Wiskundemeisjes

Een echte wiskundige haalt zijn voldoening natuurlijk uit prachtige onderzoeksresultaten, maar voor wie daarnaast roem, aandacht en gilllende groupies wil, geven we deze week een tip vijf om ook eens volop in de media te komen. Het is alweer tijd voor tip drie.

3. Beweer dat je iets heel spectaculairs bewezen hebt.
Deze tip kun je in twee varianten toepassen. Je kunt ten eerste roepen dat je een belangrijk resultaat (zeg de Riemann-hypothese) hebt bewezen, terwijl er nog een gat ter grootte van je ego in het bewijs zit. Het nadeel van deze methode is dat er heel veel mensen zijn die beweren zo'n bewijs gevonden te hebben, maar vorig jaar lukte het Xian-Jin Li toch om flink wat aandacht te krijgen voor zijn bewijs.

Een tweede methode is om iets te doen dat op zich keurig klopt, maar helemaal niet zo spectaculair is. Als jij (of je persvoorlichter) heel hard roept dat je een eeuwenoud probleem hebt opgelost, dan zorg je makkelijk voor een hype. De meeste mensen zullen er immers toch niets van snappen. Een uitstekend voorbeeld hiervan is de hype rond het magische vierkant van 2007. Een nadeel van deze methode is dat je na afloop vaak flink wat negatief commentaar over je heen krijgt.

Eric Maskin
Op bezoek in Princeton vroeg ik Eric Maskin welke nog levende wiskundige hij bewondert. Maskin (1950) werd geboren in New York en studeerde en promoveerde als (toegepast) wiskundige aan Harvard. Hij werkte op verschillende topplekken voor hij in 2000 neerstreek op het Institute for Advanced Study in Princeton. Hij werkt aan verschillende economische vraagstukken. In 2007 kreeg Maskin de Nobelprijs voor Economie voor zijn werk in de speltheorie. Hij was een van de grondleggers Mechanisme Ontwerp Theorie: hoe je een spel kunt opzetten om een bepaalde uitkomst te bereiken, ook al spelen de individuele spelers voor zichzelf. Dit klinkt gemener dan het is: het is vaak juist de bedoeling dat de spelers allemaal tevreden zijn. Maskin gebruikt als voorbeeld aan het begin van een voordracht vaak de klassieke vraag hoe je met twee personen een taart eerlijk kunt delen. Op de website van de Nobelprijs kun je toespraken van Maskin terugkijken en lezen over hem en zijn werk. Ik heb nog geen video gekeken, maar Maskin was live een erg goede spreker.

Omdat Maskin in de economische speltheorie werkt, verwachtte ik dat hij ook iemand in die hoek zou noemen als favoriet. Tot mijn verbazing koos hij echter...

Pierre Deligne
Deligne werd in 1944 geboren in Brussel, waar hij ook wiskunde studeerde. Hij was lange tijd verbonden aan het Institut des Hautes Études Scientifiques, waar hij werkte met Alexander Grothendieck. Sinds 1984 werkt hij in Princeton. Delignes beroemdste resultaat is waarschijnlijk zijn bewijs van de Weil-vermoedens, een soort Riemann-hypotheses voor eindige lichamen. Voor de liefhebbers hierbij een pdf van Brian Osserman over deze vermoedens.

Voor dit werk kreeg Deligne in 1978 de Fieldsmedaille en hij heeft in de tussentijd heel wat prijzen gewonnen. Zijn werk is ontzettend breed, Maskin noemt hem `een moderne Gauss'. Maskin heeft nooit zelf met Deligne gewerkt, maar hij bewondert zijn prachtige resultaten en zijn vriendelijke persoonlijkheid. Ze zien elkaar regelmatig op Princeton, Maskin vertelt dat Deligne naar de meest uiteenlopende voordrachten komt. Wat laat zien dat Deligne én Maskin allebei een brede interesse hebben.

Tenslotte een mooi citaat uit de nieuwsbrief van Princeton toen voor de 61ste verjaardag van Deligne een conferentie werd georganiseerd.

There are very few mathematicians whose impact on modern mathematics comes close to that of Deligne [...] Deligne’s research in algebraic geometry and arithmetic geometry have shaped these fields and led him to the solution of a number of long standing problems, including the Weil Conjectures (which are the analogues of the notorious Riemann Hypothesis for varieties over finite fields) and the celebrated Ramanujan Conjecture in the theory of modular forms. Deligne’s foundational contributions range from the above fields to representation theory of groups, differential equations and monodromy, topology ... Many of the techniques and tools that he developed either in these papers or in response to questions posed to him (he is very approachable and generous) are at the bottom of much of the exciting research that is going in these fields today. (Peter Sarnak)

Jeffrey Shallit schrijft op zijn onvolprezen blog Recursivity over een nieuwe formule om priemgetallen te genereren. Koen schreef hier ook al over. Weten jullie allemaal nog wat priemgetallen zijn? Dat zijn de getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf: bijvoorbeeld 2, 3, 5, 7 of 5417. Om technische redenen noemen we 1 geen priemgetal.

