Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Wiskunde tegenkomen in oude, verdwenen culturen is fascinerend. De wiskunde van de Babyloniërs in het oude Mesopotamië, bijvoorbeeld, is heel interessant. Mesopotamië lag ongeveer in het huidige Irak, en onder “Babyloniërs” verstaan we een hele serie volkeren in dat gebied, zo tussen 3000 en 500 voor Christus.

Het fijne aan de Babyloniërs is dat ze schreven op duurzaam materiaal: kleitabletten. Die kunnen we lezen, als we de taal en het spijkerschrift snappen, tenminste. Maar Babylonische getallen zijn zelfs voor een leek makkelijk te ontcijferen.

Op het plaatje staat een transcriptie van een kleitablet. In de middelste kolom staat een rij symbolen: één spijkertje op de eerste regel, twee spijkertjes op de tweede, enzovoorts. In die kolom staan inderdaad de getallen 1, 2, 3, 4, 5, …. Na de negen verschijnt een nieuw symbool, een soort winkelhaakje, dat blijkbaar voor de tien staat.

Wat staat er in de derde kolom? Naast de 1 staat 5, en naast de 2 staat 10. Naast de 3 staan een 10 en een 5, dat zal dan wel 15 betekenen. Deze regelmaat vervolgt zich, en het is duidelijk wat hier staat: de tafel van vijf. Dat clustertje tekens vooraan elke regel betekent “keer”.

Bij vijf keer twaalf gebeurt er iets geks: de uitkomst is 1 spijker, wat, zagen we al, één betekent. Maar vijf keer twaalf is zestig! Blijkbaar betekent een spijker behalve één ook zestig. Wat onhandig, denk u misschien. Aan de andere kant: wij gebruiken een 1 ook op verschillende manieren, in het getal 123 betekent de 1 dat er één honderdtal is.

Net als wij kenden de Babyloniërs een zogenaamd positiestelsel. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt hoeveel het cijfer waard is. De Babyloniërs gebruikten als grondtal zestig, waar wij tien gebruiken. Als zij met hun spijkerschrift 2; 15; 51 opschreven, bedoelden ze 2 keer 3600 (want 60 × 60 = 3600), 15 keer zestig en 51 keer één.

Of misschien wel 2 zestigen, 15 enen en 51 zestigsten! Want er is een belangrijk verschil: ze hadden geen komma en heel lang ook geen symbool voor een lege plaats. Wij zien door nullen, die eigenlijk lege plekken aangeven, makkelijk het verschil tussen 100 en 1. En dat we met 0,1 een tiende bedoelen, zien we aan de komma. De Babyloniërs niet. Meestal was dat niet zo’n probleem, want uit de context bleek vaak wel wat er bedoeld werd.

Een voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk in kan rekenen door getallen onder elkaar te zetten. De Babyloniërs konden overigens veel meer dan rekenen alleen, zo kenden ze de stelling van Pythagoras en losten ze bepaalde kwadratische vergelijkingen op.

Een Babylonisch kleitablet met een goede benadering van erop.

Het getalstelsel van de Babyloniërs is helaas in onbruik geraakt en er doken veel onhandigere getalstelsels op, zoals de Romeinse cijfers. Probeer die maar eens onder elkaar te vermenigvuldigen… Pas in de dertiende eeuw kwam een Indiaas positiestelsel via de Arabische wereld onze kant op, en werd het rekenen hier makkelijk. Wat we wèl overgehouden hebben aan de Babyloniërs, is onze zestigtallige tijdrekening.

Deze column verscheen zaterdag in de Volkskrant.

“Een ruzie met familie of je partner zit je nogal dwars.” Aldus mijn horoscoop uit een damesblad van vorige week. Ik lees hem pas nu en heb de hele week geen ruzie gehad, noch zat me anderszins iets dwars in mijn relatie met familie dan wel vriend.

