Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Verschillende oneindigheden


In Column, door Jeanine

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

In onze vorige column kon u lezen dat er in Hilberts hotel, een hotel met oneindig veel kamers die genummerd zijn als 1, 2, 3, …, altijd plaats lijkt te zijn. Zelfs als elke kamer bezet is, kan een verdwaalde laatkomer toch een plekje krijgen: iedereen schuift een kamer op. En ook grotere groepen, soms zelfs oneindig groot, pasten er toch steeds weer in.

Dit gaf het gevoel dat alle oneindigheden in Hilberts hotel pasten. Maar wat betekent passen of “even groot” precies? Wiskundigen noemen groepen dingen “even groot” als je ze één op één aan elkaar kunt koppelen. Bijvoorbeeld: er zijn evenveel positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) als positieve even getallen (2, 4, 6, …), want je kunt elk getal koppelen aan het dubbele: 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, enzovoorts.

Dit type oneindig heet “aftelbaar”. Er is een duidelijke nummer 1 aan te wijzen, een nummer 2, enzovoorts. Je bent nooit klaar met aftellen, want de verzameling is oneindig, maar je kunt ze op een rijtje zetten, net als 2, 4, 6, … en de kamers in Hilberts hotel. Ook de verzameling van breuken, al lijkt die veel groter, is aftelbaar. Maar niet alle getallen zijn breuken: en zijn beroemde voorbeelden.

De verzameling van alle getallen tussen 0 en 1 is niet aftelbaar. Het bewijs is bijzonder elegant, maar vereist wel enig hersenwerk.

Getallen tussen 0 en 1 hebben een (oneindig lange) decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: \(\) of \(\) of \(\).

Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waar ze allemaal op staan. Wat blijkt? Hoe die lijst er ook uitziet, je kunt altijd een nieuw getal tussen 0 en 1 construeren dat niet op de lijst staat. Dat doe je als volgt. We beginnen met 0 en de komma. Nu gaan we de eerste decimaal van het nieuwe getal als volgt bepalen: als de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, en als het wel een 2 was kiezen we een 1.

Nu verschilt de eerste decimaal van ons nieuwe getal van de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst. We kiezen op dezelfde manier een tweede decimaal: als de tweede decimaal van het tweede getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, anders een 1. Enzovoorts.

column280412

Een voorbeeld van een hypothetische lijst met de constructie van een stukje van het nieuwe getal.

Dit nieuwe getal staat nergens op de lijst. Ga maar na: het is niet gelijk aan het eerste getal op de lijst, want de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet gelijk aan het 37e getal, want de 37e decimaal verschilt. Kortom: het nieuwe getal ontbreekt op de lijst, wat de lijst ook was! Maar het zou er wel op moeten staan, want het is een getal tussen 0 en 1. Dat betekent dat de getallen tussen 0 en 1 niet op een lijst te zetten zijn, en er dus geen koppeling bestaat met de aftelbare verzameling 1, 2, 3, … . Echt een ander soort oneindig, dus!

6 reacties op “Verschillende oneindigheden”

  1. A. Jansen:

    Mis ik de poëzie?

    Als er in het hotel (het hotel met het oneindig aantal kamers) nog een extra kamer gecreëerd kan worden (+ 1), dan had het toch in eerste instantie geen oneindig aantal kamers?

    Een hotel met oneindig veel kamers dat verdubbelt in omvang; dat zal in eerste instantie zeker geen oneindig aantal kamers gehad hebben. Is 2 x oneindig groter dan 1 x oneindig? Kan oneindig met zichzelf vermenigvuldigt worden? Kun je dan ook de wortel trekken uit oneindig?

    Jeanine schrijft: "Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waarop ze allemaal -getallen tussen 0 en 1- staan"?
    Maar dat kan dus niet, je kunt geen lijst opstellen waarop alle getallen tussen 0 en 1 staan. Je kunt er wel aan beginnen, maar je komt er nooit klaar mee.

    Misschien heb ik er moeite mee dat geprobeerd wordt abstracte (poëtische, filosofische?) wiskunde te verduidelijken met concrete voorbeelden.

  2. A. Jansen:

    Mis ik de poëzie?

    Als er in het hotel (het hotel met het oneindig aantal kamers) nog een extra kamer gecreëerd kan worden (+ 1), dan had het toch in eerste instantie geen oneindig aantal kamers?

    Een hotel met oneindig veel kamers dat verdubbelt in omvang; dat zal in eerste instantie zeker geen oneindig aantal kamers gehad hebben. Is 2 x oneindig groter dan 1 x oneindig? Kan oneindig met zichzelf vermenigvuldigt worden? Kun je dan ook de wortel trekken uit oneindig?

