Wiskundemeisjes

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Het nieuwe jaar is net begonnen. Hoe staat het met uw goede voornemens? De mijne hebben dit jaar vooral met werk te maken (mijn proefschrift eindelijk afmaken, bijvoorbeeld), maar een van de meest voorkomende goede voornemens is een paar kilo afvallen.

Volgens de laatste cijfers van het CBS had in 2008 maar liefst 46,9 procent van de Nederlanders van twintig jaar of ouder overgewicht. Hierbij is overgewicht gedefinieerd met behulp van de zogenaamde Body Mass Index (BMI): je BMI is je gewicht gedeeld door het kwadraat van je lengte, waarbij je je gewicht in kilogrammen en je lengte in meters moet invullen. Wie 60 kilo weegt en 1 meter 67 lang is, heeft een BMI gelijk aan 60/(1,67)² = 21,5.

Je hebt overgewicht als je een BMI hebt van 25 of meer. Met een BMI tussen de 25 en 30 heb je matig overgewicht, en bij een BMI van 30 of meer heb je ernstig overgewicht. Je hebt ondergewicht als je BMI kleiner is dan 18,5.

Maar wat betekent dat getal nou eigenlijk? Het is een heel rare grootheid: je deelt je gewicht (je massa, eigenlijk) door het kwadraat van een lengte. De bijbehorende eenheid is dus kg/m². Fysiologisch gezien betekent deze grootheid helemaal niets, de BMI meet geen echt bestaande eigenschap van je lichaam.

Een ander probleem is dat de index geen rekening houdt met lichaamsbouw en vetpercentages. Een atletisch persoon met veel spieren en weinig vet is relatief zwaar en heeft een hoge BMI, want spieren hebben een hogere dichtheid dan vet. Toch wil je eigenlijk niet zeggen dat zo iemand overgewicht heeft. Ook hoe het vet over je lichaam verdeeld is, wat wel uitmaakt voor de gezondheidsrisico’s, wordt niet meegenomen in de BMI.

Waar komt die BMI dan eigenlijk vandaan?

De BMI wordt ook wel queteletindex genoemd, naar de wiskundige en sterrenkundige Adolphe Jacques Quételet (1796 – 1874). Hij was een van de eersten die statistische methoden gebruikte voor sociale fenomenen zoals criminaliteit en sterftecijfers. Daarvóór werd statistiek eigenlijk alleen maar in de sterrenkunde gebruikt.

Adolphe Quételet

Quételet probeerde aan de hand van metingen gegevens over “de gemiddelde mens” te verkrijgen. Hij verzamelde gegevens van een heleboel mensen en stelde een relatie vast tussen lengte en gewicht. In de Engelse versie van zijn boek staat: “the weight is in proportion to the square of the stature”, in andere woorden: over de hele populatie genomen staat het gewicht zo’n beetje in een vaste verhouding tot het kwadraat van de lengte.

In 1972 werd de queteletindex door Ancel Keys, die de invloed van voeding op gezondheid onderzocht, omgedoopt tot de Body Mass Index. Hij linkte de formule wel aan overgewicht, maar stelde ook dat de BMI alleen geschikt is voor populatiestudies en niet als diagnostisch instrument voor individuen.

Toch wordt de index daar veel voor gebruikt, vooral omdat hij zo gemakkelijk te berekenen is. Maar of je nu een officieel gezonde BMI hebt of niet: als je broeken sinds de Kerst wat strakker zitten, kan goede voornemens maken geen kwaad.

Een tijdje geleden heb ik een heel goed boek gelezen: Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, geschreven door David (Dave) Richeson, die ook een leuke weblog heeft (Division by zero).

Ik heb het boek gerecenseerd voor de Mathematical Intelligencer (in het Engels, dus). De recensie begint zo:

‘‘They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. ‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to , also Euler’s). ‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship.

Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (), edges () and faces () always satisfy the equality . For example, a cube contains 8 vertices, 12 edges and 6 faces, and indeed, 8 – 12 + 6 = 2.

But if this formula is so simple, why did no one think of it earlier, especially when, as Richeson explains, people had been fascinated by polyhedra for millennia?

Hier kun je het hele stuk lezen (pdf).

