gegaan is. Zo is een stuk tekst makkelijker te corrigeren dan een willekeurige rij cijfers: je herkent heus wel dat het woord “malkelijk” waarschijnlijk “makkelijk” moet zijn, maar als je “9789057122866” doorkrijgt, heb je geen idee of er een cijfer fout is. Dat betekent dat het handig is om af te spreken dat niet elk rijtje tekens toegestaan is in een boodschap.

Een handig middel is het toevoegen van een controlesymbool. Dat gebeurt bijvoorbeeld in het ISBN: het internationale identificatienummer van een boek. Niet elk getal van dertien cijfers komt voor als ISBN. Het boek dat nu voor mijn neus ligt heeft ISBN 978-90-5712-286-6. Daar zit redundantie in. De eerste twaalf cijfers betekenen allemaal iets: 978 betekent dat het een ISBN is, 90 staat voor het Nederlandse taalgebied, 5712 staat voor een bepaalde uitgeverij en 286 is het nummer van het boek.

(Een streepjescode van een boek met een ander ISBN.)

Dan is er nog één cijfer over, en dat wordt berekend aan de hand van de andere cijfers: de cijfers op de even plekken worden allemaal met drie vermenigvuldigd en bij elkaar opgeteld, en daar worden het eerste, derde, vijfde, zevende, negende en elfde cijfer nog bij opgeteld. In het voorbeeld: 3·7 + 3·9 + 3·5 + 3·1 + 3·2 + 3·6 + 9 + 8 + 0 + 7 + 2 + 8 = 124. Het laatste cijfer is dan, per afspraak, het verschil tussen dit getal en het volgende tiental: in dit geval, inderdaad, 6. Zo kun je direct herkennen dat 978-90-5712-296-6 geen geldig ISBN is.

Controlesymbolen komen ook voor in bankrekeningnummers, het betalingskenmerk op accept-giro’s en in burgerservicenummers. Dit soort trucs, en wat ingewikkeldere versies, zorgen ervoor dat ons dataverkeer betrouwbaar is, en dat veel foutjes die onderweg ontstaan zijn worden ontdekt, en soms zelfs verbeterd kunnen worden.

De zoon van Ionica en Han is geboren! Op 25 oktober. En hij heet:

Tex Johannes Goedhart Keijzers.

Zo ziet hij eruit:

Gefeliciteerd Ionica en Han!!!

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik de gordijnen voor de babykamer bestelde, vroeg de dame achter de balie wel drie keer of ik alles écht goed gemeten had. Ik begon me een beetje zorgen te maken, ik had de lengte van de rails tot op de millimeter nauwkeurig gemeten, dat zou toch genoeg moeten zijn?

We zijn gewend dat kleine meetfouten nauwelijks een effect hebben. Een millimeter meer of minder maakt voor gordijnen echt niet uit. En als je in een recept 301 gram rijst gebruikt in plaats van 300 gram, dan zal de risotto heus niet ineens mislukken. Maar in sommige situaties kunnen heel kleine meetfouten grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel, oftewel chaos, is door verschillende mensen herontdekt. Het mooiste vind ik het verhaal van Edward Lorenz.

Rond 1961 maakte Lorenz modellen om het weer te voorspellen. Met een (nogal primitieve) computer tekende hij (nog primitievere) grafiekjes van hoe variabelen als luchtdruk of luchtstromen in de loop der tijd veranderden. Op een gegeven moment wilde hij een bepaalde simulatie eens wat verder doorrekenen. Om tijd te besparen liet Lorenz de computer niet weer alles vanaf het begin uitrekenen. Hij nam de uitdraai van de vorige simulatie en gebruikte de gegevens die hij daar halverwege had gekregen als beginwaarden, dan kon de computer vanaf daar verder gaan.

Tot zijn grote verbazing zag hij (nadat de computer een uur flink had staan rekenen) dat er na enkele stappen een compleet ander patroon ontstond dan in de vorige simulatie. Lorenz had verwacht dat zijn programma vanaf dezelfde invoergegevens precies hetzelfde resultaat zou geven. Hij snapte er niets van: was zijn computer soms stuk?

Edward Lorenz net voordat hij chaostheorie ontdekte

Na een tijdje besefte hij dat de invoergegevens de tweede keer níet precies hetzelfde waren als tijdens de eerste simulatie. De computer rekende met zes cijfers achter de komma, maar op de uitdraai stonden alleen de eerste drie cijfers na de komma afgedrukt. Lorenz had bij de tweede simulatie daardoor in plaats van 0,506127 de waarde 0,506 ingevoerd. Een verschil zo klein dat je niet verwacht dat het iets uitmaakt.