Tijdschrifthoroscopen sla ik altijd over. Waarom zou iedereen die toevallig ook tussen 21 april en 20 mei geboren is de komende week hetzelfde gaan meemaken als ik?

Toch bestaat er een belangrijk, wellicht verrassend, historisch verband tussen wiskunde en astrologie. Astrologie was namelijk lange tijd een serieuze, dankbare toepassing van de wiskunde, in een tijd dat toepassingen waarvan iedereen het nut nu inziet (GPS, beveiligd internetbankieren, computers, modellen om het weer te voorspellen enzovoort enzovoort) nog verre toekomstmuziek waren.

Ontkennen dat hemellichamen invloed hebben op het leven hier op aarde kan natuurlijk niet: al het leven bestaat dankzij de energie van de zon, wanneer de zon aan de hemel staat gaan we aan het werk en als de zon onder is slapen we, en de positie van de maan beïnvloedt duidelijk hoe hoog het water staat. Maar dat de relatieve positie van planeten, zoals we die vanaf de aarde zien, kan beïnvloeden hoe ons leven verloopt, hoe ons karakter is of bepaalt welke beslissing je het beste kan nemen… Nee, daar laten de meeste mensen zich tegenwoordig niet door leiden.

Maar dat is dus niet altijd zo geweest: in de middeleeuwse islamitische wiskunde (die zeer hoog ontwikkeld was, terwijl West-Europa zich in de donkere middeleeuwen bevond) waren horoscopen een belangrijke aanleiding voor onderzoek. Islamitische theologen hadden wel bezwaar tegen astrologie, maar omdat het ook nuttig was de richting van Mekka of precieze gebedstijden te kunnen berekenen, kwamen de wetenschappers daar vaak wel mee weg.

Een astroloog moest in staat zijn de precieze stand van de hemellichamen op elk gegeven moment te kunnen uitrekenen, want hoe beter hij dat kon, hoe beter de voorspelling en hoe hoger zijn status. Zo’n horoscoop werd trouwens meestal berekend voor het precieze geboortemoment van één persoon, dit in tegenstelling tot de damesbladhoroscoop van hierboven.

Voor die berekeningen waren astronomische tabellen nodig met een heleboel gegevens. Als die tabellen na verloop van tijd niet meer helemaal klopten met de waarnemingen, moesten ze worden aangepast, waar ingewikkelde meetkunde bij nodig was. Een goede astroloog was dan ook geschoold in geavanceerde wiskunde, bijvoorbeeld die uit de Griekse oudheid. Veel wiskunde uit de Griekse oudheid is dankzij de islamitische wereld bewaard gebleven.

De astrologie gaf wiskunde en astronomie dus maatschappelijke relevantie, zorgde voor behoefte aan wiskundeonderwijs, en bovendien was deze toepasbaarheid goed voor het imago van de wiskunde (net als nu eigenlijk, al zijn de toepassingen heel anders).

Ook beroemde Europese wetenschappers als Tycho Brahe en Galileo Galilei werkten aan astrologie. Omdat dat zó niet past bij ons ideaalbeeld van de rationele wetenschap, vergeten we dit soort historische feiten misschien liever. Maar het is interessant om te zien hoe anders mensen, en dus ook wetenschappers, vroeger naar het universum keken.

Op Futility Closet vond ik deze anekdote:

One day in 1939, Berkeley doctoral candidate George Dantzig arrived late for a statistics class taught by Jerzy Neyman. He copied down the two problems on the blackboard and turned them in a few days later, apologizing for the delay — he’d found them unusually difficult. Distracted, Neyman told him to leave his homework on the desk.

On a Sunday morning six weeks later, Neyman banged on Dantzig’s door. The problems that Dantzig had assumed were homework were actually unproved statistical theorems that Neyman had been discussing with the class — and Dantzig had proved both of them. Both were eventually published, with Dantzig as coauthor.

“When I began to worry about a thesis topic,” he recalled later, “Neyman just shrugged and told me to wrap the two problems in a binder and he would accept them as my thesis.”

