Wiskundemeisjes

Natuurlijk leerden we allemaal tellen en lezen met Sesamstraat. Gelukkig worden er nog steeds nieuwe filmpjes gemaakt voor de kindjes van nu. En die filmpjes zijn ook zeker leuk voor oudere kijkers! Hierbij twee leuke recente filmpjes over wiskunde.

Feist zingt het telliedje "1,2,3,4".

En Jack Black is op zoek naar een achthoek (onder invloed van eh...ja...wat? een achthoekige drug?).

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Aan het eind van de Boekenweek leek het me mooi om net als de 75 auteurs in de prachtige bundel “Titaantjes waren we” een brief aan mijn jonge ik te schijven.

Lief pubermeisje Ionica,

Laat ik maar met de deur in huis vallen: het is tijd dat je ontdekt wat je écht leuk vindt. Op school vind je het vooral fijn om goede cijfers te halen. Je vindt daarom alle vakken wel leuk, behalve dan gymnastiek en tekenen (waarvoor je nooit meer dan een zes haalt en die voldoende krijg je vooral omdat de leraren vinden dat je zo aandoenlijk je best doet). Maar er is niets waarover je echt enthousiast bent, niets waarover je ‘s avonds na het eten wilt nadenken, niets om je tanden eens in te zetten.

Dit is een nog jongere Ionica. Als puber keek ik natuurlijk altijd chagerijnig vanachter mijn puistjes, dus daar ga ik hier geen foto van plaatsen.

Ik weet vrij zeker dat er iets is dat je geweldig vindt: wiskunde. Je denkt nu dat wiskunde gaat over het berekenen van driehoekszijdes, het tekenen van grafiekjes en het oplossen van vergelijkingen. Maar wiskunde is veel meer dan die sommen die je nu krijgt. Wiskunde gaat nauwelijks over rekenen, het gaat om grote ideeën en over helder nadenken. Het allermooiste van wiskunde zijn de waterdichte bewijzen.

Heb je bijvoorbeeld al eens gehoord van priemgetallen? Dat zijn getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf. Zeventien is een voorbeeld, en 1999 (probeer als je me niet gelooft maar eens een deler van 1999 te vinden op je rekenmachine). Meer dan tweeduizend jaar geleden bewees de Griekse wiskundige Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs is na al die jaren nog steeds mooi en helder.

Neem eens aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Die kun je dan in een lijstje zetten en nummeren: het eerste noem je , het volgende en zo ga je door tot het laatste priemgetal op de lijst dat je noemt. Maak nu een nieuw getal x door al deze priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen en er één bij op te tellen. Dus . Vanzelfsprekend is groter dan één en dat betekent dat door minstens één priemgetal te delen is. Die deler zou op onze lijst met alle priemgetallen moeten staan.

Maar als je x deelt door dan houd je een rest van één over. Hetzelfde geldt voor en elk ander priemgetal op onze lijst priemgetallen. Dus is door geen van de priemgetallen op die lijst te delen. Dat kan twee dingen betekenen: óf is zelf een priemgetal, óf is te delen door een of ander priemgetal dat niet op de lijst staat. In beide gevallen ontbreekt er een priemgetal op onze lijst: terwijl we aannamen dat alle priemgetallen daarop stonden. Kortom: er zijn oneindig veel priemgetallen, want je kunt voor elke eindige lijst priemgetallen een priemgetal vinden dat er niét opstaat. Klaar! Als je dit bewijs inderdaad mooi vindt (en dat is zo, toch?), koop dan eens een boek over getaltheorie. Er zal een wereld voor je opengaan.

Tenslotte nog een klein advies: als je straks voor het eerst naar de disco gaat, doe dan niet je favoriete roze Snoopy-trui aan. Geloof me.

Liefs,

Ionica

Edward stuurde ons dit correcte, maar waarschijnlijk niet zo succesvolle liefdesliedje van Tim Minchin.

If I didn't have you, someone else would do
Your love is one in a million
(One in a million)
You couldnt buy it at any price
(Can't buy love)

But of the 9 point 9 hundred thousand other loves,
Statistically some of them would be equally nice.

Ik weet al wat ik op mijn volgende Valentijnskaart ga zetten:

But I'm just saying
I don't think you're special
I mean... I think your special
But
You fall within a bell curve

Jullie hebben nog een week om in de Abelprijstoto te voorspellen wie dit jaar de Abelprijs zal krijgen en kans te maken op een prrrachtige prijs!

Met wat spiesjes en elastiekjes kun je een supergave hyperboloïde bouwen.

Zijaanzicht van hyperboloïde

Bovenaanzicht

Dit is (alweer) een gaaf idee van George W. Hart, lees op zijn pagina hoe je dit maakt. Foto's van lezers zijn welkom!