Het is geen gemakkelijk boek. Het vereist niet meer voorkennis dan VWO-wiskunde, maar je moet wel echt je best doen om mee te denken. Maar als je doorzet leer je een boel: het boek vormt een goede balans tussen wiskundige gedachtegangen, historische feiten en subtiele historische ontwikkelingen. Onderweg leer je, aan de hand van de veelvlakkenformule van Euler, waar het vakgebied van de topologie nou eigenlijk over gaat en hoe het ontwikkeld is.

Voor scholieren of andere mensen die liever in het Nederlands lezen over veelvlakken: wiskundedocent De Leuw heeft op zijn website een toegankelijker stuk over veelvlakken gezet, met opgaven erbij, zie hier.

Vorige week schreef ik hier over onze jaartelling. Naast een boel reacties op de site kreeg ik ook een hele lading emails over dit onderwerp. Erg aardige emails, van vriendelijke mensen, geen wijsneuzen te bekennen. Bedankt voor al jullie reacties en verklaringen! Vooral de uitleg met rangtelwoorden en de vergelijking met een `nummering in letters' als c, b ,a, A, B, C waren verhelderend. Toch zou ik nog steeds liever een jaartelling met het jaar nul hebben gehad, misschien doordat ik nul als het eerste natuurlijke getal zie...

Lezer Jan mailde dat het verhaal gaat dat Donald Knuth, de informaticus, ooit gezegd heeft dat de bladzijdenummering van de meeste tijdschriften verkeerd is omdat de bladzijdenummers bovenaan de bladzijde staan en met 1 (één) beginnen. Zijn stelling was: bladzijdenummers onderaan de bladzijden (van boeken etcetera) horen bij 1, maar bladzijdenummers bovenaan de bladzijde met 0 (nul) te beginnen. Kan iemand dat verhaal bevestigen?

Toevallig las ik deze week ook The Salmon of Doubt van de onvolprezen Douglas Adams. In Unfinished Business of the Century bespreekt hij één van de grote problemen van de 20ste eeuw: de tekst van ""Do-Re-Mi," uit The Sound of Music. De tekst begint echter met iets anders...

Just a few more days to go. I think it's important not to leave a century, let alone a millennium, without cleaning up behind you, and there is clearly unfinished business to attend to. I suggest that the Net community try to identify this unfinished business and see if, between us, we can't get it squared away so that we can all enjoy the New Year celebrations with the sense of a century well done.

But first, a word to the pedants.

Yes, I know you all think that the millennium doesn't change till a year later, and very tedious you are about it, too. In fact, you are so keen to have something you can wag your fingers at the rest of the world about, that you are completely missing the point. IT HAS NO SIGNIFICANCE WHATSOEVER! It is merely an excuse to go "Whoa! Look at that! There they go!" as all the digits change.

What other significance can it _possibly_ have? Ten (along with its multiples) is an arbitrary number. January 1 is an arbitrary date. And if you happen to think that the birth of Jesus Christ is a significant moment, then all we can say with any certainty is that 1 A.D. isn't when it happened. Or 0 A.D., if the previous year had been called that (which, as we all know because the pedants keep banging on about it, it wasn't).

Then, as the historians (a _much_ more interesting bunch than the pedants) tell us, the calendar has been played around with so many times in the intervening years anyway that the whole thing is doubly meaningless.

Consider this: we've only relatively recently got our time- and date-keeping precisely defined and standardised, with the aid of atomic clocks and suchlike. And on January 1, 2000 (if the doomsayers are to believed) all of our computer systems will go haywire and plunge us back in the stone age (or not, as the case may be). So it seems to me that midnight on December 31 is the only solid and reliable point we have in the entire sorry mess, and so perhaps we should be celebrating that just a little bit. And instead of saying that we have got the end of the millennium (or bi- millennium) wrong, we should say that our ancestors got the _beginning_ of it wrong, and that we've only just sorted the mess out before starting a new mess of our own. What the hell does it matter anyway? It's just an excuse for a party.

Bij dat laatste sluit ik me van harte aan. Ik wens jullie allemaal een mooi feestje vanavond en vooral heel veel goeds voor 2010!

Deze column staat in de kerstbijlage van de Volkskrant.

Nog maar een paar nachtjes slapen en dan is het 2010. Eindelijk zijn we verlost van die onbestemde jaren nul. Een nieuw decennium, een nieuw geluid! Hoewel, waren er niet van die wijsneuzen die in 2000 beweerden dat het nieuwe millennium pas op 1 januari 2001 begon? Begint het nieuwe decennium dan soms ook pas volgend jaar?