Maar in de vergelijkingen die het weer beschrijven speelt zo’n verschil wél een belangrijke rol: een heel kleine verstoring aan het begin kan grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel heet chaos en het komt voor bij allerlei systemen, met het weer als bekendste voorbeeld. Het gedrag van dit soort systemen is compleet vastgelegd door een aantal vergelijkingen en tóch zijn ze onvoorspelbaar, doordat ze zo gevoelig zijn voor kleine veranderingen in de beginwaarden. Lorenz suggereerde de metafoor van het vlindereffect (the butterfly effect): een vlinder in Stadskanaal die zijn met zijn vleugel slaat, kan een orkaan veroorzaken in Brazilië. Chaos verklaart waarom we het weer niet verder dan een week vooruit kunnen voorspellen: zelfs de meest nauwkeurige meetapparatuur zal afrondfouten maken.

De gordijnen hangen er zoals te zien keurig bij.

Gelukkig treedt er geen chaos-effect op bij het meten van gordijnen.  Ondanks eventuele meetfouten ziet de babykamer er nu prachtig uit. Nu maar rustig wachten op de chaos die de baby zelf straks gaat veroorzaken.

We houden deze blog al sinds 2010 niet meer bij. Sinds begin 2013 zijn er wat problemen met WordPress en reageren werkt soms niet. Maar omdat deze site vooral een archief is (en liefdewerk), laten we dat maar even zo.

Voor nieuws kun je Ionica en Jeanine volgen op Twitter. Klik hieronder voor ons afscheidsstukje. Read the rest of this entry »

Voor alle docenten: in het voorjaar van 2011 gaat de wetenschapsbus van De Jonge Akademie On Wheels rondtouren langs scholen. Alle eerste en tweede klassen van VO-scholen in Nederland kunnen vanaf december 2010 meedingen naar een bezoek! Hieronder staat alle informatie uit het persbericht, en neem vooral vast eens een kijkje op de website die vanaf nu in de lucht is.

In 2008 reed vijf maal een bus vol bevlogen wetenschappers van De Jonge Akademie naar een school in Nederland. Honderden leerlingen, hun docenten, tientallen wetenschappers en zelfs prinses Máxima beleefden een geweldige, compleet verzorgde dag vol wetenschap, voedsel en competitie onder leiding van De Jonge Akademie on Wheels-presentator Victoria Koblenko.

In het voorjaar van 2011 rijdt de bus maar liefst acht maal uit! Rondom het thema eten dagen we leerlingen in de onderbouw van vmbo, havo en vwo uit om na te denken, vragen te stellen, te onderzoeken, samen te werken, te experimenteren en uit te leggen. Teams van leerlingen nemen het tegen elkaar op in workshops, een estafette, experimenten en krijgen een spetterende kijk in de wereld van de wetenschap.

Alle middelbare scholen in Nederland kunnen meedingen naar een van de acht busbezoeken, door op de website een wetenschappelijke prijsvraag zo goed mogelijk te beantwoorden.

Meedoen kan uit de losse pols, maar je kunt misschien beter zorgen dat je goed beslagen ten ijs komt: bijvoorbeeld door in de klas het De Jonge Akademie Wetenschapsspel te spelen, waarmee de leerlingen spelenderwijs iets opsteken over het wezen van wetenschap. Ook voor wie niet meedoet met de wedstrijd is het spel een aanrader voor in de klas. Het spel is gratis te bestellen op de website.

Op De Jonge Akademie On Wheels vind je alle informatie over de busritten, de prijsvraag en het Wetenschapsspel.

De Jonge Akademie, onderdeel van de KNAW, bestaat uit 50 jonge toponderzoekers uit alle wetenschappelijke disciplines. De leden hebben zich in het verleden onderscheiden door het doen van origineel en vaak grensverleggend onderzoek.

Ik heb dit jaar getwijfeld of ik mee zou doen aan de Dance your PhD contest. Ik zag al een showballet met kettingbreuken voor me, maar bedacht net op tijd dat ik zelf eigenlijk niet zo goed kan dansen.

Maar...knopenkoning Roland van der Veen kan wél dansen en besloot om bij de verdediging van zijn proefschrift samen met zijn paranimfen een dans te doen. Hoe cool is dat?

Roland heeft twee filmpjes online gezet. Het eerste laat zijn lekenpraatje zien, waarin Roland uitlegt hoe je vlechten tegenkomt bij het roeren in een kopje koffie en hoe je dat zelfde beeld kunt gebruiken om te begrijpen hoe de kwantumcomputer werkt.

Aan het einde van het filmpje (voor wie nog niet gelijk heeft gekeken) poneert Roland zijn belangrijkste stelling:

Wiskunde is een uitvoerende kunst.

