Wiskundemeisjes

Vorige week vrijdag werd Hendrik Lenstra benoemd tot Ridder in de Orde van de Nederlandse Leeuw. Eerder die dag werden er ter ere van Hendriks zestigste verjaardag een aantal voordrachten gegeven.

Richard Groenewegen noemde in zijn voordracht een leuk probleem dat Hendrik bij zijn promotie kreeg van John Conway en Mike Paterson. Het is A headache-causing problem (pdf). Hieronder een voorbeeld uit het artikel.

Drie mannen zitten in een kamer met elk een niet-negatief geheel getal op hun voorhoofd. Zeg bijvoorbeeld dat Arthur, Bertram en Engelbert elk een 2 op hun voorhoofd hebben. Iedere man kan alleen de twee getallen van de anderen zien en niet dat van zichzelf. Op een schoolbord dat ze alledrie kunnen zien schrijft een blinde vrouw de getallen 6, 7 en 8 en vertelt de mannen dat één van deze getallen de som is van de drie getallen op hun voorhoofden. Vervolgens vraagt ze aan Arthur of hij nu weet welk getal hij op zijn voorhoofd heeft. Als hij het niet weet, stelt ze dezelfde vraag aan Bertram. Als hij het ook niet weet, dan gaat ze naar Engelbert. Als hij niet kan zeggen welk getal er op zijn voorhoofd staat, dan begint ze een nieuwe ronde vragen bij Albert. Het spel stopt zodra er iemand `Ja' zegt.

De (algemene) stelling van Paterson en Conway is dat als het aantal getallen op het bord kleiner dan of gelijk aan het aantal mannen is, het spel na een eindig aantal vragen stopt. In het grappige artikel bewijzen ze eerst dat deze stelling onjuist is (de tegenargumenten lijken sterk op die bij de puzzel met de blauwe en bruine ogen.). Daarna geven ze een bewijs dat de stelling juist is. Daarna buiten ze nog uit dat ze nu alles kunnen bewijzen! Bekijk zelf vooral de scan van het artikel die we via de blog van Tanya Khovanova vonden (een erg leuke blog trouwens!).

Eindelijk las ik A beautiful mind van Sylvia Nasar. Jaren geleden zag ik de film, maar het boek is (zoals gebruikelijk) veel beter.

Nasar heeft een boel feiten boven tafel gekregen en vertelt zeer aanstekelijk het levensverhaal van wiskundige John Nash. Voor wie het niet weet: Nash doet in zijn jonge jaren briljant werk en krijgt nét niet de Fields medaille. Rond zijn dertigste raakt hij echter in de ban van waanideeën en dwaalt hij steeds meer af van de echte wereld. Nash wordt behandeld voor schizofrenie, maar tientallen jaren is hij bezig met obsessieve complottheorieën en loopt hij als een soort zombie door de wiskundige wereld. Wonderlijk genoeg is hij in de loop der jaren langzaam hersteld en op latere leeftijd is hij niet wereldvreemder dan de gemiddelde wiskundige. In 1994 wordt zijn werk in de speltheorie alsnog bekroond met de Nobelprijs voor Economie.

Tegen mijn verwachtingen in vond ik A beautiful mind een echte page-turner. Nasar schrijft vlot en aanstekelijk. Het leven van Nash leest als een roman, daarnaast vond ik het ontzettend interessant om allerlei nieuwe dingen over (voor mij) bekende wiskundigen te ontdekken. Neem dit stukje over Kenneth Arrow  en het onstaan van de door hem bewezen verkiezingsparadox (pdf):

The assignment was to demonstrate that it was okay to apply game theory, which is formulated in terms of individuals, to aggregrations of many individuals, namely nations. Arrow was aked to write a memorandum showing how it could be done. As it turned out, the memorandum became Arrow's dissertation [...] ``That was it! It took about five days to write in September 1948," he recalled. ``When every attempt failed I thought of the impossibility theorem."