Priemgetallen worden al heel lang bestudeerd. We weten al meer dan tweeduizend jaar dat er oneindig veel priemgetallen bestaan en de zeef van Eratosthenes om priemgetallen te vinden is ongeveer even oud. Je zou misschien denken dat we alles wel zo'n beetje weten over priemgetallen. Niets is minder waar. Het vermoeden van Goldbach, de Riemann-hypothese en allerlei andere vermoedens over priemgetallen zijn nog steeds onbewezen.

Het is daarom enigszins verrassend als er iets nieuws over priemgetallen wordt ontdekt dat tamelijk eenvoudig is. Zoals deze formule om priemgetallen te genereren. Neem a(1) = 7 en neem voor n ≥ 2

a(n) = a(n-1) + ggd(n,a(n-1)).

Dat ggd is een afkorting voor de grootste gemene deler . Dus we vinden bij de eerste stap a(2) = a(1) + ggd(2,7) = 8. De verschillen tussen twee opeenvolgende termen a(n) - a(n-1) geven priemgetallen (en een heleboel enen).

De reeks a begint zo:

en dit zijn de bijbehorende verschillen a(n) - a(n-1)

Als we de enen overslaan, dan krijgen we de priemgetallen 5, 3, 11, 3 en 23. Als je zo verder gaat, dan vinden we (zonder de dubbelen en de enen) meer priemgetallen

Eric Rowland bewijst in het artikel A Natural Prime-Generating Recurrence dat in deze reeks alleen enen en priemgetallen voorkomen. Dit artikel is deze maand gepubliceerd in Journal of Integer Sequences. In het stuk van Shallit kun je meer lezen over de ontdekking van deze formule.

Er zijn trouwens nog een paar interessante open vragen bij de nieuwe formule. Werkt het bijvoorbeeld ook voor andere beginwaarden dan a(1) = 7? Voor a(1) = 532 (om maar wat te noemen) krijg je bijvoorbeeld vrij snel een 9. Rowland vermoedt echter dat voor elke begingetal er na een eindig aantal stappen alleen nog enen en priemgetallen komen. Nog interessanter is volgens mij de vraag of ook alle oneven priemgetallen voorkomen in zo'n reeks. Rowland vermoedt van wel...

Shallit had ons trouwens zelf gemaild over dit nieuwe resultaat. We zouden het heel leuk vinden als meer wiskundigen ons zouden tippen over ontwikkelingen die interessant zijn om hier te noemen!

Deze maand in vallende sterren (dé rubriek over wiskundigen die op een opmerkelijke wijze om het leven kwamen): de Deense wiskundige Jorgen Pedersen Gram.

Gram werd geboren in het Deense Nustrup op 27 juni 1850. Zijn vader, Peder Jorgensen Gram, was een boer. Na zijn lagere school en middelbare school ging Gram op zijn achttiende naar de universiteit. In 1873 studeerde hij af als master in de wiskunde. Deze titel is niet dezelfde als de huidige master of science. Het niveau lag destijds veel hoger, ongeveer op het niveau van een promotieonderzoek. Na zijn studie begon Gram te werken bij een verzekeringsmaatschappij, maar hij bleef de rest van zijn leven ook wiskundige artikelen publiceren.

Laatst vertelde ik tijdens de lunch iets over Gram, maar ik kon even niet op zijn naam komen. "Die van die orthogonalisatiemethode", zei ik. "Gram" riep de ene helft van de tafel in koor, "Schmidt" zei de rest. We denken bij de naam Gram inderdaad snel aan de Gram-Schmidt orthogonalisatie, die ironisch genoeg door Gram noch Schmidt is uitgevonden. Laplace publiceerde deze methode al in 1819 in zijn Théorie Analytique des Probabilités (helaas is de betreffende pagina nog niet online beschikbaar).

Grams werk was heel breed. Hij werkte bijvoorbeeld niet alleen aan de Riemann hypothese en de kleinste kwadraten methode, maar ook volop in de toegepaste wiskunde (chapeau). In The Reticent Trio: Some Little-Known Early Discoveries in Life Insurance Mathematics by L.H.F. Oppermann, T.N. Thiele and J.P. Gram is meer te lezen over het werk van Gram aan verzekeringswiskunde. Gram werkte jarenlang bij de verzekeringsmaatschappij Hafnia en richtte zelfs een eigen Skjold Insurance Company op. Helaas bestaat die verzekeringsmaatschappij niet meer, ze hadden vast gunstige voorwaarden voor wiskundigen...