Een tip voor de historisch geïnteresseerden onder jullie: uitgeverij Nieuwezijds biedt het boek Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde gratis aan als e-book, in pdf-formaat!

De bijdragen in het boek zijn van Machiel Keestra, Albert Grootendorst, Jan Hogendijk, Henk Bos, Jan van Maanen, Danny Beckers, Teun Koetsier en Tom Koornwinder. Elk hoofdstuk gaat over een bepaald tijdvak en de wiskunde daarin. Het boek laat zien dat er wel degelijk verbanden bestaan tussen culturele ontwikkelingen en wiskunde.

Klik hier voor meer informatie over het boek en een link naar de file. Ook enkele andere boeken van Nieuwezijds zijn nu gratis te downloaden, zie hier.

Dit stuk staat vandaag in de Kennisbijlage van De Volkskrant. Helaas werkt de link in dat artikel niet meer, onderaan dit stuk staat de goede link naar meer informatie.

Morgen wordt wereldwijd pi-dag gevierd. Elk jaar verzamelen pi-liefhebbers zich in de derde maand op de veertiende dag (oftewel: 3,14) voor een feestje. Tijd om de grootste misverstanden over deze wiskundige constante recht te zetten.

1. Pi heeft iets te maken met de stelling van Pythagoras.
In de kerstuitzending van Bananasplit kwam pi ter sprake. Danny de Munck gaf onmiddellijk toe dat hij niets wist van wiskunde. Naast hem zat Nance, zij had ook geen wiskundeknobbel, maar “wist nog wel dat pi de stelling van Pythagoras is”. Helaas, pi en de stelling van Pythagoras zijn de twee dingen die de meeste mensen onthouden hebben van wiskunde, maar ze hebben niets met elkaar te maken. De stelling van Pythagoras gaat over driehoeken, terwijl pi van cirkels komt. Pi is de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter: ongeveer 3,14. Het maakt niet uit hoe groot of klein de cirkel is, de verhouding tussen omtrek en diameter is altijd precies pi. Daarnaast verschijnt pi ook op allerlei andere plaatsen: bijvoorbeeld in de verdeling van schoenmaten.

2. Pi is precies 3,14.
Pi begint als 3,14159 en daarna volgen nog oneindig veel cijfers. In die cijfers zit geen regelmaat. In de praktijk wordt daarom altijd een benadering van pi gebruikt. In de bijbel laat Solomo voor een tempel een bekken maken: “vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el”. Volgens deze tekst is pi dus gelijk aan 30/10 = 3, een eenvoudige benadering. Hoe nauwkeuriger de berekening, hoe meer decimalen er nodig zijn. Pi is niet te schrijven als een breuk, maar kan wel goed benaderd worden met breuken. Op school wordt vaak 22/7 (ongeveer 3,14285) gebruikt voor pi.

3. In de Amerikaanse wet staat dat pi gelijk is aan 3.
Het is een vaak voorkomend misverstand dat een bijbelvaste Amerikaanse staat in de wet heeft vastgelegd dat pi drie is. Zoiets is nooit gebeurd of zelfs maar voorgesteld. Wel is in 1897 in Indiana een merkwaardig wetsvoorstel ingediend door een amateurwiskundige. Hij wilde pi anders definiëren om berekeningen makkelijker te maken. In zijn voorstel waren allerlei verschillende waarden voor pi te vinden, variërend van 3,2 tot 4(!). Het voorstel werd in eerste instantie unaniem aangenomen, maar het sneuvelde alsnog in de senaat. Niet omdat de senaatsleden vonden dat er iets mis was met de theorie, maar omdat ze dachten dat pi geen zaak van wetgeving was.

4. In pi zitten geheime boodschappen verstopt.
Het zoeken naar gecodeerde boodschappen in de oneindige reeks decimalen van pi is een populaire hobby. Door de cijfers om te zetten naar letters kun je zinnen als “God bestaat” in de decimalen ontdekken. Het probleem is dat wiskundigen vermoeden dat elk rijtje cijfers uiteindelijk een keer in de decimalen van pi voorkomt, dus dan zou ook de zin “God bestaat niet” vanzelf een keer in de decimalen opduiken, net als de integrale tekst van Hamlet of de Volkskrant van vandaag. Voor wie het moeilijk te geloven vindt dat in één getal alle mogelijke teksten zijn gecodeerd: er is een getal waarvan we dit zeker weten dat alle mogelijke codes er instaan. Dat is de contante van Champernowne: 0,12345678910111213141516... enzovoorts. Niets magisch aan dus.