Helaas hebben de wijsneuzen in dit geval gelijk: onze jaartelling loopt vanaf het jaar één en niet vanaf het jaar nul. Dus als je netjes telt, dan begint het nieuwe decennium inderdaad pas over iets meer dan een jaar. Zo is het vastgelegd en daar valt niets meer aan te veranderen. Op nieuwjaarsborrels kun je de wijsneuzen dus gelijk geven en snel over iets anders beginnen.

Bijvoorbeeld over dat het wel heel raar is dat er geen jaar nul is. Blijkbaar was het eerst één voor Christus (al waren daarvan op dat moment nogal weinig mensen op de hoogte) en daarna ineens één na Christus. Dat levert merkwaardige dingen op. Neem bijvoorbeeld een Romein die geboren werd in 10 voor Christus. In het jaar 30 na Christus werd deze man dan 39. Dat is toch een beetje vreemd. De Romein in kwestie merkte daar weinig van, want onze huidige jaartelling werd pas eeuwen later vastgelegd.

Een Romein die al genoeg aan zijn hoofd heeft

In 525 gebruikte Dionysius Exiguus voor het eerst de term Anno Domini, oftewel Het jaar des Heeren, wat wij nu aanduiden met na Christus. Exiguus bedacht het jaartelsysteem om de juiste data van Pasen te kunnen bepalen, een belangrijke zaak voor de kerk en middenstand. Hij gebruikte de telling niet voor historische gebeurtenissen en verklaarde trouwens ook niet hoe hij nou wist dat het op dat moment het jaar 525 was.

Ruim 200 jaar later gebruikte de monnik Bede als eerste een jaar vóór Christus. Hij legde toen het begin van onze jaartelling vast als het jaar één. Het lijkt een bewuste keuze te zijn geweest om de jaartelling te laten beginnen bij één en niet bij nul. Vaak wordt geopperd dat Bede domweg nooit had gehoord van het getal nul, maar dat is niet waar. Hij gebruikte regelmatig het Latijnse woord nulla (niets) waar wij nu een nul zouden schrijven.

Sindsdien gebruiken historici nooit meer het jaar nul, maar sterrenkundigen, Boeddhisten en Hindoes doen dat wel. Vaak worden de verschillende keuzes uitgelegd als het verschil tussen meten en tellen. Bij tellen begin je vanaf één, denk aan de pagina’s van een krant. Bij meten begin je vanaf nul: zoals bij een liniaal. Onze eigen leeftijd meten we dus in jaren, we beginnen te tellen vanaf nul jaar.

Het telargument bij de jaartelling snap ik zelf nooit zo goed: voordat je één iets hebt, heb je er toch nul? En geen min één? Ik kan eigenlijk geen enkel goed argument verzinnen om de jaartelling te laten beginnen bij het jaar één. Wat zie ik over het hoofd? Waarschijnlijk kan een vriendelijke wijsneus dat me haarfijn vertellen op een nieuwjaarsborrel.

Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) is een beroemd wiskundige. Hoewel allerlei wiskundige begrippen naar hem genoemd zijn, is er maar weinig over zijn leven bekend en werd hij in zijn eigen tijd minder hoog geacht dan nu. En zoals vaak het geval is bij historische figuren zijn er maar weinig portretten van de man bekend. Lange tijd dacht men dat hij er zo uitzag:

Maar onlangs bleek dat dit helemaal niet de wiskundige Legendre is! Peter Duren vertelt in zijn artikel Changing Faces: The Mistaken Portrait of Legendre (pdf) dat de man op dit portret de politicus Louis Legendre is. Waar komt de verwarring vandaan? Ditzelfde portret verschijnt al meer dan honderd jaar als beide personen.

Het portret van Louis Legendre verscheen in een boek in 1833, en hoewel zijn volledige naam achter in de index staat, staat onder het portret alleen zijn achternaam. Er staan ook een paar prominente wiskundigen in het boek, dus waarschijnlijk heeft iemand een keer niet zo goed opgelet en aangenomen dat het om de wiskundige ging. Daarna is het portret een eigen leven gaan leiden, ook omdat er verder geen enkel portret van de wiskunde Legendre bekend was, en iedereen die hem persoonlijk gekend had al lang overleden was.

