Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Jeanine op kamp (3)


In Puzzels, door Jeanine

Kameleons

kameleon

We hebben een groep kameleons, bestaande uit twintig rode, achttien blauwe en zestien groene kameleons. Als twee kameleons van verschillende kleuren elkaar tegenkomen, veranderen ze allebei in de derde kleur. Kunnen uiteindelijk alle kameleons dezelfde kleur krijgen? Zo ja, hoe dan? Zo nee, waarom niet?

10 reacties op “Jeanine op kamp (3)”

  1. Stefan:

    Het kan niet.
    Allen ik weet nog niet waarom :- )

  2. Matthijs:

    We moeten uiteindelijk op achtien kameleons van elke kleur uitkomen. Als rood en groen bij elkaar komen, komen er twee blauwe bij, en als blauw/rood of blauw/groen bij elkaar komen, verdwijnt er een blauwe kameleon. Om achtien blauwe kameleons te houden, moeten het aantal rood/groen-ontmoetingen (noem dit A) dus de helft zijn van het aantal blauw/rood-ontmoetingen plus het aantal blauw/groen-ontmoetingen (noem deze resp. B en C). Dan krijgen we B = 1/2 A + 1/2 C. Het aantal rode kameleons is dan 20-A-A-C+2C = 20 - 2A +C, en het aantal blauwe kameleons 16+2A-A-C-C = 16 + A - 2C. Het aantal rode en blauwe kameleons moet 18 zijn, dus er geldt 20 - 2A +C = 18 en 16 + A - 2C = 18. Daaruit volgt dat C - 2A = 2 en A - 2C = 2. Er geldt dan C - 2A = A - 2C, dus 3A = 3C, dus A = C. Gecombineerd met C - 2A = 2 krijgen we A = -2. Dit is een negatief aantal ontmoetingen en dus nietszeggend. Alle kameleons kunnen dus nooit dezelfde kleur krijgen.

    Iemand een oplossing met een mooie invariant?

  3. MartineJ:

    @Matthijs: Het hoeft niet per se zo te zijn dat je op 18 van elke kleur moet uitkomen. Op het moment dat er van 2 kleuren evenveel zijn, zou het ook bekeken zijn.

  4. Loek:

    Mijn vermoeden:

    Alle kameleons kunnen dezelfde kleur krijgen als het volgende geldt:
    3|abs((aantal rood) - (aantal blauw)),
    3|abs((aantal blauw) - (aantal groen)),
    3|abs((aantal rood) - (aantal groen)).

  5. Maarten:

    Om deze situatie te krijgen, is het noodzakelijk dat van 2 willekeurige kleuren er evenveel dieren zijn: die kunnen dan elke keer elkaar 1 voor 1 tegenkomen.

    Als een kameleon van kleur A één van kleur B ontmoet, nemen A en B elk met 1 af, terwijl C met 2 toeneemt.
    De situatie van evenveel dieren krijgen is dus alleen mogelijk als het verschil in dieren tussen twee kleuren een veelvoud van 3 is.

  6. Klaas-Jan:


    Volgens mij kunnen ze niet alle dezelfde kleur krijgen. Als je de drie soorten elk een code 0, 1 of 2 geeft (het maakt niet uit welke kleur welke code krijgt), dan is de som (modulo 3) van de kleurcodes van de kameleon invariant als ze elkaar tegenkomen.
    Bijvoorbeeld 0 en 1 komen elkaar tegen (som = 1), worden ze allebei 2 (som = 4, modulo 3 is dat weer 1).
    Dit geldt voor alle zes combinaties van twee soorten die elkaar tegenkomen.
    Als alle 54 kameleons dezelfde kleur zouden hebben, dan is de som van hun codes (modulo 3) gelijk aan 0.
    In de gegeven beginsituatie (20-18-16) is de som van de kleurcodes modulo 3 echter 1 of 2, afhankelijk van hoe je de codes toekent.
    Dus de kameleons kunnen niet alle dezelfde kleur krijgen.

  7. Mats:

    Mijn oplossing was min of meer analoog aan die van Maarten (het netto verschil tussen twee rijen is na switchen gelijk of verhoogd met 3), maar die van Klaas-jan vind ik toch de mooiste.

  8. JeroenP:

    Ik vraag me af of het mogelijk is de kameleons allemaal nog een gekleurd hoedje te laten dragen en zo de puzzel in wiskundemeisjes-stijl een paar niveaus complexer te maken...

  9. Paul:

    1. Ongeacht hoeveel kameleons er van een bepaalde kleur zijn, geldt dat de afstand tussen hen alleen met een drievoud kan toe- of afnemen. Immers: Van elk van de 'verdwijnende' twee kleuren is er na de kleurverandering eentje minder. Van de nieuwe kleur zijn er na de kleurverandering twee meer. De afstand tussen elk van de verdwijnende twee kleuren enerzijds en de derde kleur anderzijds neemt dus met 3 toe (of af). Dit geldt ONGEACHT welke kleuren mekaar tegenkomen.

    2. Wanneer alle 54 kameleons een gelijke kleur hebben, is het verschil tussen het aantal in die kleur en het aantal in de andere kleuren telkens 54. Maar omdat de afstand altijd met stapjes van drie toe- of afneemt, en het aanvankelijke verschil +2 of -2 resp. +4 of -4 is, kan je nooit op een afstand van 54 uitkomen. Noch 54 – 2, noch 54+2 is immers een drievoud, evenmin als 54 – 4 of 54+4 een drievoud is.

    Conclusie: De kameleons kunnen nooit allemaal dezelfde kleur krijgen.

  10. Johan:

    Mijn redenering is de volgende
    De beginstanden zijn modulo 3 2,0 en 1.
    1 stand gaat omhoog met 2, de anderen omlaag met 1. Modulo 3 komt er dus 2 2 2 bij en komen we weer op een 0, 1, 2 stand uit. Dat blijft zo dus we kunnen nooit op een 0 0 0 stand uitkomen

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.