5. Het is belangrijk om pi zo ver mogelijk uit te rekenen.
Al eeuwenlang is het een sport om zoveel mogelijk decimalen van pi uit te rekenen. Omdat het er oneindig veel zijn, valt het record steeds weer te verbeteren. Zhu Chongzi berekende bijvoorbeeld rond het jaar 500 al dat pi tussen 3,1415926 en 3,1415927 ligt. Op dit moment staat het record op 2,7 biljoen cijfers. Om een indruk te geven hoe belachelijk veel cijfers dit zijn: als je deze 2,7 biljoen cijfers gaat opzeggen (zeg één per seconde), dan duurt dat 85.616 jaar. Voor de meeste berekeningen zijn echter een stuk of tien cijfers na de komma ruim voldoende en niemand heeft meer dan duizend cijfers nodig.

Dat de records toch steeds sneuvelen heeft twee redenen. Allereerst hebben snelle rekenmethodes allerlei andere toepassingen, het uitrekenen van pi is niet meer dan een mooie test. Bovendien raakt het uitrekenen van zoveel mogelijk decimalen voor sommige mensen een obsessie. Zelfs Isaac Newton raakte in de ban van pi en schreef in 1666: “Ik schaam me om te vertellen tot hoeveel cijfers ik deze berekeningen heb uitgevoerd, toen ik niets anders te doen had.”

Tot en met 28 maart hangen de eerste miljoen decimalen van pi in de Centrale Bibiliotheek Rotterdam als onderdeel van een expositie over de geschiedenis van pi. Morgen wordt tussen 13.00 en 17.00 uur pi-dag gevierd met lezingen, wiskundige puzzels en pi-koekjes. De toegang is vrij. Adres: Bibliotheek Rotterdam, Hoogstraat 110, Rotterdam. Meer informatie op de site van de bibliotheek.

Ik houd van plaatjesbewijzen: plaatjes die zo duidelijk het idee van het bewijs weergeven dat er nauwelijks of geen woorden meer nodig zijn. Op deze lijst op mathoverflow.net staan er een heleboel. Ik licht er voor jullie één mooi idee uit.

Een vierkant van 8x8 kun je precies bedekken met dominosteentjes van 1x2 veldjes. Kan dat nog steeds als je het veldje in de linkerbovenhoek en het veldje in de rechteronderhoek verwijdert? Het antwoord is nee, en het argument is als volgt (als spoiler voor de mensen die er eerst zelf over willen nadenken). Stel je het 8x8-vierkant voor als een schaakbord. Hoe je een dominosteentje ook op het schaakbord legt zodat het precies twee vakjes bedekt, je bedekt altijd een wit én een zwart vakje.

De twee vakjes die zijn verwijderd van het schaakbord hadden allebei dezelfde kleur (wit), dus nu zijn er meer zwarte dan witte vakjes over. Als het schaakbord nog gevuld zou kunnen worden met dominosteentjes, dan zouden er evenveel witte als zwarte velden bedekt zijn, maar er zijn niet evenveel witte als zwarte velden. Dus dat kan niet.

Een opvolgende vraag is nu: als je nou niet twee vakjes van dezelfde kleur weghaalt, maar willekeurig één wit en één zwart vakje, kun je het bord dan wèl altijd vullen met dominosteentjes? Het antwoord ligt niet meteen voor de hand, maar onderstaand plaatje laat zien dat dat inderdaad kan. Dit bewijs is van Ralph E. Gomory, en het plaatje komt van deze site.

Op 24 maart wordt bekend gemaakt wie dit jaar de Abelprijs krijgt. Wie zal dit jaar bijgeschreven worden in de lijst grote namen die deze prijs wonnen? Eerder winnaars waren (in chronologische volgorde) Jean-Pierre Serre, Michael Atiyah & Isodore Singer, Peter Lax, Lennart Carleson, S. R. Srinivasa Varadhan, John G. Thompson & Jacques Tits en Michail Gromov.

Voorspel in je reactie op dit stukje de naam van de winnaar en win een prrrrrachtige prijs uit Oslo. Want...de wiskundemeisjes zijn uitgenodigd om tijdens de feestelijkheden rond de uitreiking van de Abelprijs een wiskundeshow te geven (hoe cool is dat?). We beloven plechtig dat we iets moois zullen uitzoeken voor de winnaar.

Als niemand de juiste persoon raadt, dan kiezen wij als winnaar degene die er het dichtste bij zat (hoe we dat meten houden we strikt geheim) of degene met de beste argumenten. Je mag best iemand kiezen die al genoemd is, dan geven de argumenten de doorslag.

Tip voor niet-wiskundigen: kies een willekeurige naam uit de lijst winnaars van de Fieldsmedaille.