Toen dit probleem via internet aan het licht kwam, ging men natuurlijk op zoek naar een echt portret van de wiskundige. En wonderbaarlijk genoeg is dat gelukt: in een serie karikaturen dook een karikatuur van de wiskundige Legendre op, samen met de wiskundige Fourier (zie hier). Op die karikatuur zie Legendre er zo uit, waarschijnlijk vooral om hem met de dikke en vrolijke Fourier te contrasteren:

Op de website van Gérard Michon, die de karikatuur ontdekte in een catalogus, is meer informatie over de ontdekkingstocht te vinden, maar lees dus vooral ook Durrens interessante artikel.

(Via de weblog van Dave Richeson en een tip van Tom Koornwinder.)

Een kort nieuwtje, dat eigenlijk vooral oud is: vandaag wordt door wiskundigen gevierd dat de Riemann-hypothese 150 jaar geworden is. De Riemann-hypothese is een van de bekendste grote onopgeloste wiskundeproblemen. En wie het lukt ziet een miljoen dollar tegemoet: het Clay Institute zette het probleem in 2000 op de lijst van zeven Millennium Problems. We schreven al eerder over de Riemann-hypothese: hier en hier, bijvoorbeeld.

Riemann publiceerde zijn hypothese in november 1859. Hier kun je meer lezen over zijn artikel, en ook kun je daar Riemanns originele manuscript als pdf downloaden. De eerste pagina ziet er zo uit:

Het is misschien een beetje gek om te vieren dat we iets al heel lang niet kunnen bewijzen of weerleggen, maar onopgeloste problemen zijn heel belangrijk in de wiskunde: het zoeken naar een oplossing voor zo'n groot probleem levert vaak een boel interessante wiskunde en onverwachte verbanden op, ook als de oplossing niet gevonden wordt. Allerlei wiskundigen over de hele wereld geven vandaag lezingen om de 150e verjaardag van de Riemann-hypothese te vieren. Niet hier in de buurt, helaas. Gelukkig heb ik begin november op een conferentie met mijn geschiedenis-van-de-wiskunde-collega's al geproost op deze verjaardag van de Riemann-hypothese!

Pythagoras, het wiskundetijdschrift voor jongeren (en docenten, en andere geïnteresseerden) bestaat al een hele tijd: bijna vijftig jaar. In die vijftig jaar is er veel veranderd (en niet alleen zinnen als "Onder de goede oplossers wordt een boekenbon van ƒ2,50 verloot") zoals je nu zelf kunt zien, want de hele eerste jaargang is vanaf nu online beschikbaar in pdf-formaat! En wat nog veel leuker is: de komende tijd zal het archief langzaam gevuld worden met pdf-files van alle oude nummers, zodat alle Pythagorassen die ooit verschenen zijn online beschikbaar komen en dus ook makkelijk te doorzoeken zullen zijn. Leuk, want er is een boel in te ontdekken!

In het meest recente boek van David Leavitt, "The Indian Clerk", speelt wiskunde een grote rol. Het boek speelt in het begin van de twintigste eeuw en gaat over de relatie tussen de wiskundigen G. H. Hardy en Srinivasa Ramanujan. Ik ben er zelf in bezig, en het begin belooft veel goeds!

Op dinsdag 16 juni komt Leavitt naar Amsterdam. The John Adams Insitute organiseert dan samen met Uitgeverij De Harmonie een bijeenkomst over "The Indian Clerk"! De voertaal is Engels.

Tijd: 20 uur
Plaats: Posthoornkerk, Haarlemmerstraat 124-126, Amsterdam
Kaarten: via www.john-adams.nl
Prijzen: JAI-leden € 11 - Student/Senior € 10 - Niet-leden € 18,50

Het boek verschijnt in het Nederlands onder de titel "De Indische klerk". Van de website van de uitgever:

Op een januariochtend in 1913 treft de charismatische en excentrieke G.H. Hardy, die op zijn zevenendertigste al beschouwd wordt als een van de grootste wiskundigen van zijn tijd, een mysterieuze envelop aan. Hij vindt hierin een brief van een Indische klerk, Srinivasa Ramanujan, die beweert op het punt te staan een revolutionaire wiskundige ontdekking te doen. De collega's van Hardy menen dat hij met een oplichter van doen heeft, maar Hardy is ervan overtuigd dat de klerk serieus genomen moet worden. Deze keuze zal niet alleen zijn eigen leven en dat van zijn vrienden veranderen, maar de hele geschiedenis van de wiskunde.