Gram had ook een passie voor bosbouw en publiceerde verschillende artikelen over wiskundige modellen voor bosmanagement. Hij deed zelfs experimenten met bomen. Hij kreeg weinig internationale erkennning voor dat werk, doordat hij het alleen in Deense bosbouwbladen publiceerde. Duitse wetenschappers publiceerden rond dezelfde tijd soortgelijke ideeën en kregen alle eer.

In 1884 won Gram de gouden medaille van de Videnskabernes Society voor zijn artikel Investigations of the number of primes less than a given number. Vijfendertig jaar later was hij op weg naar diezelfde Videnskabernes Society toen hij werd doodgereden door een fiets. Gram overleed op 65-jarige leeftijd door dit vreemde ongeluk.

Een tijdje terug vroeg mijn beste vriend me of ik The music of the primes van Marcus du Sautoy al gelezen had. Hij was er laaiend enthousiast over en bracht het dezelfde avond voor me mee. Hij vertelde tijdens het eten een paar mooie anekdotes die erin stonden en bekende dat hij na het lezen van dit boek ook een wiskundige zou willen zijn (hij is informaticus).

Inmiddels heb ik The music of the primes met veel plezier gelezen. Du Sautoy beschrijft de geschiedenis van de Riemann hypothese met veel anekdotes, metaforen en mooie verhalen. Hij beschrijft goed hoe wiskundigen werken, zonder al te veel moeilijke wiskunde te gebruiken. Hierdoor is het boek ook voor niet-wiskundigen goed te lezen.

Sommige van de anekdotes zijn wat belegen (alweer 1729). Maar alleen het verhaal hoe Hendrik Lenstra zorgde dat Don Zagier een fles wijn verloor, maakt het boek al de moeite waard... Ik vond het ook heel interessant om te lezen hoe Hilbert besloot om in 1900 de beroemde lijst onopgeloste problemen op te stellen of hoe Princeton werd opgericht. Erg fijn was ook de job description die Julia Robinson indiende bij personeelszaken in Berkeley:

"Monday--tried to prove theorem, Tuesday--tried to prove theorem, Wednesday--tried to prove theorem, Thursday--tried to prove theorem; Friday--theorem false."

The music of the primes is geheel onterecht nog niet in het Nederlands vertaald, dus wie het wil lezen moet de Engelse versie bestellen. Er is wel een prachtige website bij gemaakt en ook de homepage van Marcus du Sautoy is een aanrader.

(Ionica)

Mark Peletier

Mark Peletier is een van de jongste professoren van Nederland en een zeer veelzijdig wiskundige. Hij werkt in het gebied van variationele methoden en zijn werk wordt getypeerd door de grote interesse in toepassingen. Hij werkte bijvoorbeeld aan elastische structuren (zoals in elkaar verstrengeld DNA) en "vouwen" in gesteenten. Of, zoals hij het zelf zei in zijn oratie: "Waar ik me op concentreer is waar differentiaalvergelijkingen systemen beschrijven die op één of andere manier complex zijn."

Mark Peletier was jarenlang een van de stuwende krachten achter de jaarlijkse Studiegroep Wiskunde met Industrie, waar wiskundigen een week werken aan echte problemen van bedrijven. Hij was ook betrokken bij verschillende projecten om het grote publiek bij wiskunde te betrekken, zoals Eurodiffusie en De Grote Griepmeting. Sinds vorig jaar is Mark Peletier actief bij Beter Onderwijs Nederland, de vereniging die strijdt voor (de naam zegt het al) beter onderwijs. De wiskundemeisjes belden naar Eindhoven om te vragen wie de favoriete (nog levende!) wiskundige van Mark Peletier is. Hij koos iemand die in hetzelfde gebied als hijzelf werkt:

Felix Otto

Felix Otto werd geboren in 1966 in München. Hij studeerdeerde wiskunde in Bonn en promoveerde daar in 1993. Daarna werkte hij in New York, Pittsburgh en Santa Barbara. In 1999 keerde hij terug naar Bonn als professor in de toegepaste wiskunde. In 2006 kreeg hij de Förderpreis für deutsche Wissenschaftler im Gottfried Wilhelm Leibniz-Programm der Deutschen Forschungsgemeinschaft (Leibniz-prijs voor vrienden) ter waarde van 1.55 miljoen euro.

Otto's werk bevindt zich op de driepoot van wiskunde in continue media, variationele methoden en differentiaalvergelijkingen. Wat hem volgens Peletier zo interessant maakt, is dat hij compleet nieuwe concepten verzint en daarmee hele vakgebieden lanceert. Een voorbeeld is het gebied van gradiëntstromen. Men nam lange tijd aan, dat slechts een klein deel van bepaalde fysische systemen daarmee te beschrijven was. Otto toonde aan dat de groep van systemen die als een gradiëntstroom gezien kunnen worden veel groter is: elk systeem waarbij traagheid geen rol speelt valt eronder. Deze ontdekking gaf aanleiding tot een hele berg nieuw onderzoek, doordat Otto in zijn bewijs nieuwe Riemanniaanse objecten gebruikte.