Is er dan niets aan te merken op het boek? Jawel, de wiskunde zelf komt er wat karig vanaf, de weinige wiskundige ideeën die voorkomen worden niet of belabberd uitgelegd. Om echt iets leren over speltheorie of ander werk van Nash kun je beter een ander boek lezen. Ook wordt er soms iets te veel achtergrondinformatie gegeven over bijfiguren. Mijn co-promotor vond dat sommige details in het boek te persoonlijk en enigszins genant waren. Maar ik, roddelzuchtig als altijd, vond dat juist zo goed. Ik hoop dat Nasar nog een wiskundige biografie zal schrijven. Van Perelman, Grothendieck of Conway bijvoorbeeld.

ps Deze recensie schreef ik enkele weken geleden, voor ik Nasar en Nash ontmoette. Inmiddels weet ik dat Nasar waarschijnlijk niet nog een biografie gaat schrijven, omdat de meeste wiskundigen `hooguit 10.000 woorden waard zijn'.

Op een conferentiediner moeten 48 mannelijke wiskundigen -geen van allen op de hoogte van tafel-etiquette- een grote, ronde tafel delen. De tafel is al gedekt en tussen elke twee borden ligt een servet. De gastheer plaatst de wiskundigen één voor één. Zodra een wiskundige gaat zitten, pakt hij een servet links of rechts van zijn bord. Als er aan elke kant nog een servet ligt, dan kiest hij er willekeurig één van de twee. De gastheer ziet niet welke servet de wiskundige pakt. Hoe moet de gastheer de wiskundigen neerzetten om het verwachte aantal wiskundigen zonder servet zo groot mogelijk te maken?

Het meest voor de hand liggende antwoord is niet het juiste! Deze leuke puzzel komt wederom van Peter Winkler. In zijn warm aanbevolen boek Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection vertelt Winkler de oorsprong van deze puzzel.

This problem can be traced to a particular event. Princeton mathematician John H. Conway came to Bell Labs on March 30, 2001 to give a “General Research Colloquium.” At lunchtime, [Winkler] found himself sitting between Conway and computer scientist Rob Pike (now of Google), and the napkins and coffee cups were as described in the puzzle. Conway asked how many diners would be without napkins if they were seated in random order, and Pike said: “Here’s an easier question—what’s the worst order?”

De vraag van Conway is trouwens echt een stuk moeilijker!

Nog even en de wiskundemeisjes kunnen hun huizen inrichten met wiskundig verantwoorde meubels. Kriskras tipte ons eerst over deze fractaltafel van Platform Wertel Oberfell.

Een paar dagen later mailde Kriskras ons ook nog deze fractalkast van Takeshi Miyakawa.

Dit zou natuurlijk allemaal prachtig staan op mijn fractaltapijt. Dankzij Petra kunnen we ook nog iets moois aan de muur hangen: wandkasten gebaseerd op het werk van John Conway.

De afgelopen maanden was Mike Bennett in Leiden, als Kloostermanhoogleraar. Hij gaf een vermakelijke voordracht op het Nederlands Mathematisch Congres en op 24 mei gaf hij zijn Kloostermanlezing. De wiskundemeisjes lieten zich dat geen twee keer zeggen en gingen daar naartoe, zodat ze niet alleen een leuke lezing konden beluisteren, maar hem ook naar zijn favoriete (nog levende!) wiskundige konden vragen!

Mike Bennett

Mike Bennett werkt op de University of British Columbia in Vancouver (Canada). Hij houdt zich bezig met diophantische vergelijkingen en het zoeken naar oplossingen daarvan. Zoals Bennett zelf aangaf in zijn NMC-voordracht: het is moeilijk te zeggen wat de precieze definitie van een diophantische vergelijking is. Toch weten de wiskundigen die ermee bezig zijn heel goed wat ze doen: ze zoeken geheeltallige oplossingen van bepaalde vergelijkingen. Die vergelijkingen hebben ook in hun coëfficiënten en exponenten gehele getallen.