Ongelooflijk. George Dantzig (1914 – 2005) heeft het simplexalgoritme ontwikkeld en was een pionier in lineair programmeren. Bovenstaande anekdote schijnt een inspiratiebron voor Good Will Hunting te zijn geweest.

Op zoek naar teksten die wetenschap op de een of andere manier goed uitleggen, stuitte ik op het curieuze The First Six Books of Euclid with coloured diagrams uit 1847 (via het zeker aan te raden Envisioning Information van Edward Tufte).

Wiskundige Olivier Byrne dacht dat de bewijzen van Euclides voor veel mensen duidelijker waren als je plaatjes gebruikte en zo min mogelijk tekst. Opvallend is hoe modern zijn platen eruit zien. De onderstaande plaat geeft Byrnes bewijs van Propositie I.15

Als twee rechte lijnen elkaar snijden, dan zijn de overstaande hoeken daarbij gelijk aan elkaar.

Het oorspronkelijke bewijs van Euclides gaat ongeveer zo.

Laat de rechte lijnen AB en CD elkaar snijden in het punt E. Ik zeg dat de hoek CEA gelijk is aan de hoek DEB, en dat de hoek BEC gelijk is aan de hoek AED. Omdat de rechte lijn AE met de rechte lijn CD de hoeken CEA en AED maakt, moet de som van de hoeken CEA en AED gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Ook moet de som van de hoeken AED en DEB gelijk zijn aan twee rechte hoeken, omdat de rechte lijn DE bij het snijden van de rechte lijn AB deze twee hoeken maakt. Maar de som van de hoeken CEA en AED is ook gelijk aan twee rechte hoeken, dus de som van de hoeken CEA en AED is gelijk aan de som van de hoeken AED en DEB. Trek van allebei de hoek AED af. Dan is de overgebleven hoek CEA gelijk aan de overgebleven hoek DEB. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat de hoeken BEC en AED ook gelijk zijn.

De boeken van Byrne zijn dankzij de University of British Colombia compleet online te bewonderen. Vergelijk de plaatjesbewijzen vooral met de oorspronkelijke bewijzen. Wat vinden jullie ervan?

Wat zouden de grote geesten van lang geleden geschreven hebben in de 140 karakters die twitter toestaat? In de Scientific American gaat Steve Mirsky los bij het beantwoorden van deze hypothetische vraag.

Euclidmenot Working on something (book series called Elements) to drive 10th graders nuts 4 thousands of years. Conic section alone will make them cry.

Aristophanesridiculous @Euclidmenot Conic section? I thought you said COMIC section. HaHA, I still got it! Hey, frogs are funny, yes?

Arkymeets Note to self: take more baths. Do some of my best thinking in the tub.

Enzovoorts.

De anachronismen zijn niet van de lucht, uiteraard. Vooral grappig voor wie iets van wetenschapsgeschiedenis weet. En wie zelf betere tweets van oude grootheden kan bedenken kan natuurlijk zijn gang gaan in de comments.

Een tip voor de historisch geïnteresseerden onder jullie: uitgeverij Nieuwezijds biedt het boek Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde gratis aan als e-book, in pdf-formaat!

De bijdragen in het boek zijn van Machiel Keestra, Albert Grootendorst, Jan Hogendijk, Henk Bos, Jan van Maanen, Danny Beckers, Teun Koetsier en Tom Koornwinder. Elk hoofdstuk gaat over een bepaald tijdvak en de wiskunde daarin. Het boek laat zien dat er wel degelijk verbanden bestaan tussen culturele ontwikkelingen en wiskunde.

Klik hier voor meer informatie over het boek en een link naar de file. Ook enkele andere boeken van Nieuwezijds zijn nu gratis te downloaden, zie hier.

Deze keer in onze niet zo regelmatige serie over wiskundigen die op opvallende wijze aan hun eind gekomen zijn één van de beroemdste wiskundigen ooit: René Descartes (31 maart 1596 – 11 februari 1650).