Felix Otto is volgens Peletier ook nog een soort ideale schoonzoon: "Hij dwingt respect af door zijn vriendelijkheid. Otto is iemand die bij een lezing achterin de zaal zit en na afloop niet alleen vragen stelt, maar ook de spreker attent maakt op interessante dwarsverbanden met ander werk en op mogelijke contacten."
Peletier hecht veel waarde aan het volgende idee van Otto: "Als het systeem dat je bestudeert heel ingewikkeld is, dan moet je je verwachtingen aanpassen." Otto bedoelt hiermee dat veel natuurlijke systemen van zichzelf zo complex zijn, dat je ze nooit helemaal met wiskunde kunt beschrijven. Als je bijvoorbeeld wilt modelleren wat er in een mierenhoop gebeurt, dan kun je niet het gedrag van elke losse mier apart beschrijven. Je moet zoeken naar een goede vereenvoudiging, zodat de vergelijkingen eenvoudig genoeg zijn om iets ermee te doen en tegelijkertijd complex genoeg om iets zinnigs over het systeem te zeggen. Otto is zelf erg goed in het vinden van goede beschrijvingen van ingewikkelde dingen. Daardoor is er goede hoop dat we in de toekomst steeds naar complexere systemen zullen kunnen kijken.
(Ionica)

Jan van de Craats

De wiskundemeisjes belden deze maand Jan van de Craats om hem te vragen wie eigenlijk zijn favoriete, nog levende, wiskundige is. Hier zien jullie Jan met zijn kleinzoon Yuri tijdens een bezoek aan de modelspoorwegbaan in het Zuiderpark in Den Haag (alweer zo'n exclusieve foto op de wiskundemeisjes!).

Jan van Craats is waarschijnlijk de meest succesvolle populariseerder van wiskunde in Nederland. Niet voor niets won hij dit jaar de NWO Oeuvreprijs (zie ook dit stukje). De lijst van dingen die hij deed en doet is heel erg lang, we noemen een paar hoogtepunten. Hij schreef diverse toegankelijke boeken over wiskunde en binnenkort verschijnt alweer een nieuw boek: het Basisboek rekenen dat hij samen met Rob Bosch heeft geschreven. Hij organiseerde eerder dit jaar een succesvolle webklas voor scholieren over de Riemann-hypothese. Jan van de Craats heeft zelf een uitgebreide website met veel informatie en mooie stukken van zijn hand.

Van de Craats vindt het lastig om één favoriete nog levende wiskundige te noemen. Na lang twijfelen kiest hij voor Keith Devlin, onder voorwaarde dat we ook vermelden dat Mathematics: A very short introduction van Timothy Gowers een meesterwerk is dat iedereen zou moeten lezen. Bij deze.

Keith Devlin

Keith Devlin, geboren in 1947 in Engeland, is een bekend populariseerder van de wiskunde. Als wiskundige houdt hij zich bezig met het ontwerp van informatie- en redeneersystemen voor intelligence analysis, het formaliseren van situaties en zaken van strategisch belang. Hij is ook geïnteresseerd in het toepassen van wiskundige technieken in de studie van communicatie en manieren om wiskunde te doceren of over te brengen op een breed publiek.

Sinds 1987 woont Devlin in de VS, hij werkt nu aan het Center for the Study of Language and Information aan Stanford University. Hij heeft meer dan 75 onderzoeksartikelen gepubliceerd en 25 boeken, waaronder ook veel populariserende boeken. Verder heeft Devlin al jaren een vaste column, Devlin's Angle, op MAA Online en treedt hij op als The Math Guy in het radioprogramma Weekend Edition Saturday van de National Public Radio.

Zijn nieuwste boek, The Math Instinct, gaat over de aangeboren wiskunde die ieder mens (en dier) heeft: als een hond langs het strand rent en in het water springt om een diagonaal gegooide bal te vangen, lost hij intuïtief een probleem op dat we theoretisch met calculus zouden oplossen. De hond zwemt niet helemaal door het water naar de bal, hij rent ook niet over het strand tot hij zo dicht mogelijk bij de bal is om daarna naar de bal te zwemmen, nee, hij rent eerst een stukje over het strand en zwemt vervolgens nog een stukje diagonaal door het water, en wel zó dat de tijd die het duurt om bij de bal te komen zo klein mogelijk is. Zie mathtrek voor verdere uitleg van dit voorbeeld.