Voorbeelden van diophantische vergelijkingen zijn x²+y²=z² (die Pythagoreïsche drietallen als x=3, y=4 en z=5 als geheeltallige oplossingen heeft), xy-z³=5 (die bijvoorbeeld x=4, y=8 en z=3 als oplossingen heeft), 3x²+ 7y⁴=28 (die geen oplossingen heeft in gehele getallen), de beroemde vergelijking xⁿ+yⁿ=zⁿ, die voor n ≥ 3 geen geheeltallige oplossingen heeft als x, y en z niet gelijk zijn aan 0 of 1 (dit is de beroemde laatste stelling van Fermat, die in de jaren '90 door Wiles bewezen is) en de vergelijking waar het inmiddels bewezen vermoeden van Catalan over gaat: x^p-y^q = 1 voor gehele getallen p en q.

Richard Guy

Bennett kiest als zijn favoriet Richard Guy. Guy is geboren in 1916, hij is dus al over de negentig! Hij is al decennia lang met emiritaat, maar toch werkt hij nog steeds aan de universiteit van Calgary en hij begeleidt ook nog steeds studenten. Zijn vakgebieden zijn getaltheorie, combinatoriek en speltheorie.

Guy is een bekend auteur van boeken die een breed wiskundig publiek aanspreken. Samen met Berlekamp en Conway schreef hij Winning Ways for your Mathematical Plays, een boek dat hele generaties van speltheoretici en recreatieve wiskundigen inspireert. Maar Bennett bewondert vooral het boek Unsolved Problems in Number Theory. Het is sinds de eerste uitgave in 1981 twee keer herdrukt en aangepast, de derde editie kwam uit in 2004. Dit boek inspireert jonge wiskundigen het meeste, volgens Bennett: het staat vol met nog onopgeloste problemen, waar je zelf mee aan de slag kunt gaan.

Guy is de oudste auteur ooit in de American Mathematical Monthly en heeft ook het grootste leeftijdsverschil met een co-auteur op zijn naam staan. Hij is bekend om zijn bergwandelingen en -beklimmingen en was daar tot voor kort nog steeds actief in.

Bennett vindt Guy en zijn vrouw opmerkelijke mensen, om hun actieve levenshouding. Hij is bevriend geraakt met Guy toen hij zelf een beginnende graduate student was. Guy is een bron van inspiratie: hij is vriendelijk en hij is zowel geestelijk als lichamelijk heel scherp.

(Jeanine)

Georges Gonthier

Georges Gonthier is onderzoeker bij Microsoft Research. Hij zoekt manieren om de werking van computerprogramma's formeel te controleren. Iemand kan namelijk wel beweren dat een bepaald computerprogramma iets bepaalds doet, maar je wil ook kunnen aantonen dat zo'n programma inderdaad doet wat het belooft. Vaak gaat dat weer met behulp van een computer.Gonthier heeft samen met Benjamin Werner een formeel computerbewijs van de beroemde vierkleurenstelling gemaakt dat helemaal gecontroleerd is. Daarvoor gebruikte hij Coq, een proof assistent (bewijsassistent). Dat is een computersysteem dat je kunt gebruiken om formele bewijzen te controleren.

Gonthier vindt zichzelf eigenlijk geen wiskundige maar informaticus, maar zijn onderzoek heeft zoveel met wiskunde te maken dat hij toch zijn favoriete wiskundige mag noemen. Na enig nadenken noemt hij John Conway (1937) zijn favoriete nog levende wiskundige.

John Conway
Zoals het een beroemd wiskundige betaamt, bestaan er leuke anekdotes uit Conways jeugd. Toen hij vier was, kon hij machten van twee opdreunen. En toen hij op zijn elfde ondervraagd werd voor hij naar de middelbare school ging antwoordde hij op de vraag wat hij later wilde worden: "Wiskundige op Cambridge!"