"Mathematics and its paradoxes provide a deep vein of metaphor that Leavitt uses to superb effect, demonstrating how the most meaningful relationships can defy both
logic and imagination", aldus The New Yorker.

Vorige week was ik in het Louvre. En behalve de glazen pyramides was er nog meer wiskunde te zien. Dit schilderij bijvoorbeeld: "Portret van een mathematicus" van Ferdinand Bol. Ik had met moeite zelf een foto genomen, maar die is niet zo mooi, want het schilderij hing nogal hoog en spiegelde ook nog. Gelukkig is op internet alles te vinden!

Zijn meetkundige tekening nog een beetje groter:

Ik heb overigens geen idee of hier een echte wiskundige uit die tijd afgebeeld is, en zo ja, wie. Iemand anders wel? Het schilderij komt uit 1658.

Zoals onlangs beloofd: iets meer over Edsger W. Dijkstra. Deze column verscheen eerder in Technisch Weekblad, vakblad voor hogeropgeleide technici en bèta's.

Vijftig jaar geleden publiceerde Edsger Dijkstra zijn kortstepadalgoritme. Daarom een kleine ode aan de in 2002 overleden Dijkstra, iemand waar we als Nederlanders best wat trotser op mogen zijn. Dijkstra was een van de eerste programmeurs van Nederland. Toen hij in 1957 trouwde, werd het beroep computerprogrammeur door de burgerlijke stand nog niet erkend en uiteindelijk gaf hij maar `theoretische natuurkundige’ op.

Zijn beroemdste resultaat is het kortstepadalgoritme, dat de kortste verbinding vindt tussen twee knopen in een graaf (een verzameling punten waarvan sommigen verbonden zijn). Denk bijvoorbeeld aan het vinden van de kortste route tussen twee steden. Het slimme van Dijkstra’s algoritme is dat het niet alle mogelijke routes met elkaar vergelijkt, maar dat het stap voor stap de kortst mogelijke afstanden tot elk punt opbouwt. In de eerste stap kijk je naar alle punten die vanaf het beginpunt te bereiken zijn en markeer je al die punten met de afstand tot het beginpunt. Daarna kijk je steeds vanaf het punt dat op dat moment de kortste afstand heeft tot het beginpunt naar alle punten die je vanaf daar kunt bereiken. Als je een buurpunt via een nieuwe verbinding op een snellere manier kunt bereiken, schrijf je de nieuwe, kortere afstand tot het beginpunt bij zo’n punt. Zo ga je steeds een stukje verder tot je alle punten hebt gehad en je de kortste route tot het eindpunt hebt gevonden.

Als je het algoritme even op een servetje probeert, dan is is het zo eenvoudig dat je je afvraagt waarom je het niet zelf hebt bedacht. Dijkstra vond het zelf ook een beetje gek dat zijn naam en faam voor een groot deel gebaseerd waren op een algoritme dat hij bedacht als demonstratie voor een computer. Hij bedacht het kortstepadalgoritme zonder pen of papier op een zonnig terras terwijl hij met zijn vrouw een kopje koffie dronk.

Dijkstra verzon nog veel meer dan dit algoritme en hij had ook sterke visie op wat informatica zou moeten zijn. Honderden brieven, essays en andere handgeschreven teksten van Dijkstra staan op internet (E. W. Dijkstra Archive). Elke tekst heeft de code EWD (van Edsger W. Dijkstra) en een nummer, EWD1213 is bijvoorbeeld een inleiding bij een cursus analyse. De manier waarop hij zijn studenten daarin toespreekt, is prachtig:

It is not my purpose to "transfer knowledge" to you that, subsequently, you can forget again. My purpose is no less than to effectuate in each of you a noticeable, irreversable change. [...] I mean, if 10 years from now, when you are doing something quick and dirty, you suddenly visualize that I am looking over your shoulders and say to yourself “Dijkstra would not have liked this.”, well, that would be enough immortality for me.

Zou het hem ooit gelukt zijn dit te bereiken bij zijn studenten? De komende weken zal ik in elk geval schuldbewust aan Dijkstra denken als ik een lompe brute-force-oplossing gebruik.