    Jeanine schrijft: “Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waarop ze allemaal -getallen tussen 0 en 1- staan”?
    Maar dat kan dus niet, je kunt geen lijst opstellen waarop alle getallen tussen 0 en 1 staan. Je kunt er wel aan beginnen, maar je komt er nooit klaar mee.

    Misschien heb ik er moeite mee dat geprobeerd wordt abstracte (poëtische, filosofische?) wiskunde te verduidelijken met concrete voorbeelden.

  3. A. Jansen:

    en in 'reageren' ben ik ook al niet goed.

  4. Count Iblis:

    @ A. Jansens:

    In de praktijk komen oneindigheden dan ook slechts op een indirekt manier voor. Neem bijvoorbeeld de volgende meetkundige reeks:

    1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .....

    De volgende term is steeds een factor 2 kleiner dan de vorige. Als we dit door 2 delen dan krijg je de reeks:

    1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .....

    Maar dit is precies de eerste reeks maar dan met de eerste term weggelaten. Dit is dus analoog aan Hilbert's hotel waarbij de eerste plaats vrijkomt als je alles een plaats opschuift. We hebben immers geen termen weggelaten, iedere term is door twee gedeeld, maar dit is blijkbaar equivalent met de eerste term weglaten.

    Als de som van de reeks S is, dan is dus
    1/2 S = S - 1, dus S = 2.

    Als je dit preciezer formuleert, dan moet je kijken naar de partiele sommaties:

    Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ...+ 1/2^n

    Dan hebben we slechts eindig veel termen, en dan is S = 2 de limit van Sn waarbij n naar oneidig gaat. De betekenis hiervan is dat je willekeurig dicht bij 2 kan komen door n groot genoeg te kiezen.

    Preciezer geformuleert: Voor iedere u bestaat er een N zodanig dat voor alle n groter dan N, het verschil tussen sn en 2 kleiner dan die u is (verschil betekent hier absolute waarde v.h. verschil). Dus ongeacht hoe klein je die u kiest, kun je altijd een voldoende grote N vinden zodat n groter dan N nemen garandeert dat het verschil van sn en 2 minder dan u is.

    Je ziet dus dat in deze formulering alleen maar eindige grootheden voorkomen. Je kan Sn exact uitrekenen:

    Sn = 2 - 2^(-n)

    Dat de limiet 2 is kun je dan eenvoudig bewijzen.

    Sn is nu niet meer analoog aan Hilbert's hotel, omdat na deling met 2 je niet alleen de eerst term kwijt bent, je krijgt ook de term 2^(-n+1) erbij.

  5. koen padding:

    Over het algemeen lees ik de rubriek "wiskunde meisjes" met veel plezier.
    Ik houd wel van een hersenbrekertje.

    Echter; als wiskundigen met het begrip oneindig aan de haal gaan, gaat het steevast fout.
    Oneindig heeft geen nummerieke waarde, het is net als nul geen benoembaar getal, maar een filosofisch principe.
    Je kunt dus niet via berekening of redenatie bewijzen dat het ene oneindig groter of anders is dan het andere.

    Bijvoorbeeld: met even veel (pseudo)logica kan ik beweren dat, juist omdat alle positieve gehele getallen (1,2,3...) gekoppeld kunnen worden aan hun verdubbeling en verdubbelde getallen altijd even zijn, er meer positieve even getallen (2,4,6...) zijn dan positieve gehele getallen ?
    De verzameling gehele getallen bestaat namelijk ook reeds voor de helft uit even getallen.

    Of minder elegant maar wel zo realistisch, als men alle getallen tussen 0 en 1 met factor oneindig vermenigvuldigt (een enigzinds basale maar wel legitieme wiskundige bewerking) moet het inzichtelijk zijn dat deze verzameling getallen niet anders is dan de verzameling van alle "gewone" hele getallen en net zo koppelbaar of niet koppelbaar, dat is maar hoe je er tegenaan wilt kijken.

    Het begrip oneindig omvat helaas dan ook oneindig veel verzamelingen van oneindig zinloze inhoud.
    Of : oneindig + 1 is ook maar gewoon oneindig

    Het is met het begrip oneindig eigenlijk net als met god, per defenitie niet kenbaar en dus niet beschrijfbaar, altijd veranderend en toch altijd zichzelf.
    Een beetje saai, want je kunt er niet mee en niet op rekenen. Nul is veel leuker.

    met vriendelijk groet
    Koen Padding

  6. Andreas Groenevelt:

    Als ik die columns goed begrijp, dan kan je niet zeggen dat 'de helft van de gehele getallen even is'. Er zijn aftelbaar oneindig veel gehele getallen en aftelbaar oneindig veel even getallen en aftelbaar oneindig veel oneven getallen. Misschien is Cantor niet voor niks gek geworden? ;-)

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.