Dat lukte inderdaad, in 1964 kreeg hij daar een aanstelling. Hij werkte daar eerst aan logica, maar het ging niet zo goed met hem. Hij had het gevoel dat hij geen "echte" wiskunde aan het doen was, had nog niets gepubliceerd en voelde zich daar erg schuldig over. Maar toen kwam de grote doorbraak. Rond 1965 vond John Leech een dichte bolpakking in dimensie 24. (In hogere dimensies dan 3 kun je ook definiëren wat bollen zijn en bekijken hoe ze zó kunnen worden gestapeld dat er zo weinig mogelijk ruimte open blijft.) Bij die bolpakking hoort een rooster, het Leech rooster. Leech wilde de symmetrieën van dit rooster beter begrijpen. Daarom zocht hij iemand met meer verstand van symmetriegroepen dan hij zelf had, en Conway was de eerste die interesse toonde. Conway vond de symmetriegroep van het Leech rooster en dit bleek een heel bijzondere groep te zijn, die nog niet bekend was.

In 1970 werd Conway ook bekend bij een groter publiek, toen hij zijn beroemde game of life ontwikkelde. Dat werd meteen een groot succes. Denk aan een oneindig groot ruitjespapier. Breng een aantal vakjes tot leven, door ze te kleuren. Nu gebeurt er in elke stap het volgende:

voor een levend (gekleurd) vakje:
als het vakje geen of maar één levend buurvakje heeft, gaat het dood (uit eenzaamheid)
als het vakje vier of meer levende buurvakjes heeft, gaat het dood (door overbevolking)
als het vakje twee of drie buren heeft blijft het leven

voor een dood (wit) vakje:
als het vakje drie levende buren heeft, wordt het levend

Een animatie van het spel kun je vinden op deze website.

Conway is ook beroemd vanwege zijn ontdekking van de surreële getallen en zijn werk in knopentheorie, getaltheorie, speltheorie, kwadratische vormen, coderingstheorie en betegelingen.

Gonthier kiest voor Conway omdat die naam steeds opduikt als hij zelf aan een nieuw onderwerp gaat werken. Toen hij bijvoorbeeld begon te lezen over groepentheorie en formele logica, toen bleek dat Conway in die twee gebieden al van alles had gedaan. Gonthier is onder de indruk van Conways surreële getallen en roemt zijn inzicht gevende werken. Conway lijkt structuur te kunnen plukken uit het niets!

(Jeanine)

Voor wie het nog niet gemerkt heeft: elke laatste donderdag van de maand verschijnt een aflevering van De favoriete (nog levende!) wiskundige van… op de wiskundemeisjes. Elke maand vragen we een bekende wiskundige welke nog levende wiskundige hij (of zij) bewondert. Ons idee hierbij is dat we wel weten wie de grote namen uit de geschiedenis zijn (Pythagoras, Euler, Gauss, wie kent ze niet?), maar dat niet zo duidelijk is wie op dit moment belangrijk werk doen. We willen met deze rubriek interessante wiskundigen en hun werk in het zonnetje zetten.

Hier vind je een overzicht van de bekende professoren die we spraken en de wiskundigen die zij bewonderen.

1. Juni 2006: Manjul Bhargava kiest Jean-Pierre Serre.
2. Juli 2006: Persi Diaconis kiest Doron Zeilberger.
3. Augustus 2006: Rob Tijdeman kiest Wolfgang Schmidt.
4. September 2006: Jan van de Craats kiest Keith Devlin.
5. Oktober 2006: Roger Penrose kiest Michael Atiyah.
6. November 2006: Robbert Dijkgraaf kiest Maxim Kontsevich.
7. December 2006: Georges Gonthier kiest John Conway.
8. Januari 2007: Mark Peletier kiest Felix Otto.
9. Februari 2007: Ellen Baake kiest Warren Ewens.
10. Maart 2007: Michael Atiyah kiest Jean-Pierre Serre.
11. April 2007: Terence Tao kiest Endre Szemerédi.
12. Mei 2007: Wendelin Werner kiest Harry Kesten.
13. Juni 2007: Mike Bennett kiest Richard Guy.
14. Juli 2007: László Lovász kiest Vera Sós.
15. Augustus 2007: Sjoerd Verduyn Lunel kiest Jack Hale.
16. September 2007: Kees Vuik kiest Gene Golub.
17. Oktober 2007: Mai Gehrke kiest Bjarni Jónsson.
18. November 2007: Frans Oort kiest David Mumford.
19. December 2007: Gunther Cornelissen kiest Yuri Ivanovich Manin.
20. Januari 2008: Jan van Maanen kiest Celia Hoyles.
21. Maart 2008: Constance van Eeden kiest Charles M. Stein.
22. April 2008: Marcus du Sautoy kiest Alexander Grothendieck.
23. Juni 2008: Ronald Cramer kiest Avi Wigderson.
24. Juli 2008: Felix Otto kiest Stefan Müller.
25. Augustus 2008: Lex Schrijver kiest László Lovász.
26. September 2008: Jeffrey Shallit kiest Hendrik Lenstra.
27. Oktober 2008: Hendrik Lenstra kiest Bjorn Poonen.
28. December 2008: Eric Maskin kiest Pierre Deligne.