René Descartes, geschilderd door Frans Hals (1648)

Descartes kwam uit een redelijk vooraanstaande familie, verscheidene familieleden bekleedden hoge ambtelijke functies. Zijn vader was advocaat en magistraat. René Descartes kreeg een algemene opleiding aan het Jezuïetencollege van La Flèche en studeerde een tijdje aan de universiteit van Poitiers.

In 1618 vertrok Descartes naar Nederland, waar hij in het leger van Prins Maurits militaire ervaring wilde opdoen, en daarna reisde hij door naar Duitsland en Bohemen, waar hij als officier vocht in het leger van de katholieke Maximiliaan I van Beieren. Descartes verbleef nog een tijd in Parijs, maar in 1628 keerde Descartes terug naar Nederland en daar bleef hij tot 1649. In Nederland stond hij in contact met verscheidene wiskundigen: hij studeerde bij Adriaan Metius in Franeker en hij kende Constantijn Huygens, bijvoorbeeld.

In 1637 publiceerde Descartes zijn werk Discours de la Méthode in Leiden, dat als een van de appendices la Géométrie bevatte. Dit is Descartes’ meest invloedrijke wiskundige werk. In de jaren die volgden verschenen nog allerlei werken, vooral over filosofie.

De Géométrie was bijzonder omdat Descartes hierin een eerste opzet maakt voor de analytische meetkunde. Op wiskonst.nl (een site gemaakt door studenten voor een seminarium geschiedenis van de wiskunde) kun je meer lezen over Descartes en de Géométrie (klik op “Commentaren” en dan op “René Descartes – …”).

In 1650 overleed Descartes in Stockholm, waar hij op verzoek van koningin Christina van Zweden heengegaan was om haar les te geven. Het verhaal gaat dat Descartes een longontsteking opliep: hij was gewend om lang in bed te blijven, maar moest de koningin vroeg in de ochtend lesgeven, wat zijn weerstand om zeep hielp. Anderen geloven dat hij de ziekte opliep toen hij een vriend behandelde die die ziekte had.

En zeer recent is er een nieuwe hypothese opgedoken: de Duitse filosooof Theodor Ebert beweert dat Descartes niet door een natuurlijke oorzaak overleden is, maar door een communie-hostie met arsenicum erin! Als schuldige wijst hij priester Jacques Viogué aan, die bang zou zijn dat Descartes een bekering van koningin Christina tot het katholicisme in de weg zou staan. Lees hier het artikel daarover in the Guardian.

Na de kijktip van gisteren nu een luistertip! Op de site van de BBC kun je het deze week uitgezonden Unintended Consequences of Mathematics terugluisteren. Melvyn Bragg praat met gasten John Barrow, Colva Roney-Dougal en Marcus du Sautoy over onverwachte/onbedoelde/oneigenlijke gevolgen van wiskunde. Bijvoorbeeld hoe derdegraadsvergelijkingen uiteindelijk leidden tot wisselstroom – en de elektische stoel. Ik ga snel luisteren, voor de aflevering weer offline gaat!

Kijk voor meer oneigenlijk gebruik trouwens ook eens bij het fijne Museum of Unintended Use.

De oude Egyptenaren deden praktische wiskunde. Veel van wat we van hun rekenkunst weten, weten we uit de papyrus Rhind, genoemd naar meneer Rhind die de papyrus kocht in Luxor en zorgde dat die in het British Museum terechtkwam.

De papyrus laat zien hoe de Egyptenaren rekenden. Ze konden rekenen met bepaalde breuken, al schreven ze die heel anders op dan wij. Ze gebruikten de stambreuken (dat zijn de breuken die wij aanduiden met waarbij een geheel getal is, zoals en ) en de breuk die wij schrijven als . De papyrus bevat vooral oplossingen voor praktische problemen, en was misschien bedoeld voor het onderwijs aan de zogenaamde schrijvers, die waarschijnlijk een hele laag van de bureaucratie vormden.