En vervolgens danst hij samen met zijn paranimfen een Tango en een Lindy Hop (een Lindy Hop!) met linten in de hand. Ze leggen al dansend een knoop in de linten, net als de kwantumdeeltjes dat doen. Daarna volgt nog een korte indruk van de werkelijke verdediging van zijn proefschrift.

We feliciteren Roland van harte met zijn doctorstitel en hopen dat hij wiskunde en dans nog vaker zal combineren!

Op de Universiteit van Amsterdam worden elk jaar webklassen georganiseerd, als digitaal voorproefje op "echt" studeren. En er is er ook weer een over wiskunde! Geschikt voor leerlingen uit 5 en 6 VWO met wiskunde B, onder begeleiding van Jan Brandts en andere docenten.

Van 25 oktober tot en met 19 november 2010 organiseert de Universiteit van Amsterdam een Webklas Wiskunde. Leerlingen kunnen hierin kennis maken met de Google PageRank vergelijking. Deze in 1998 door Page en Brin onwikkelde formule bepaalt binnen Google de volgorde waarin zoekresultaten worden weergegeven.

Tijdens de webklas denken leerlingen na over de complexe gedachtegang achter de PageRank vergelijking en wordt in het bijzonder veel aandacht besteed aan modelleren, redeneren, en bewijzen. Na afloop zijn ze in staat om van een klein World Wide Webje zelf de PageRanks van de pagina’s uit te rekenen, en door het slim aanleggen (of weghalen) van de hyperlinks de PageRank te beïnvloeden.

Meer informatie en aanmelden vind je hier. Voor vragen kun je mailen naar webklas@uva.nl.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Wiskunde is toepasbaar op vele gebieden van het leven, ook waar je het misschien niet direct verwacht. De liefde, bijvoorbeeld. Er zitten wiskundige ideeën achter de koppelalgoritmes van datingsites, en je kunt wiskundig modelleren wat voor cadeau je iemand moet geven die je zou willen versieren: iets dat jou veel moeite kost, maar waardeloos is voor de ander als hij of zij niet in jou, maar wel in materiële zaken geïnteresseerd is. Zoals een ingewikkeld, zelfgekookt diner voor twee.

Maar als je de liefde van je leven eenmaal gevonden hebt, kan de wiskunde dan nog wat toevoegen aan dit geluk?

Ik was vorige week op een feestje van een vriend en zijn vriendin, die tijdens het feest stralend vertelden dat ze stiekem getrouwd waren. Deze vriend is een wiskundige, en hij liet me zien dat het getal 220 in zijn trouwring stond. In de ring van zijn kersverse echtgenote stond ook een getal, voegde hij eraan toe, en ik kon natuurlijk zelf wel bedenken welk getal dat was!

Eerlijk gezegd houd ik niet zo van wiskundige uitdagingen op feestjes, maar een pas getrouwde vriend laat je natuurlijk niet in de steek. En een poosje later wist ik het: natuurlijk, de bruid heeft het getal 284 in haar ring staan! Nou moet ik toegeven dat ik dat niet ter plekke berekend had; blijkbaar ken ik meer getallenfeitjes dan ik dacht.

Want wat is er zo bijzonder aan de getallen 220 en 284? Het zijn bevriende getallen. Dat ze zo heten is niet een nieuwerwetse poging om getallen menselijker en hipper te maken dan men ze doorgaans vindt, de Pythagoreeërs kenden dit koppel al en spraken erover in termen van vriendschap. Een uitspraak die aan Pythagoras is toegeschreven luidt: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284.”

Juist... Maar waarom deze getallen? De delers van 220 zijn: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 en 220. Als je het getal 220 zelf niet meetelt en alle andere delers bij elkaar optelt, vind je het getal 284. Dat op zich is nog niet zo bijzonder. Maar als je hetzelfde doet voor 284, dan vind je 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220! Daarom zijn de getallen 220 en 284 bevriend. Dit is het kleinste koppel bevriende getallen dat er bestaat. Andere voorbeelden zijn 1184 en 1210; 2620 en 2924; 5020 en 5564. Wiskundigen vermoeden dat er oneindig veel van dit soort paren bestaan, maar dat is niet bewezen.

In verscheidene oude Arabische manuscripten duikt een magische toepassing van deze getallenfeitjes op. Als je een goede relatie met iemand wil aanknopen, moet je de getallen 220 en 284 op een briefje schrijven. Dat briefje scheur je doormidden, het deel met 220 eet je op en het deel met 284 meng je ongemerkt door het eten van de ander. Succes gegarandeerd, zeker als je ook nog rekening houdt met een gunstige positie van Venus! En goed te combineren met het aanbieden van een zelfgekookt diner.