(Ionica & Jeanine)

Wiskundigen geven vaak gewone woorden een heel andere betekenis. In het geval van kussen lijkt die betekenis echter wel een klein beetje op de normale betekenis van het woord. (En om de reacties voor te zijn: ja, de etymologie van deze term ligt in het biljarten, waar "kiss" ook een gebruikelijke term schijnt te zijn.)

Het kusgetal is het aantal eenheidsbollen (dat zijn bollen met straal 1) die een eenheidsbol die het midden ligt tegelijk kunnen aanraken, zonder te overlappen. In dimensie 2 zijn bollen cirkels, en dan is het kusgetal 6, zoals je kunt zien in het volgende plaatje.

In drie dimensies is het niet zo gemakkelijk het kusgetal te bepalen. In 1694 leidde deze vraag tot een discussie tussen Isaac Newton en David Gregory: Newton dacht dat het 12 was en hij wist een manier om 12 bollen rond een centrale bol te rangschikken, maar Gregory dacht dat het met 13 ook zou kunnen. Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben. Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953. Het elementairste bewijs dat er is, is echter niet heel makkelijk. Dat komt vooral doordat er oneindig veel verschillende manieren zijn om 12 bollen op een dergelijk manier rond een centrale bol te rangschikken. De buitenste 12 bollen raken elkaar niet allemaal precies, en ze kunnen dus allemaal een beetje vrij verschuiven, terwijl ze de bol in het midden blijven raken.

Het begrip kusgetal bestaat ook in hogere dimensies, maar het is nog maar voor weinig dimensies bekend. In dimensies 8 en 24 weten we het kusgetal wel: het is 240 in dimensie 8 en 196560 in dimensie 24. In feite is het bepalen van deze twee getallen makkelijker dan het bepalen van het kusgetal in dimensie 3, omdat in dimensies 8 en 24 de rangschikking van de bollen om de middelste bol uniek is, er is maar één manier om ze te laten raken aan de middelste bol (hierbij noemen we twee configuraties hetzelfde als ze in elkaar kunnen worden overgevoerd door draaien of spiegelen). Pas in 2003 werd het kusgetal in dimensie 4 bepaald door Musin, het is 24.

In andere dimensies dan 2, 3, 4, 8 en 24 weten we het kusgetal nog niet. Wel zijn er bovengrenzen bepaald: getallen waarvan we weten dat het kusgetal voor die bepaalde dimensie eronder ligt. Delsarte vond in 1970 een manier om dat te doen.

Maar nu hebben twee onderzoekers een manier gevonden die betere bovengrenzen geeft dan de methode die er al was! Frank Vallentin (van het CWI in Amsterdam) en Christine Bachoc (van de Université Bordeaux) hebben de kusgetallen voor dimensies 2, 3, 4, 8 en 24 opnieuw gevonden. Voor dimensie 5 hebben ze de bovengrens van 45 naar 44 teruggebracht, terwijl bijvoorbeeld in dimensie 10 de bovengrens met wel 27 bollen teruggebracht is. Ze hebben resultaten gebruikt van Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver, die ook op het CWI werkt.

Zie ook het persbericht van het CWI en het artikel op kennislink. Voor de wiskundigen onder jullie: een beetje meer informatie en vooral literatuurverwijzingen naar de oudere bewijzen over dit onderwerp kun je vinden in het boek Sphere Packings, Lattices and Groups van Conway en Sloane.

(Jeanine)