Op BBC radio 4 was deze week in de serie A History of the World in 100 Objects een item over de Rhind papyrus te horen. De directeur van het British Museum vertelt over deze papyrus, die stamt uit ongeveer 1550 v. Chr. Hier kun je de uitzending beluisteren en beter naar een stuk van de papyrus kijken!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Het nieuwe jaar is net begonnen. Hoe staat het met uw goede voornemens? De mijne hebben dit jaar vooral met werk te maken (mijn proefschrift eindelijk afmaken, bijvoorbeeld), maar een van de meest voorkomende goede voornemens is een paar kilo afvallen.

Volgens de laatste cijfers van het CBS had in 2008 maar liefst 46,9 procent van de Nederlanders van twintig jaar of ouder overgewicht. Hierbij is overgewicht gedefinieerd met behulp van de zogenaamde Body Mass Index (BMI): je BMI is je gewicht gedeeld door het kwadraat van je lengte, waarbij je je gewicht in kilogrammen en je lengte in meters moet invullen. Wie 60 kilo weegt en 1 meter 67 lang is, heeft een BMI gelijk aan 60/(1,67)² = 21,5.

Je hebt overgewicht als je een BMI hebt van 25 of meer. Met een BMI tussen de 25 en 30 heb je matig overgewicht, en bij een BMI van 30 of meer heb je ernstig overgewicht. Je hebt ondergewicht als je BMI kleiner is dan 18,5.

Maar wat betekent dat getal nou eigenlijk? Het is een heel rare grootheid: je deelt je gewicht (je massa, eigenlijk) door het kwadraat van een lengte. De bijbehorende eenheid is dus kg/m². Fysiologisch gezien betekent deze grootheid helemaal niets, de BMI meet geen echt bestaande eigenschap van je lichaam.

Een ander probleem is dat de index geen rekening houdt met lichaamsbouw en vetpercentages. Een atletisch persoon met veel spieren en weinig vet is relatief zwaar en heeft een hoge BMI, want spieren hebben een hogere dichtheid dan vet. Toch wil je eigenlijk niet zeggen dat zo iemand overgewicht heeft. Ook hoe het vet over je lichaam verdeeld is, wat wel uitmaakt voor de gezondheidsrisico’s, wordt niet meegenomen in de BMI.

Waar komt die BMI dan eigenlijk vandaan?

De BMI wordt ook wel queteletindex genoemd, naar de wiskundige en sterrenkundige Adolphe Jacques Quételet (1796 – 1874). Hij was een van de eersten die statistische methoden gebruikte voor sociale fenomenen zoals criminaliteit en sterftecijfers. Daarvóór werd statistiek eigenlijk alleen maar in de sterrenkunde gebruikt.

Adolphe Quételet

Quételet probeerde aan de hand van metingen gegevens over “de gemiddelde mens” te verkrijgen. Hij verzamelde gegevens van een heleboel mensen en stelde een relatie vast tussen lengte en gewicht. In de Engelse versie van zijn boek staat: “the weight is in proportion to the square of the stature”, in andere woorden: over de hele populatie genomen staat het gewicht zo’n beetje in een vaste verhouding tot het kwadraat van de lengte.

In 1972 werd de queteletindex door Ancel Keys, die de invloed van voeding op gezondheid onderzocht, omgedoopt tot de Body Mass Index. Hij linkte de formule wel aan overgewicht, maar stelde ook dat de BMI alleen geschikt is voor populatiestudies en niet als diagnostisch instrument voor individuen.

Toch wordt de index daar veel voor gebruikt, vooral omdat hij zo gemakkelijk te berekenen is. Maar of je nu een officieel gezonde BMI hebt of niet: als je broeken sinds de Kerst wat strakker zitten, kan goede voornemens maken geen kwaad.